小波分析考試題及答案

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流小波分析考試題及答案.精品文檔.一、敘述小波分析理論發(fā)展的歷史和研究現(xiàn)狀答：傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域和特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái)，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但不能把二者有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息，而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說(shuō)，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不能夠知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾時(shí)域和頻域的局部化矛盾。在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是對(duì)非常平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)

2、在任一時(shí)刻附近的頻域特征很重要。如柴油機(jī)缸蓋表明的振動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號(hào)，單從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的。這就促使人們?nèi)ふ乙环N新方法，能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜，這就是所謂的時(shí)頻分析，亦稱為時(shí)頻局部化方法。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并開(kāi)發(fā)了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)傅立葉變換、時(shí)頻分析、Gabor變換、小波變換Randon-Wigner變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線形調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)分析等。其中，短時(shí)傅立葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號(hào)處理

3、的要求而產(chǎn)生的。短時(shí)傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號(hào)在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時(shí)傅立葉變換是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法，因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù)，因而短時(shí)傅立葉變換在信號(hào)分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間尺度（時(shí)間頻率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，使一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率。在高頻部分具有較高的時(shí)間分

4、辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡。小波分析最早應(yīng)用在地震數(shù)據(jù)壓縮中, 以后在圖像處理、故障診斷等方面取得了傳統(tǒng)方法根本無(wú)法達(dá)到的效果. 現(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到了自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)等方面, 小波分析已成為國(guó)際研究熱點(diǎn). 無(wú)論是傅里葉分析還是小波分析均以線性變換為基礎(chǔ), 按非線性傅立葉分析提出了非線性小波變換, 這種非線性小波變換處理非線性問(wèn)題更為有效.二、分析小波的基本定義答：小波(Wavelet)這一術(shù)語(yǔ)，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。

5、與Fourier變換相比，小波變換是時(shí)間(空間)頻率的局部化分析，它通過(guò)伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問(wèn)題，成為繼Fourier變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波分析方法是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，是小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。小波分析被

6、看成調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的工作結(jié)晶，已經(jīng)和必將廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、量子場(chǎng)論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別與合成、音樂(lè)、雷達(dá)、CT成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識(shí)別、機(jī)器視覺(jué)、機(jī)械故障診斷與監(jiān)控、分形以及數(shù)字電視等科技領(lǐng)域。原則上講，傳統(tǒng)上使用傅立葉分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析優(yōu)于傅立葉變換的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)。設(shè)（表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間），其傅立葉變換為。滿足允許條件（Admissible Condition）：時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波（Mother Wavelet）。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小

7、波序列。對(duì)于連續(xù)的情況，小波序列為其中，a為伸縮因子，b為平移因子。對(duì)于離散的情況，小波序列為對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為其逆變換為小波變換的時(shí)頻窗口特性與短時(shí)傅立葉的時(shí)頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個(gè)矩形，窗口中心為，時(shí)窗寬和頻窗寬分別為和。其中僅僅影響窗口在相平面時(shí)間軸上的位置，而不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對(duì)不同的頻率在時(shí)域上的取樣步長(zhǎng)是調(diào)節(jié)性的：在低頻時(shí)小波變換的時(shí)間分辨率較差，而頻率分辨率較高；在高頻時(shí)小波變換的時(shí)間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變換迅速的特點(diǎn)。這便是它優(yōu)于經(jīng)典的傅立葉變換與短時(shí)傅立葉變換的地方。從總體

8、上來(lái)說(shuō)，小波變換比短時(shí)傅立葉變換具有更好的時(shí)頻窗口特性。三、小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，二者相輔相成，試對(duì)小波分析和傅立葉變換進(jìn)行比較答：小波分析是傅立葉分析思想的發(fā)展與延拓，它自產(chǎn)生以來(lái)，就一直與傅立葉分析密切相關(guān)，他的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的，兩者主要的不同點(diǎn)：1、傅立葉變換實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到以exp(jt)為正交基的空間上去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到W-j和V-j所構(gòu)成的空間上去的。2、傅立葉變換用到的基本函數(shù)只有sin(t),cos(t),exp(jt)，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即

9、小波函數(shù)）則具有多樣性，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析運(yùn)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題（也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題），目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷地試驗(yàn)（對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析）來(lái)選擇小波函數(shù)。3、在頻域分析中，傅立葉變換具有良好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(1t)+0.345sin(2t)+4.23cos(3t)，但在時(shí)域中傅立葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從f(t)的傅立葉變換中看出f(t)在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。事實(shí)上，F(xiàn)(w)dw是關(guān)于頻率為w的諧波分量的振

10、幅，在傅立葉展開(kāi)式中，它是由f(t)的整體性態(tài)所決定的。4、在小波分析中，尺度a的值越大相當(dāng)于傅立葉變換中w的值越小。5、在短時(shí)傅立葉變換中，變換系數(shù)S(，)主要依賴于信號(hào)在-，+片段中的情況，時(shí)間寬度是2（因?yàn)槭怯纱昂瘮?shù)g(t)唯一確定的，所以2是一個(gè)定值）。在小波變換中，變換系數(shù)Wf（a,b）主要依賴于信號(hào)在b-a，b+a）片斷中的情況，時(shí)-間寬度是2a，該時(shí)間的寬度是隨尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。6、若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋，小波變換與短時(shí)傅立葉變換不容之處在于：對(duì)短時(shí)傅立葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬f與中心頻率f無(wú)關(guān)；相反小波變換帶通濾波器的帶寬f則正比于中心

11、頻率f。四、闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT算法的表達(dá)式答：Meyer于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis）的概念，從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。定義：空間中的多分辨分析是指滿足如下性質(zhì)的一個(gè)

12、空間序列：（1）調(diào)一致性：，對(duì)任意（2）漸進(jìn)完全性：，（3）伸縮完全性：（4）平移不變性：（5）Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Risez基。關(guān)于Riesz的具體說(shuō)明如下：若是的Risez基，則存在常數(shù)A，B，且，使得：對(duì)所有雙無(wú)限可平方和序列，即 成立。滿足上述個(gè)條件的函數(shù)空間集合成為一個(gè)多分辨分析，如果生成一個(gè)多分辨分析，那么稱為一個(gè)尺度函數(shù)。關(guān)于多分辨分析的理解，我們?cè)谶@里以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波分解樹(shù)如圖所示。S從圖可以明顯看出，多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予以考慮。分解的關(guān)系為。另外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)這里只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則

13、可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下再分解以此類推。在理解多分解分析時(shí)，我們必須牢牢把握一點(diǎn)：其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從上面的多分辨分析樹(shù)型結(jié)構(gòu)圖可以看出，多分辨分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來(lái)越高。MALLAT算法中包括兩個(gè)主要的過(guò)程，這就是分解過(guò)程和重構(gòu)過(guò)程。對(duì)于一個(gè)多分辨分析，以及信號(hào)，其中1、分解算法n 由于以及，故有：n 信號(hào)分析和處理是，常常需要知道它在各個(gè)閉子空間的小波系數(shù)。首先由其采樣值，經(jīng)計(jì)算得其中的系數(shù)，同時(shí)：n 其中和都是使用分解序列在偶整數(shù)點(diǎn)

14、的抽樣，這稱為向下抽樣。小波分解2、重構(gòu)算法n 空間是空間和的值和，故有：則數(shù)列、具有如下公式：小波重構(gòu)五、基于MATLAB，請(qǐng)自行選擇一個(gè)一維信號(hào)，采用DB3小波函數(shù)，進(jìn)行3尺度分解與重構(gòu)。要求：（1）附上源程序；（2）繪出原始信號(hào)以及分解、重構(gòu)的結(jié)果圖。答：load leleccum; S=leleccum(1:1000);w=db3;Subplot(621);plot(s);Title(原始信號(hào))；Dwtmode;cazpd,cdzpd=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(cazpd)Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx);Subplot(622);plot

15、(xzpd);Title(zpd模式重構(gòu)圖)；Dwtmode（sym）; casym,cdsym=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd)Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx);Subplot(625);plot(xsym);Title(sym模式重構(gòu)圖)；Dwtmode（spd）; casym,cdsym=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd)Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx);Subplot(626);plot(xspd);Title(spd模式重構(gòu)圖)；六、給出一個(gè)小波分析的應(yīng)用實(shí)例 對(duì)于一給定的信號(hào)（信號(hào)序列文件名為leleccum.mat），利用小波分析對(duì)深夜時(shí)段信號(hào)分析答：源程序如