函數(shù)中的賦值問題-(教師版)恍然大悟-火爆高考卷中導(dǎo)數(shù)賦值取點問題的前世今生

1、函數(shù)中的賦值問題第一講 賦值的意義函數(shù)賦值是一個熱門的話題，賦值之所以“熱，是因為它涉及到函數(shù)領(lǐng)域的方方面面：討論函數(shù)零點的個數(shù)(包括零點的存在性，唯一性)；求含參函數(shù)的極值或最值；證明一類超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各種題型中的參數(shù)取值范圍等等 然而時下，在相當(dāng)一局部學(xué)生的答卷中，甚或在一些地區(qū)的模擬試卷的標準解答中，一種以極限語言或極限觀點替代賦值論證的“素描式解題現(xiàn)象應(yīng)予關(guān)注和糾正1.從一道調(diào)研試題的標準解答說起題目1 函數(shù)1略；3略；2設(shè)，假設(shè)在上有且只有一個零點，求的取值范圍解：2，那么方程即有唯一解記，令時，單調(diào)減，所以的取值范圍是 (?) 時，的取值范圍是；

2、時，單調(diào)減，且恒正，所以的取值范圍是所以當(dāng)或時，有且只有一個零點，故的取值范圍是或質(zhì)疑：1“與“的取值范圍是是否等價？2也許解答的潛意識是，那么其依據(jù)是什么?作為指揮棒的省考、國考又是怎樣處理相關(guān)問題的呢?答：一個中心：參數(shù)全程掃描；一個根本點：賦值絲絲入扣2真題探究 題目22021江蘇20設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)1略；2假設(shè)在上是單調(diào)增函數(shù)，求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論2解：由在上單調(diào)增，得 (過程略) 時，而，且圖像不間斷，依據(jù)零點定理，有且只有一個零點【分析時，由(極大值點)，】時,令且，所以是的極大值點，也是最大值點，所以，當(dāng)且僅當(dāng)故有唯一零點時，令列表：0所以在上，且單調(diào)，所以有且只有一個

3、零點；在上，顯然，注意到的結(jié)論， 所以，同理有且只有一個零點由有兩個零點綜上所述，當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【注1】此題第2問“時賦值點的形成過程及其多元性:在上，因為，且為常數(shù)，所以理應(yīng)成為直觀賦值點的首選在上【難點！】依據(jù)單調(diào)性，直觀賦值點應(yīng)在右側(cè)充分遠處嘗試，失??！說明該賦值點不夠遠，再改試，成了！(過程如上) 顯然，賦值點不唯一在上，也可考慮(標解)，或均不及賦值簡便在上也可考慮，還可考慮(標解)，并注意到時，(證略) ，【注2】在此題結(jié)論的牽引下，區(qū)間上的三個賦值點一脈相承，井然有序：因為(當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立)，所以以上賦值均為先直觀，后放縮其特點是見效快，但有時有點懸，解

4、、證風(fēng)險大所以，當(dāng)直觀賦值受挫時，不妨通過放縮，無懸念地求出賦值點，實現(xiàn)解(證)目標現(xiàn)以區(qū)間為例 【分析：在右側(cè)充分遠處，希望存在，使，為此，應(yīng)意識到在的表達式中，對起主導(dǎo)作用的那一項為哪一項，不宜輕易放縮，放縮的目標應(yīng)鎖定依據(jù)()(證略) ，不妨取，但此路受挫，故須調(diào)整放縮的尺度】思路一：由此題結(jié)論， 詳解：由此題結(jié)論在上，存在 (以下略)思路二：由時，的任意性給賦值提供了更為寬松的選擇空間：，令不妨令詳解：(證略) ，今取(以下略)【跟蹤訓(xùn)練】1思考并解答本講題目1(2)；2思考函數(shù)賦值問題有哪些依據(jù)和方法第二講 賦值的依據(jù)和方法1賦值的理論依據(jù)：1)不等式的根本性質(zhì)以及一些簡單代數(shù)方程、

5、不等式的求解2)零點存在定理.根本模式是的符號，探求賦值點(假定)使得與異號，那么在上存在零點3)一些根本的超越不等式，如：1；2時，3時，4【注】應(yīng)用上述不等式,一般須給出證明2賦值的應(yīng)對方略：2.1賦值的方法： 直觀放縮法其形態(tài)是先直觀嘗試，后放縮證明，其特點是見效快，但有時有點懸，解、證風(fēng)險大參閱上節(jié)“真題探究 放縮求解法其形態(tài)是先適度放縮，然后通過解不等式或方程求出賦值點，其特點是穩(wěn)妥、可靠，但有時，目標放縮有點難參閱上節(jié)“真題探究中的思路一，思路二2.2賦值點遴選要領(lǐng)：遴選賦值點須做到三個確保，三個優(yōu)先 三個確保：1確保參數(shù)能取到它的一切值；2確保賦值點落在規(guī)定區(qū)間內(nèi)；3確保運算可行

6、三個優(yōu)先：1優(yōu)先常數(shù)賦值點；2優(yōu)先借助已有極值求賦值點(參閱2021屆南通一模)；3優(yōu)先簡單運算，如，等2.3放縮的分類及其目標：放縮于賦值，如影隨形，唇齒相依1依放縮的依據(jù)劃分，可分為無條件放縮和條件放縮兩類前者如，等；后者如時，時，等；2依賦值點的個數(shù)劃分，可分為單點式和兩點式前者以解方程為歸宿；后者以解不等式為歸宿，從某種意義上說，后者是前者受挫時的應(yīng)急之舉一般情形下，放縮的目標應(yīng)鎖定于對函數(shù)的變化趨勢起不了主導(dǎo)作用的那些項；但有些問題中，很難界定“主導(dǎo)與非“主導(dǎo)，此時放縮的尺度取決于對題目中各種因素的綜合考量這正是賦值的難點例12021屆南師附中期中考試函數(shù)1略；2略；3假設(shè)曲線：在點

7、處的切線與有且只有一個公共點，求正數(shù)的取值范圍解析：3易得切線，代入整理得：，題設(shè)等價于函數(shù)有且只有一個零點，其中【下一步分析：首先討論恒成立不可能，及恒成立恒成立】當(dāng)，即時，由，且當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是唯一的極小值點，也是最小值點且，故滿足題意即時由，【下一步分析：應(yīng)比較兩零點與的大小】即時，又，所以滿足題設(shè)，即時，當(dāng)，所以【接著探究：在 上，所以在右側(cè)充分遠處，希望存在，使，此外應(yīng)意識到對起主導(dǎo)作用的那一項應(yīng)該是該項不宜輕易放縮，故放縮的主要目標是幾乎可以忽略不計的“，事實上，當(dāng)時，所以】詳解：又存在，所以，在內(nèi)，存在零點，所以至少有兩個零點，不合題意，即時，在上，所以【接著探究：在上，所以

8、在右側(cè)充分近處，希望存在，使此外應(yīng)意識到對起主導(dǎo)作用的那一項應(yīng)該是所以不宜輕易放縮故放縮的主要目標是幾乎可以忽略不計的“，事實上，當(dāng)時，所以】詳解：又存在，并注意到，所以在內(nèi)存在零點，從而至少有兩個零點，不合題意綜上所述，或【附證：】例2上節(jié)“題目12函數(shù)13略2設(shè)，假設(shè)在上有且只有一個零點，求的取值范圍正解：(參數(shù)掃描)依題意有唯一零點，于是：當(dāng)，不合；當(dāng)有唯一零點，符合；當(dāng)一方面【下一步，分析1：用直觀放縮法嘗試使，顯然因為，所以只要令且充分小，那么，從而假設(shè)為某個負常數(shù),因負數(shù)的任意性,無法確保，故須與有關(guān)不妨改試】另一方面并注意到(證略)，所以在內(nèi)有唯一零點于是時，須無零點，而，所以，

9、即記，令當(dāng)；當(dāng)，所以，所以綜上或【注】將零點問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題從而使“分參不依賴于形而凸顯其嚴密性【下一步分析2：用放縮求解法求使，顯然事實上時,解之】另一方面,使且時，所以在內(nèi)有唯一零點 (以下過程同上)【下一步分析3：仍用放縮求解法，時，取】另一方面,使且時，所以在內(nèi)有唯一零點 (以下過程同上)例3 ，討論的零點的個數(shù)解：記的零點的個數(shù)為的定義域為，令，當(dāng)時，,；當(dāng)時，所以是的唯一極小值點也是最小值點，即當(dāng)，即時，,故當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，(如右圖所示) .時，在上,在上，【途徑一】存在，由零點定理及的單調(diào)性【途徑二：通過放縮，求解賦值點當(dāng)時, 】當(dāng)且時，同理.時，由，所以.時，一方

10、面，且，另一方面【途徑一：依據(jù)單調(diào)性，當(dāng)時，應(yīng)有，不妨直觀嘗試】注意到時，證略，存在，又圖像在定義域內(nèi)不間斷，所以在和內(nèi)，各有一個零點，故【途徑二(借助原函數(shù)極值求賦值點)】已證在上，且存在，同理綜上所述：當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)或時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【注】學(xué)生可能出現(xiàn)的認知誤區(qū)是：當(dāng)時，或【跟蹤訓(xùn)練】1解不等式：，其中為自然對數(shù)的底數(shù)解析：記，那么原不等式等價于，令，當(dāng)；當(dāng)又一方面，存在另一方面，存在，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，從而原不等式的解集為2函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)假設(shè)有兩個零點,求的取值范圍解析：易得在,在(2)假設(shè)那么,在定義域內(nèi)最多一個零點,不合所以且此時，一方面使；另一方面，

11、注意到(證略) 于是，使依據(jù)零點定理以及的單調(diào)性,可知在和上各有一個零點，所以的取值范圍是3設(shè)函數(shù)假設(shè)對任意的成立，求的取值范圍解：1.當(dāng)時,；2.當(dāng)時, ，所以使得且在內(nèi)與題設(shè)不符.所以第三講 賦值的假設(shè)干經(jīng)典問題例12021.新課標1文21設(shè)函數(shù)1討論零點的個數(shù)；2略解：1當(dāng)時,，故無零點；當(dāng)時零點的個數(shù)即零點的個數(shù)，記為所以在上，所以又【下一步如何尋找正數(shù)使?】途徑一(直觀放縮法) 【分析】假定，故應(yīng)將鎖定在右側(cè)一點點，直觀嘗試后，形成如下的詳解：取，依據(jù)零點定理，由,途徑二(放縮求解法)【分析】時于是當(dāng)，即時，詳解：時，于是當(dāng)時，取依據(jù)零點定理，由,例22021.全1理21函數(shù)有兩個零

12、點求的取值范圍；略解析：(參數(shù)掃描) 假設(shè)，當(dāng)，當(dāng)一方面,當(dāng)時；另一方面,當(dāng)時途徑一(標解)存在且，使，所以在兩側(cè)，各有一個零點，滿足題意途徑二【分析：當(dāng)時,能對起主導(dǎo)作用的那一項顯然是，而變化幅度不大，是比較理想的放縮目標時,】詳解：時,，今取，所以在兩側(cè)，各有一個零點，滿足題意假設(shè)，當(dāng)，所以有兩零點時，有兩零點有兩零點，但所以不存在兩個零點綜上，的取值范圍是【注】順便指出,在同解變形中,巧用升降格,可簡化解題過程 (證明:)例32021全2文21設(shè)函數(shù)1略；2當(dāng)時，求的取值范圍 解：2顯然否那么假設(shè)，注意到，那么 【下一步探求的范圍：令恒成立 ，所以，所以】，記，所以即，于是：當(dāng)時，從而；

13、當(dāng)時，途徑一【分析當(dāng)時，】詳解：當(dāng)時，注意到(證略) ，今取，不合題意.綜上，途徑二：，又，故在上有唯一零點，且在上，所以不合題意綜上例4 省競賽集訓(xùn)題設(shè)數(shù)列的通項,證明:【分析：聯(lián)想超越不等式小于有；等然后用分項比較法,將待證式兩邊均表示為從起連續(xù)項的和：整合并分解左邊：；同時將右邊化整為零:依據(jù)，所以原式獲證】證明：易證，令【跟蹤訓(xùn)練】1設(shè)函數(shù).假設(shè)方程有解，求的取值范圍解：方程有解函數(shù)有零點時，證略所以無零點；時，觀察！【下一步分析：如何賦值,使得？當(dāng)時,說明:假設(shè)不能確保解方程所得到的，那么改用兩點式,即參閱(二)例2分析3】又且，由零點定理，有零點時，所以令易知是的最大值點【下一步分析:令,無零點于是剩下又經(jīng)觀察，所以有零點】1.)時,無零點； 2.) 時，又經(jīng)觀察，所以有零點綜上所述或2為正常數(shù)，函數(shù)證明：使得當(dāng)時，恒成立證法一易證 (證略)又用代而.今取，當(dāng)時,由得,再由.獲證證法二易證時在 (證略)于是，(1)當(dāng)時,，結(jié)論成立(2)當(dāng)時，取 (顯然)當(dāng)時,，結(jié)論仍然成立綜上所述使得當(dāng)時, 恒成立3，12略3當(dāng)，