函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題(含答案)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. 函數(shù)，其中當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；證明：對(duì)任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)【解析】19本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法，總分值14分。 解：當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 解：，令，解得因?yàn)椋韵路謨煞N情況討論： 1假設(shè)變化時(shí)，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是。 2假設(shè)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 證明：由可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論： 1當(dāng)時(shí)，在0

2、，1內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意在區(qū)間0，1內(nèi)均存在零點(diǎn)。 2當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，假設(shè)所以內(nèi)存在零點(diǎn)。假設(shè)所以內(nèi)存在零點(diǎn)。所以，對(duì)任意在區(qū)間0，1內(nèi)均存在零點(diǎn)。綜上，對(duì)任意在區(qū)間0，1內(nèi)均存在零點(diǎn)。2. 函數(shù)，設(shè)函數(shù)F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；設(shè)，解關(guān)于x的方程；設(shè)，證明：本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等根底知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力解：，令，得舍去當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)為的極大值點(diǎn)，且方法一：原方程可化為，即為，且當(dāng)時(shí)，那么，即，此時(shí)，此時(shí)方

3、程僅有一解當(dāng)時(shí)，由，得，假設(shè)，那么，方程有兩解；假設(shè)時(shí)，那么，方程有一解；假設(shè)或，原方程無(wú)解方法二：原方程可化為，即，當(dāng)時(shí)，原方程有一解；當(dāng)時(shí)，原方程有二解；當(dāng)時(shí)，原方程有一解；當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解由得，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且從而有，當(dāng)時(shí)，又即對(duì)任意時(shí)，有，又因?yàn)?，所以那么，故原不等式成?. 設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)【解析】21此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等根底知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力。總分值15分。 解：因?yàn)樗杂捎?，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 證明：由題意得，由知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要解得4. 設(shè)，其中為正實(shí)數(shù).

4、當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；假設(shè)為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【解析】18本小題總分值13分此題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.解：對(duì)求導(dǎo)得 I當(dāng)，假設(shè)綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點(diǎn),是極大值點(diǎn).II假設(shè)為R上的單調(diào)函數(shù)，那么在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a>0，知在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知5. a，b為常數(shù)，且a0，函數(shù)fx=-ax+b+axlnx，fe=2e=271828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。I求實(shí)數(shù)b的值；II求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；III當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和Mm<M，

5、使得對(duì)每一個(gè)tm，M，直線y=t與曲線y=fxx，e都有公共點(diǎn)？假設(shè)存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由?！窘馕觥?2本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等根底知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想，總分值14分。解：I由II由I可得從而，故：1當(dāng)2當(dāng)綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為0，1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，1，單調(diào)遞減區(qū)間為。III當(dāng)a=1時(shí)，由II可得，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2又的值域?yàn)?，2。據(jù)經(jīng)可得，假設(shè)，那么對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)。并且對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都沒(méi)有公共點(diǎn)。綜上，當(dāng)a=1時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)m=1，最大的實(shí)數(shù)M=2，使得對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)。6. 設(shè)函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，曲線與在點(diǎn)2,0處有相同的切線l。I 求a、b的值，并寫(xiě)出切線l的方程；II假設(shè)方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、，其中，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。【解析】20此題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等根底知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，總分值13分解：由于曲線在點(diǎn)2，0處有相同的切線，故有由此得所以，切線的方程為 由得，所以依題意，方程有三