專題強化訓(xùn)練3　空間向量與立體幾何

1、.專題強化訓(xùn)練三空間向量與立體幾何老師獨具根底達標(biāo)練1長方體ABCD­A1B1C1D1中，假設(shè)3i，2j，5k，那么AijkBijkC3i2j5kD3i2j5kC3i2j5k.2空間向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，那么一定共線的三點是AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，DA5a6b7a2b2a4b，a2b，2，A，B，D三點共線，應(yīng)選A.3平面內(nèi)有一個點A2，1,2，它的一個法向量為n3,1,2，那么以下點P中，在平面內(nèi)的是A1，1,1BC.DB對于選項A，1,0,1，那么·n1,0,1·3,1,250，故排除A；對于選項B，那么·n

2、·3,1,20.4如圖3­6所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，PQ是異面直線A1D和AC的公垂線，那么直線PQ與BD1的關(guān)系是【導(dǎo)學(xué)號：33242329】圖3­6A異面直線B平行直線C垂直不相交D垂直且相交B設(shè)正方體的棱長為1.，PQA1D，PQB1C.又PQAC，PQ平面AB1C.又，····110，BD1AC.同理，BD1B1C.BD1平面AB1C.所以PQ與BD1垂直于同一平面AB1C，故PQBD1.5在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E是C1C的中點，那么直線BE與平面B1BD所成角

3、的正弦值為ABCDB建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，那么D0,0,0，B2,2,0，B12,2,2，E0,2,1，那么2，2,0，0,0,2，2,0,1設(shè)平面B1BD的法向量為nx，y，z因為n，n，所以，即，令y1，那么n1,1,0為平面B1BD的一個法向量于是cosn，那么直線BE與平面B1BD所成角的正弦值為.6如圖3­7所示，在三棱錐A­BCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBC1，CD2，點E為CD的中點，那么AE的長為_圖3­7因為，|1，且···0，所以223，即AE的長為.73a2b2,0,4，c2

4、,1,2，a·c2，|b|4，那么b·c_.33a2b·c2,0,4·2,1,212，即3a·c2b·c12.由a·c2，得b·c3.8在正四棱錐P­ABCD中，高為1，底面邊長為2，E為BC的中點，那么異面直線PE與DB所成的角為_. 【導(dǎo)學(xué)號：33242330】建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，那么B1,1,0，D1，1,0，E0,1,0，P0,0,1，2,2,0，0,1，1，cos，.PE與DB所成的角為.9如圖3­8所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABC60&

5、#176;，PAABBC，ADAB，E是PC的中點圖3­8求證：PD平面ABE.證明PA底面ABCD，ABAD，AB、AD、AP兩兩垂直，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAABBC1，那么P0,0,1、A0,0,0、B1,0,0、D.ABC60°，ABC為正三角形C，E.1,0,0，設(shè)平面ABE的一個法向量為nx，y，z，那么即令y2，那么z，n0,2，顯然n，n，平面ABE，即PD平面ABE.10如圖3­9所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，側(cè)面ABCD是梯形，ADBC，底面ABB1A1為菱形，DABDAA1.圖3­91求證：A1BAD

6、；2假設(shè)ADAB2BC，A1AB60°，求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值【導(dǎo)學(xué)號：33242331】 解1證明：如圖，連接AB1，A1D，BD，設(shè)AB1交A1B于點O，連接OD.由AA1AB，DABDAA1，ADAD，可得AA1DABD，所以A1DBD.由于O是線段A1B的中點，所以DOA1B.又根據(jù)菱形的性質(zhì)得AOA1B，所以A1B平面ADO，從而A1BAD.2由題意知DO平面ABB1A1.因為底面ABB1A1為菱形，所以AB1A1B，分別以射線OB，射線OB1，射線OD為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.如圖設(shè)ADAB2BC2

7、a，由A1AB60°可知OBa，OAOB1a，所以O(shè)Da，從而A0，a,0，Ba,0,0，B10，a,0，D0,0，a，所以a，a,0，0，a，a由可得C，所以.設(shè)平面DCC1D1的法向量為mx0，y0，z0，由m·0，m·0，得取y01，那么x0，z03，所以m，1,3又平面ABB1A1的一個法向量為0,0，a，所以cos，m.故平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的余弦值為.才能提升練1如圖3­10所示，矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角D­AB­F為直二面角，M為AB的中點，F(xiàn)M與BD所成的角為，且cos ，那么【

8、導(dǎo)學(xué)號：33242332】圖3­10A1 BC. DC不妨設(shè)BC1，AB，那么.記a，b，c，那么ba，cb，根據(jù)題意，|a|c|1，|b|，a·bb·cc·a0，·b22，而|，|，|cos，|，得.應(yīng)選C.2在棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中點，那么點A1到平面MBD的間隔 是 A. B. C. D. A建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么D0,0,0，M，Ba，a,0，A1a,0，a，a，a,0，a,0，a設(shè)平面MBD的法向量為nx，y，z，那么令x1，那么可得n1，1，2da.3如圖3­11所

9、示，在60°的二面角­AB­內(nèi)，AC，BD，ACAB于A，BDAB于B，且ACABBD1，那么CD的長為_圖3­11，22222·32·1·1·cos 120°2，|，即CD.4直角ABC中，C90°，B30°，AB4，D為AB的中點，沿中線將ACD折起使得AB，那么二面角A­CD­B的大小為A60° B90° C120° 50°C取CD中點E，在平面BCD內(nèi)過B點作BFCD，交CD延長線于F.據(jù)題意知AECD，AEBF，EF

10、2，AB.且，為二面角的平面角，由|2·得133342×3×cos，cos，.，120°.即所求的二面角為120°.5如圖3­12所示，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點圖3­121求證：B1EAD1.2在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？假設(shè)存在，求AP的長；假設(shè)不存在，請說明理由3假設(shè)二面角A­B1E­A1的大小為30°，求AB的長【導(dǎo)學(xué)號：33242333】解1以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)ABa，那么A0,0,0，D0,1,0，D10,1,1，E，B1a,0,1，故0,1,1，a,0,1，.·01×11×10，B1EAD1.2假設(shè)在棱AA1上存在一點P0,0，z0，使得DP平面B1AE.此時0，1，z0設(shè)平面B1AE的法向量為nx，y，z，取x1，得平面B1AE的一個法向量為n.要使DP平面B1AE，只需n，即az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點P，滿足DP平面B1AE，此時AP.3連接A1D，B1C，由長方體ABCD­A1B1C1