概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 73 區(qū)間估計(jì)

1、 前面我們介紹了點(diǎn)估計(jì)的概念。點(diǎn)估計(jì)只是給出前面我們介紹了點(diǎn)估計(jì)的概念。點(diǎn)估計(jì)只是給出了未知參數(shù)值的近似值。人們常常不滿足于得到近了未知參數(shù)值的近似值。人們常常不滿足于得到近似值，還需要知道估計(jì)的誤差是多少？即參數(shù)的一個(gè)似值，還需要知道估計(jì)的誤差是多少？即參數(shù)的一個(gè)估計(jì)范圍，還希望知道該范圍覆蓋參數(shù)真值的可信估計(jì)范圍，還希望知道該范圍覆蓋參數(shù)真值的可信程度。這種范圍的估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì)。程度。這種范圍的估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì)。引言引言7. 3 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 定義定義7.6:12(,)n XXX設(shè)設(shè)是是總總體體的的一一個(gè)個(gè)參參數(shù)數(shù), , 是是0 1 ,X 來來自自總總體體的的樣樣本本, , 對(duì)對(duì)給給

2、定定的的數(shù)數(shù) , , 1112=(,)nXXX若若存存在在兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量 2212=(,)nXXX與與 , , 有有12 = 1,P 12(,)nxxx若若反反復(fù)復(fù)抽抽樣樣多多次次, , 每每一一組組樣樣本本值值 12( ,) 1, 則則稱稱 為為 的的 置置信信區(qū)區(qū)間間 稱稱 121, , 為為置置信信水水平平 稱稱分分別別為為 的的 置信下限和置信上限置信下限和置信上限 .1:置置信信水水平平 的的直直觀觀意意義義 12 , , 均均確確定定一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間 由由伯伯努努利利大大數(shù)數(shù)定定律律, ,1在在眾眾多多區(qū)區(qū)間間中中, , 包包含含參參數(shù)數(shù) 真真值值的的約約占占 不不包包含含

3、真真值值的的僅僅占占 左左右右 . .12 , 事事實(shí)實(shí)上上, , 置置信信區(qū)區(qū)間間 也也是是對(duì)對(duì)未未知知參參數(shù)數(shù)的的一種估計(jì)一種估計(jì), 稱之為區(qū)間估計(jì)稱之為區(qū)間估計(jì) . 區(qū)間的長(zhǎng)度意味區(qū)間的長(zhǎng)度意味著誤差著誤差, 因此可以說區(qū)間估計(jì)與點(diǎn)估計(jì)是互補(bǔ)因此可以說區(qū)間估計(jì)與點(diǎn)估計(jì)是互補(bǔ)的兩種參數(shù)估計(jì)的兩種參數(shù)估計(jì) .(1) ; 選選擇擇 的的一一個(gè)個(gè)較較優(yōu)優(yōu)的的點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)量量 區(qū)間估計(jì)的主要步驟區(qū)間估計(jì)的主要步驟:(2) , 尋尋找找一一個(gè)個(gè)由由 及及 構(gòu)構(gòu)成成的的函函數(shù)數(shù) 該該函函數(shù)數(shù)除除了了不不再再有有未未知知參參數(shù)數(shù), , 設(shè)設(shè)其其為為 1=(,; ) . ngg XXg , 的的分分布布已

4、已知知 且且 ; 不不依依賴賴于于未未知知參參數(shù)數(shù)12(3) 1, , 對(duì)對(duì)給給定定的的置置信信水水平平 確確定定與與 12 = 1, Pg使使得得 12(4) g 由由不不等等式式 解解出出 的的置置信信區(qū)區(qū)間間一一般般是是選選取取滿滿足足 1212 = = ;2P gP g的的 和和 12( ,) .一一、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間: :(一一) 參數(shù)參數(shù) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間:1、 2 已知已知: :X已已知知 是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量 , , 且且有有 =( 0 , 1 ) ,/XU(Nn樞樞軸軸函函數(shù)數(shù)） x2z 2z O( )x 1, 對(duì)對(duì)于于置置

5、信信水水平平 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖(右右)有有2 2 22 , +XzXznn x2z 2z O( )x 1于于是是得得 的的 置置信信區(qū)區(qū)間間為為 2 2 221 2 =1, P - -z z, P U zUzU即即代代入入 例例1：某車間生產(chǎn)一種零件某車間生產(chǎn)一種零件, 從長(zhǎng)期實(shí)踐知道從長(zhǎng)期實(shí)踐知道,該零件直徑服從正態(tài)分布該零件直徑服從正態(tài)分布, 且方差為且方差為0.06 .2= 14.95 , = 0.06 ,x經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算知知 又又因因?yàn)闉楝F(xiàn)從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取現(xiàn)從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取6件件, 測(cè)其測(cè)其直徑為直徑為 14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15

6、.2, 15.1 .試求該零件平均直徑的置信區(qū)間試求該零件平均直徑的置信區(qū)間 . = 0.05解解 = 0.05 , 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表知查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表知 z0.025=1.96 ,0.061.96= 14.951.96= 14.75 , 6xn有有即得即得 的的 = 0.05 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為( 14.75 , 15.15 ) .0.06+1.96= 14.95 +1.96= 15.15 , 6xn例例2: (03年年)已知一批零件的長(zhǎng)度（單位：已知一批零件的長(zhǎng)度（單位：cm）服從正態(tài)）服從正態(tài)分布，分布，N(，1)從中隨機(jī)抽取從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的x = 40

7、cm, .0 0 9 95 5平平均均值值則則 的的置置信信度度為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間_ _ _ _ _ _ _ _ ( ( (1 1. .9 96 6) )= =0 0. .9 97 75 5, , ( (1 1. .6 65 5) )= =0 0. .9 95 5) )為為。 注注：2x x Nn, , ( ( , ,) )解解：第第一一步步， 的的點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)為為UU 0.0250.0251140,4039.51,40.491616XUn- -= =/ /第第二二步步，構(gòu)構(gòu)造造類類似似統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的樞樞紐紐函函數(shù)數(shù)U N ( (0 0, ,1 1) )22XXnn/ / / - -U

8、 U( (n n) ), , + +U U( (n n) ) 則則置置信信區(qū)區(qū)間間為為2、 2 未知未知: :2X仍仍選選 為為 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量 , , 但但因因 未未知知, , =( 1) ,/X tt nSn故故構(gòu)構(gòu)造造 yO1( )nfy 1, 對(duì)對(duì)于于置置信信水水平平 由由 t 分布圖分布圖(右右)有有2 2 2(1)nt 2(1)nt yO1( )nfy 2 2 2(1)nt 2(1)nt 2 (1) = 1, P t tn 22(1) , +(1)SSXtnXtnnn 1于于是是得得 的的 置置信信區(qū)區(qū)間間為為 (二二) 參數(shù)參數(shù) 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ( 未知未知)

9、 :22S已已知知 是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量 , , 且且有有 2222( 1 )=( 1 ) ,nSn yO( )x 1, 對(duì)對(duì)于于置置信信水水平平 2() , 由由分分布布圖圖 右右有有n 212()- -1 1n 22()- -1 12 2 yO()x n 212()- -1 1n 22()- -1 12 2 222122(1) (1) = 1, Pnn 即得即得 2 的置信水平的置信水平 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2222122(1)(1) , (1)(1)nSnSnn 例例3、已知一批零件的長(zhǎng)度（單位：、已知一批零件的長(zhǎng)度（單位：cm）服從正態(tài)分）服從正態(tài)分布布N(， 2 ) ，

10、 ， 2 未知，從中隨機(jī)抽未知，從中隨機(jī)抽16個(gè)零件，個(gè)零件，2240 xcms= 4,*,得得到到長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的平平均均值值為為校校正正方方差差則則的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是_。2s2 22 2= =*解解：第第一一步步，的的無無偏偏點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)為為nsnsnn 2222220.0250.975122(1) *(1) *15 415 4,(1)(1)(15)(15) ., . 2 18 9 52nsn 222(1) *(1)第二步，構(gòu)造類似統(tǒng)計(jì)量的樞軸函數(shù)第二步，構(gòu)造類似統(tǒng)計(jì)量的樞軸函數(shù)置信區(qū)間為：置信區(qū)間為：1、兩個(gè)總體的方差、兩個(gè)總體的方差 12 , 22已知已知

11、: :22121212 , , , ,XNYNnn由由于于 二二 、兩個(gè)正態(tài)總體、兩個(gè)正態(tài)總體 N( 1 ,12), N( 2 ,22) 的情況的情況(一一) 兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 1 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間: ,XY且且 相相互互獨(dú)獨(dú)立立知知22121212 , + ,XYNnn 故有故有12221212()( )( 0 , 1 ) ,+XYNnn 于是于是 1 2 的置信水平為的置信水平為 1 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為22221212121222+ , + .XYzXYznnnn 2、 12 = 22 = 2 , 但但 2 未知未知: :121212( )()(2) ,11XYt

12、 nnSnn 由于由于222112212( 1)( 1)= ,2nSnSSnn其其中中 從而有從而有 1 2 的置信水平為的置信水平為 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1212211 (2) ,XYtnnSnn 1212211 (2).XYtnnSnn2212122212 (1 , 1) ,SSF nn由由于于 (二二) 兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 12/ / 22 的置信區(qū)間的置信區(qū)間:設(shè)兩總體的均值設(shè)兩總體的均值 1 , 2 未知未知 .1SSP FnnFnn22121212221222(1 , 1) (1 , 1) 故有故有= 1 于是于是 12/ /22 的置信水平為的置信水平為 1 的置信

13、區(qū)間為的置信區(qū)間為22112212122212211 , (1 , 1)(1 , 1)SSFnnFnnSS 例例4：從甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)蓄電池的工廠的產(chǎn)品從甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)蓄電池的工廠的產(chǎn)品中中, 分別獨(dú)立抽取一些樣品分別獨(dú)立抽取一些樣品, 測(cè)得蓄電池的電測(cè)得蓄電池的電容量為容量為甲甲: 144, 141, 138, 142, 141, 143, 138, 137;乙乙: 142, 143, 139, 140, 138, 141, 140, 138, 140, 136設(shè)兩個(gè)工廠生產(chǎn)的蓄電池電容量分別服從正態(tài)設(shè)兩個(gè)工廠生產(chǎn)的蓄電池電容量分別服從正態(tài)分布分布 N( 1 ,12), N( 2 ,22) .

14、 求求 12/ /22 的的 95% 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 . .解解 經(jīng)計(jì)算得經(jīng)計(jì)算得 S12 = 6.57 , S22 = 4.47 , 又已知又已知0.025( 7 , 9 ) = 0.21 , F查查表表得得( 0.33 , 6.56 )1= 0.95 , = 0.025 , 1 = 0.975 22 12= 8 , = 10nn0.9750.0251( 7 , 9 ) = 4.20 , ( 9 , 7 )FF于是得于是得 12/ /22 的的 95% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為定義定義7.7:12(0 = 1 , ( , +) P若若滿滿足足 則則稱稱 是是 1112=(,) ,nXX

15、X確確定定的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量 對(duì)對(duì)任任意意 三、單側(cè)置信區(qū)間三、單側(cè)置信區(qū)間:1, 1置置信信水水平平為為 單單的的的的置置區(qū)區(qū)間間為為側(cè)側(cè)信信稱稱 1.的的置置信信水水平平為為 的的 單單側(cè)側(cè)置置信信下下限限 12(0 1), ,nXXX對(duì)對(duì)于于給給定定值值若若由由樣樣本本 22= 1 , ( , ) P若若滿滿足足 則則稱稱 是是 2212=(,) ,nXXX確確定定的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量 對(duì)對(duì)任任意意 2, 1置置信信水水平平為為 單單的的的的置置區(qū)區(qū)間間為為側(cè)側(cè)信信稱稱 1.的的置置信信水水平平為為 的的 單單側(cè)側(cè)置置信信上上限限 單側(cè)置信限的求法單側(cè)置信限的求法:2, , ,X 對(duì)對(duì)于于正正

16、態(tài)態(tài)總總體體 若若均均值值 方方差差均均未未知知12,nXXX設(shè)設(shè) 是是一一個(gè)個(gè)樣樣本本, , 由由 (1) ,Xt nSn (1) = 1 ,XPtnSn有有 (1) = 1 .SPXtnn即即 (1) = 1 ,XPtnSn再再由由 1 于于是是的的一一個(gè)個(gè)置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信 (1) , ,SXtnn區(qū)區(qū)間間為為 1 而而的的置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信下下限限為為 (1) SXtnn . . 1 于于是是的的一一個(gè)個(gè)置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信 , +(1) ,SXtnn區(qū)區(qū)間間為為 1 而而的的置置信信水水平平為為的的單單側(cè)側(cè)置置信信上上限限為為 +(1) SXtnn . . +(1) = 1 .SPXtnn即即 例例5：為估計(jì)制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均為估計(jì)制造某種產(chǎn)品所需要的單件平均工時(shí)工時(shí)(單位單位:h), 現(xiàn)制造現(xiàn)制造5件件, 記錄每件所需工時(shí)記錄每件所需工時(shí)如下如下: 10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 , 設(shè)制造單設(shè)制造單件