小學(xué)奧數(shù)奇妙地一筆畫題庫教師版

1、WORD格式奇妙的一筆畫例題精講所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù)從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個(gè)問題的方法什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)一筆畫問題：( 1) 能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；( 2) 但凡只由偶點(diǎn)組成的連通圖形一定可以一筆畫出畫時(shí)可以由任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn)最后仍回到這點(diǎn)；( 3) 但凡只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形一定可以一筆畫出畫

2、時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；( 4) 奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過兩個(gè)的圖形，一定不能一筆畫多筆畫問題：我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半事實(shí)上，對(duì)于任意的連通圖來說，如果有2n 個(gè)奇點(diǎn) ( n 為自然數(shù) ) ，那么這個(gè)圖一定可以用n 筆畫成【例1】我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)以下列圖中，哪些點(diǎn)是偶點(diǎn)？哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)？【解析】奇點(diǎn)：JDHF偶點(diǎn)：AEBCGI【例2】判斷以下列圖a、圖b、圖c能否一筆畫NMAFAADBEOBGEFBCKLCD圖 bC圖 cD圖 a專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 圖 a 能，因?yàn)橛?/p>

3、2 個(gè)奇點(diǎn)，圖 b 不能，因?yàn)閳D形不是連通的，圖 c 能，因?yàn)橐驗(yàn)閳D中全是奇點(diǎn)【例3】下面圖形能不能一筆畫成？假設(shè)果能，應(yīng)該怎樣畫？【解析】 圖 1 能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)，圖 2 能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)，圖 3 不能因?yàn)橛?4 個(gè)奇點(diǎn)【例 4】 下面的圖形，哪些能一筆畫出？哪些不能一筆畫出？【解析】 第 1 個(gè)能， 2、 3 不能【例5】以下列圖中不能一筆畫成，請(qǐng)你在以下列圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖【解析】 不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有E H G F 四個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)EH 就可以使圖形一筆畫出【例6】以下列圖中的線段表示小路，請(qǐng)你仔細(xì)觀察， 認(rèn)真思考， 能夠不重復(fù)的爬遍小路

4、的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？【解析】要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以應(yīng)該從奇點(diǎn)出發(fā)才能一筆畫出圖形，所以甲螞蟻能夠【例7】能否用剪刀從左以下列圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 可以專業(yè)資料整理WORD格式【例8】以下列圖是兒童樂園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？【解析】要想不重復(fù)，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個(gè)奇點(diǎn)出，即 F和I點(diǎn)【例9】郵遞員叔叔向11 個(gè)地點(diǎn)送信一次信，不走重復(fù)路，怎樣走最適宜？【解析】 不走重復(fù)路，一筆能畫出路線圖，圖中有2

5、個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該從奇點(diǎn)處出發(fā)，下面有一種參考路線：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【例10】觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成？【解析】 圖 ( 1) 有 8 個(gè)奇點(diǎn)，所以要4 筆畫出，圖 ( 2) 有 12 個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫出，圖 ( 3) 能一筆畫出【例11】 判斷以下列圖形能否一筆畫假設(shè)能，請(qǐng)給出一種畫法；假設(shè)不能，請(qǐng)加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形HAAGGHBBIFAIJFEFGHBKLECCDECDD圖 a圖 b圖 c【解析】 圖 ( 1) 不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4 個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)BD ，或者去掉 BF 都可以使圖形能一筆畫出圖 ( 2) 不能一筆畫出，因

6、為圖中有4 個(gè)奇點(diǎn)，去掉 KL ，或者 BK 都可以使圖形能一筆畫出圖 ( 3) 不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4 個(gè)奇點(diǎn)，去掉 AB 可以使圖形能一筆畫出專業(yè)資料整理WORD格式一個(gè)K ( K 1) 筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K 筆畫有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在專業(yè)資料整理WORD格式任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)如左以下列圖中的B， C兩個(gè)奇點(diǎn)專業(yè)資料整理WORD格式在右以下列圖中都變成了偶點(diǎn)所以只要在K 筆畫的 2K 個(gè)奇點(diǎn)間添加( K -1) 筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2 個(gè)，從而變成一筆畫【例12】18 世紀(jì)的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中

7、有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心集合，集合處有一座小島A 和一座半島D，人們?cè)谶@里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個(gè)小島連接起來 ( 如圖 a) 如果游人要一次走過這七座橋，而且對(duì)每座橋只許走一次，問如何走才能成功？【解析】 歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋那么可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線這樣，一個(gè)實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形( 如以下列圖 ) 能否一筆畫出的問題了而圖B 中有 4 個(gè)奇點(diǎn)顯然不能一筆畫出【穩(wěn)固】如以下列圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七

8、座橋連接這兩個(gè)島及河岸問：一個(gè)散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？【解析】 能【例 13】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個(gè)展覽廳還有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有的門，并且從入口進(jìn)，從出口出？專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 將圖形中的6 個(gè)區(qū)域看成6 個(gè)點(diǎn)，每個(gè)門看成連結(jié)他們的線段，顯然6 個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以有人能一次不重復(fù)的走過所有的門【穩(wěn)固】右圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請(qǐng)說明理由如果能，應(yīng)從哪開場(chǎng)走？EABDC【解析】 不能【例14】 一條小蟲沿長(zhǎng)6分米，寬4分米，高5分米的長(zhǎng)方體的棱爬

9、行如果它只能進(jìn)不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？【解析】 8 個(gè)定點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以至少需要4 筆多畫長(zhǎng)和高能保證總路程最長(zhǎng)，為A B G H AD C F ED總長(zhǎng)為 6454 41 48 分米專業(yè)資料整理WORD格式【穩(wěn)固】一只木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為不允許重復(fù)，那么甲蟲回到5，4， 3 厘米 ( 見右圖 ) ，有一只甲蟲從A 點(diǎn)時(shí)，最多能爬行多少厘米？A 點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，每條棱專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 最多34 厘米專業(yè)資料整理WORD格式【例15】如圖是某餐廳的平面圖，共有五個(gè)小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設(shè)有入口請(qǐng)問你能否從入口進(jìn)入一次不重復(fù)地穿過所有的

10、門如果可以，請(qǐng)指明穿行路線，如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個(gè)門就可以辦到？專業(yè)資料整理WORD格式【解析】可以將圖中的五個(gè)小廳以及廳外的局部都抽象成點(diǎn)，為方便解題，給它們分別編號(hào)這時(shí)，連通廳與廳之間的門就相當(dāng)于各點(diǎn)之間的連線于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個(gè)連通的圖形，求穿形路線的問題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問題在抽象出的圖形中，我們可以找到四個(gè)奇點(diǎn)，即、和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進(jìn)入不可能一次不重復(fù)的穿過所有的門但根據(jù)一筆畫問題的知識(shí)，只要關(guān)閉門，把、變?yōu)榕键c(diǎn)，就可以辦到，可行路線如以下列圖：B【例16】在 3 3的方陣中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100 米小明沿線段從A點(diǎn)到 B 點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【解析】 這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實(shí)際上可以用一筆畫原理求解首先，圖中有8 個(gè)奇點(diǎn)，在 8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4 條線段，才能使這 8 個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)； 其次，從 A點(diǎn)出發(fā)到 B 點(diǎn)， A， B 兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A， B 都是偶點(diǎn)，必須在與A，B 連接的線段中各去掉1 條線段，使 A，B 成為奇點(diǎn)所以至少要去掉6 條線段，也就是最多能走1800 米，走法如圖【例17】 一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)， 要走遍各街道，最后回到郵局怎樣走才能使所走的