經(jīng)典力學(xué)課件：第4章慣量張量

1、xyzoxyzijkiiiirxiy jzk在Oxyz坐標(biāo)系下()iiii iiJrm vm rr AAA(BC )= (C )B - (B )C由2() iiiiJm rrr得代入xyzijkiiiirxiy jzk222222222()()()()j + ()()iiiixixiyiziiiiiyixiyiziiiiizixiyiziJmxyzxyzx imxyzxyzymxyzxyzz k + 222222()()()iiixiiiyiiiziiixiiiyiiiziiixiiiyiiizm yzm x ym x zim y xm zxm y zjm z xm y zm xyk -可得x

2、yzJJ iJ jJ k即222222()()()xiiixiiiyiiizyiiixiiiyiiizziiixiiiyiiizJmyzm x ym x zJm y xmzxm y zJm z xm z ymxy -222222()()()xxiiiyyiiizziiixyiiixziiiyxiiiyziiizxiiizyiiiIm yzIm zxIm xyIm x yIm x zIm y xIm y zIm z xIm z y ， ， ， 令xyyxxzzxyzzyIIIIII ， ， 顯然有xxxxxyxxzxyyxxyyyyzzzyxxzyyzzzJIIIJIIIJIII 則其中Ixx、

3、 Iyy、I zz分別是剛體相對(duì)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ixy、 Iyx、I xz、Izx、 Iyz、I zy是交叉項(xiàng)，稱作慣量積。222222()()()xxxyyxyyxzzxzzyzzyIyzdmIIxydmIzxdmIIxzdmIxydmIIyzdm , , , 若是連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)組，應(yīng)該是積分n 角動(dòng)量的矩陣形式xxxxyxzxyyxyyyzyzxzyzzzzJIIIJIIIIIIJ以上，以上，Ixx、Ixy、Izz等等9個(gè)量組成了個(gè)量組成了一個(gè)張量，稱為一個(gè)張量，稱為慣性張量慣性張量。00 xxxxyxzxzzyyxyyyzyzzzxzyzzzzzzzJIIIIJIIIIIIIIJ 當(dāng)

4、z軸與轉(zhuǎn)軸重合時(shí)，xy0。角動(dòng)量矩陣簡(jiǎn)化為2kk111E2211()()22()E()2iiiiiiiiiim vm v vm vrrm vABCBCAJ =）即代入xyzijkxyzJJ iJ jJ k可得222kxxxyyyzzz1E(2222)yzyzzxzxxyxyIIIIII 2k1EI2而對(duì)比上兩式，可得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的表達(dá)式222xxxyyyzzz2yzyzzxzxxyxy1(222)IIIIII (coscoscos)xyzijkijk又因?yàn)榇肷鲜娇傻脁xyyzzyzzxxy(coscoscos2coscos2coscos2coscos)IIIIII若將cos，cos，cos分別

5、記為，和xxyyzzyzzxxy(222) IIIIIIxxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIII =對(duì)于具有幾何對(duì)稱性的勻質(zhì)剛體，若選擇其對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，則可消除掉交叉項(xiàng)Iij。例如z軸是剛體的幾何對(duì)稱軸，則剛體上任意一點(diǎn)（xi，yi，zi），總存在一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)（xj，yj，zj），并有xixj，yiyj，zizj0 xzzxiiiyzzyiiiIIm x zIIm y z=0 角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)能xxyyyzzzJ=Ii+Ij+Ikx222xxyyzz(coscoscos)IIIyz222kxxyyzz1E =(I+I+I)2x 角動(dòng)量xyzJ00J0000JxxxyyyzzzI

6、II 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量xxyyzz000000III = 動(dòng)能xxyyzz000000 xxyzyzIII k1E =2LLyxzABROzxzxJJzJxJ1xzJ2以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，z軸沿盤面的法線方向，建立Oxyz坐標(biāo)系，z軸、x軸和轉(zhuǎn)軸在一個(gè)平面內(nèi)。(sincos)xzikij（）則22xxzz11ImRmR42，22211J=mR(sincos4211mRsincos42ik）（+）而所以本題可以這樣考慮，將Jx和Jz分別向轉(zhuǎn)軸方向投影并求和，得到J的轉(zhuǎn)軸分量為J1xz222JJ sinJ cos11mR(sincos)421JI22211mR (sincos)42I而得到JJzJxJ1xzJ2

7、J2(t)J2(t+t)J J2 2J J2 2J的變化是由于J的與軸垂直的分量J2變化所致。J2繞轉(zhuǎn)軸以的角速度旋轉(zhuǎn)。2zx22J =J sinJ cos11mR(cossinsincos)241mRsin 28J2的大小不變，但方向變化。222221J =JmRsin 28J1=mRsin 28t1mRsin 28dddd22222J M2FLtJ1F=m Rsin 2t16Ldddd12LABCDABCDCDBADCPAPAAr = r + rV= V + V= V + VOrPrAAPrVVPVAVAPAVV =r(rr )PAPAAAPAdrdrddrV=(r + r) =+dtdtdtdtdrdrd rVrdtdtdtd r0dtVVr ， （剛體，P到A的距離恒定）以A為基點(diǎn)時(shí)PAAAV= V +r BAABAV= V +r(r = rr ) 證明：O為固定參照點(diǎn)，P為剛體上任一點(diǎn)，A、B是任選的兩個(gè)基點(diǎn)。以A為基點(diǎn)時(shí)以A為基點(diǎn)，B點(diǎn)的速度為PBBBV= V+r 代入VP的表達(dá)式，得到PAABBAABABBPAAAABABBAAV= V+rr V+(rr )r V= V+r (rr )r r BAABAABBBAA