卡爾曼濾波器算法C寫的+很好

1、卡爾曼濾波器 Kalman Filter1.什么是卡爾曼濾波器(What is the Kalman Filter?在學習卡爾曼濾波器之前,首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論(例如傅立葉變換,泰勒級數(shù)等等一樣,卡爾曼也是一個人的名字,而跟他們不同的是,他是個現(xiàn)代人!簡單來說,卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive data processing algor IT hm(最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法”。對于解決很大部分的問題,他是最優(yōu),效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應用已經(jīng)超過30年,包括機器人導航,控制,傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達系統(tǒng)以及導彈追蹤等等。近年來更被

2、應用于計算機圖像處理,例如頭臉識別,圖像分割,圖像邊緣檢測等等。2.卡爾曼濾波器的介紹(Introduction to the Kalman Filter為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器,這里會應用形象的描述方法來講解,而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學公式和數(shù)學符號。但是,他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計算機,其實卡爾曼的程序相當?shù)暮唵?只要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前,先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷,這個房間的溫度是恒定的,也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度(假設(shè)我們用一分鐘來做時間單位

3、。假設(shè)你對你的經(jīng)驗不是100%的相信,可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲(Wh IT e Gaussian Noise,也就是這些偏差跟前后時間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution。另外,我們在房間里放一個溫度計,但是這個溫度計也不準確的,測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了,現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關(guān)于該房間的溫度值:你根據(jù)經(jīng)驗的預測值(系統(tǒng)的預測值和溫度計的值(測量值。下面我們要用這兩個值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值,來預測k時

4、刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的,所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的,假設(shè)是23度,同時該值的高斯噪聲的偏差是5度(5是這樣得到的:如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3,你對自己預測的不確定度是4度,他們平方相加再開方,就是5。然后,你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值,假設(shè)是25度,同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值,分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢?相信自己還是相信溫度計呢?究竟相信誰多一點,我們可以用他們的covariance來判斷。因為Kg2=52/(52+42,所以Kg=0.78,我們可以估算出k時刻的實際溫度值是:23+

5、0.78*(25-23=24.56度?？梢钥闯?因為溫度計的covariance 比較小(比較相信溫度計,所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了,下一步就是要進入k+1時刻,進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止,好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對了,在進入k+1時刻之前,我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值(24.56度的偏差。算法如下:(1-Kg*520.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差,得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差(對應于上面的3。就是這樣,卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸,從而估

6、算出最優(yōu)的溫度值。他運行的很快,而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg,就是卡爾曼增益(Kalman Gain。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值,是不是很神奇!下面就要言歸正傳,討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3.卡爾曼濾波器算法(The Kalman Filter Algor IT hm在這一部分,我們就來描述源于Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述,會涉及一些基本的概念知識,包括概率(Probabil IT y,隨即變量(Random Variable,高斯或正態(tài)分配(Gaussian Distribution還有State-space Model 等等。但對于卡

7、爾曼濾波器的詳細證明,這里不能一一描述。首先,我們先要引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機微分方程(Linear Stochastic Difference equation來描述:X(k=A X(k-1+B U(k+W(k再加上系統(tǒng)的測量值:Z(k=H X(k+V(k上兩式子中,X(k是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài),U(k是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù),對于多模型系統(tǒng),他們?yōu)榫仃嚒(k是k時刻的測量值,H是測量系統(tǒng)的參數(shù),對于多測量系統(tǒng),H為矩陣。W(k和V(k分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(Wh IT e Gaussian Noise,他們的covarian

8、ce 分別是Q,R(這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化。對于滿足上面的條件(線性隨機微分系統(tǒng),過程和測量都是高斯白噪聲,卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的covariances 來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出(類似上一節(jié)那個溫度的例子。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型,來預測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k,根據(jù)系統(tǒng)的模型,可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預測出現(xiàn)在狀態(tài):X(k|k-1=A X(k-1|k-1+B U(k (1式(1中,X(k|k-1是利用上一狀態(tài)預測的結(jié)果,X(k-1|k-1是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果,U(k為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量,如果沒有控制量,它可以為0。到現(xiàn)在為止,

9、我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了,可是,對應于X(k|k-1的covariance還沒更新。我們用P表示covariance: P(k|k-1=A P(k-1|k-1 A+Q (2式(2中,P(k|k-1是X(k|k-1對應的covariance,P(k-1|k-1是X(k-1|k-1對應的covariance,A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣,Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1,2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個,也就是對系統(tǒng)的預測?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預測結(jié)果,然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結(jié)合預測值和測量值,我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k的最優(yōu)化估算值X(k|k:X(k|k= X(k|k-1+Kg(

10、k (Z(k-H X(k|k-1 (3其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain:Kg(k= P(k|k-1 H / (H P(k|k-1 H + R (4到現(xiàn)在為止,我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束,我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k的covariance:P(k|k=(I-Kg(k HP(k|k-1 (5其中I 為1的矩陣,對于單模型單測量,I=1。當系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時,P(k|k就是式子(2的P(k-1|k-1。這樣,算法就可以自回歸的運算下去。卡爾曼濾波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 個基本公式。

11、根據(jù)這5個公式,可以很容易的實現(xiàn)計算機的程序。下面,我會用程序舉一個實際運行的例子。4.簡單例子(A Simple Example這里我們結(jié)合第二第三節(jié),舉一個非常簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所舉的例子是進一步描述第二節(jié)的例子,而且還會配以程序模擬結(jié)果。根據(jù)第二節(jié)的描述,把房間看成一個系統(tǒng),然后對這個系統(tǒng)建模。當然,我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的,所以A=1。沒有控制量,所以U(k=0。因此得出:X(k|k-1=X(k-1|k-1 (6式子(2可以改成:P(k|k-1=P(k-1|k-1 +Q (7因為測量的值是溫度計的,跟溫度直接對應,所以H=1。式子3,4,5可以改成以下:X(k|k= X(k|k-1+Kg(k (Z(k-X(k|k-1 (8Kg(k= P(k|k-1 / (P(k|k-1 + R (9P(k|k=(1-Kg(kP(k|k-1 (10現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設(shè)房間的真實溫度為25度,我模擬了200個測量值,這些測量值的平均值為25度,但是加入了標準偏差為幾度的高斯白噪聲(在圖中為藍線。為了令卡爾曼濾波器開始工作,我們需要告訴卡爾曼兩個零時刻的初始值,是X(0|0