第二十一章 “二次根式”簡(jiǎn)介

1、第二十一章 “二次根式”簡(jiǎn)介課程教材研究所左懷玲本章內(nèi)容“二次根式”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，第三學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實(shí)數(shù)。對(duì)于有理數(shù)和實(shí)數(shù)，本套教課書(shū)主要分三章編寫，分別是7年級(jí)上冊(cè)第1章“有理數(shù)”，7年級(jí)下冊(cè)第10章“實(shí)數(shù)”和本章“二次根式”。本章是在第10章的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究有關(guān)實(shí)數(shù)的內(nèi)容。在第10章“實(shí)數(shù)”中，學(xué)生學(xué)習(xí)了一些有關(guān)實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算，所學(xué)概念主要有平方根、算術(shù)平方根、立方根以及無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念；關(guān)于運(yùn)算，主要是利用平方運(yùn)算和立方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根和立方根，并對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中仍然成立這一點(diǎn)有所體驗(yàn)。

2、本章是在第10章的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究二次根式的概念和運(yùn)算。在本章中，學(xué)生將學(xué)習(xí)二次根式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算法則和化簡(jiǎn)的方法，通過(guò)對(duì)二次根式的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì)實(shí)數(shù)的概念有更深刻的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生將對(duì)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算有進(jìn)一步的了解。學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵是理解二次根式的概念和性質(zhì)，它們是學(xué)習(xí)二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算的依據(jù)，重點(diǎn)是二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，難點(diǎn)是正確理解二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理性。本章內(nèi)容與已學(xué) “實(shí)數(shù)”“整式”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，同時(shí)也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式

3、、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。本章教學(xué)時(shí)間約需9課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：211 二次根式 約2課時(shí)212 二次根式的乘除 約2課時(shí)213 二次根式的加減 約3課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié) 約2課時(shí)一、教科書(shū)內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖（二）教科書(shū)內(nèi)容本章內(nèi)容分為三節(jié)，第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì)，本節(jié)既是第10章相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展，同時(shí)又是后面兩節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)起承上啟下的作用；第二節(jié)是二次根式的乘除運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn)；第三節(jié)是二次根式的加減，主要研究二次根式的加減運(yùn)算法則和進(jìn)一步完善二次根式的化簡(jiǎn)。在第21.1節(jié) “二次根式”中，

4、教科書(shū)首先給出四個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這些實(shí)際問(wèn)題的背景是學(xué)生比較熟悉的，其中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系也是比較簡(jiǎn)單的，前三個(gè)是幾何問(wèn)題，分別是已知直角三角形的兩條直角邊求斜邊的長(zhǎng)、已知正方形的面積求邊長(zhǎng)和已知圓的面積求半徑，最后一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是物理方面的，涉及到的數(shù)學(xué)關(guān)系是，要求用h表示t。解決這四個(gè)問(wèn)題需要利用已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)，這四個(gè)問(wèn)題的答案，在結(jié)果的表達(dá)式上有共同的特點(diǎn)，即都是用算術(shù)平方根的形式表示出來(lái)的，這樣教科書(shū)就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)分析所得答案的表達(dá)式的共同特點(diǎn)引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一點(diǎn)是理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的要求，教科書(shū)結(jié)合例題對(duì)此進(jìn)行了較詳細(xì)的分析。接下去，教科

5、書(shū)依次探討了關(guān)于二次根式的結(jié)論：是一個(gè)非負(fù)數(shù)、。對(duì)于“是非負(fù)數(shù)”，教科書(shū)是利用算術(shù)平方根的概念得到的；對(duì)于，教科書(shū)則采用由特殊到一般的方法歸納得出的。在研究這個(gè)結(jié)論時(shí)，教科書(shū)首先設(shè)置“探究”欄目，要求學(xué)生利用算術(shù)平方根的概念進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算，并對(duì)運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析，最后歸納給出這條結(jié)論；對(duì)于結(jié)論，教科書(shū)同樣采用了讓學(xué)生通過(guò)具體計(jì)算，分析運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算結(jié)果，最后歸納得出一般結(jié)論的方法進(jìn)行研究。第一節(jié)的內(nèi)容是學(xué)習(xí)后兩節(jié)內(nèi)容的直接基礎(chǔ)。對(duì)于二次根式的運(yùn)算，教科書(shū)首先研究了乘除運(yùn)算，這是21.2節(jié)“二次根式的乘除”的內(nèi)容。本節(jié)中，除了學(xué)習(xí)二次根式的乘除運(yùn)算法則外，還研究了二次根式的化

6、簡(jiǎn)。對(duì)于二次根式的乘除運(yùn)算，教科書(shū)首先研究了二次根式的乘法運(yùn)算，二次根式的乘法法則是利用由特殊到一般的方法歸納給出的。教科書(shū)先設(shè)置一個(gè)“探究”欄目，在“探究”欄目中包含兩個(gè)不同層次的探究問(wèn)題。第一步是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步是讓學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，因此第一步中的被開(kāi)方數(shù)都是完全平方數(shù)，這樣有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步中的被開(kāi)方數(shù)不是完全平方數(shù)，要求用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)算，以確認(rèn)規(guī)律是否正確。這樣，學(xué)生通過(guò)“探究”欄目的活動(dòng)，就可以發(fā)現(xiàn)與之間的關(guān)系，從而得到二次根式乘法的運(yùn)算法則，運(yùn)用運(yùn)算法則就可以進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算。如果將二次根式的乘法法則反過(guò)來(lái)看，就可以得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用

7、這條性質(zhì)可以化簡(jiǎn)二次根式，這樣教科書(shū)就給出了一種化簡(jiǎn)二次根式的方法。對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算，類似于乘法運(yùn)算，教科書(shū)也采用了由特殊到一般的方法，通過(guò)歸納得出二次根式除法的運(yùn)算法則，繼而得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)也可以化簡(jiǎn)二次根式，這樣教科書(shū)又給出一種化簡(jiǎn)二次根式的方法。本節(jié)最后，教科書(shū)結(jié)合本章例題，給出了最簡(jiǎn)二次根式的概念，明確了化簡(jiǎn)二次根式的方向，這為下一節(jié)學(xué)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算作好鋪墊。第21.3節(jié)是“二次根式的加減”，本小節(jié)的主要內(nèi)容是二次根式的加減運(yùn)算和二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算，本小節(jié)的基礎(chǔ)是學(xué)生已經(jīng)掌握了把一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式的方法。學(xué)習(xí)二次根式的運(yùn)算是研

8、究數(shù)學(xué)的需要，也是實(shí)際的需要。本節(jié)開(kāi)始，教科書(shū)結(jié)合一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引出二次根式的加法運(yùn)算，使學(xué)生感到研究二次根式的加減運(yùn)算是實(shí)際的需要。這個(gè)實(shí)際問(wèn)題是要在一塊長(zhǎng)方形木板上截出兩塊面積不同的正方形木板，當(dāng)然解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的方法可能不同，教科書(shū)采用的是先求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和，再將這個(gè)和與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)進(jìn)行比較的方法，利用這種方法會(huì)遇到求二次根式的和的問(wèn)題，這樣教科書(shū)就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引出了二次根式的加法運(yùn)算的問(wèn)題。之后，教科書(shū)結(jié)合這個(gè)例子，研究了二次根式加減運(yùn)算的法則，明確了二次根式的加減首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)之后就是類似于整式的加減運(yùn)算了。整式加減無(wú)非是去括號(hào)與合并同類項(xiàng)，二次根式在化簡(jiǎn)之后也是如此，合

9、并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（合并同類二次根式）實(shí)際上相當(dāng)于合并同類項(xiàng)，合并的依據(jù)是分配律，關(guān)于這一點(diǎn)，在第10章“實(shí)數(shù)”中已經(jīng)有所涉及，教科書(shū)也在邊空給出說(shuō)明。在分別學(xué)習(xí)了二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算的基礎(chǔ)上，就可以研究它們的混合運(yùn)算了。教科書(shū)以例題的方式介紹了二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的例子，突出了二次根式與整式之間的關(guān)系，體現(xiàn)了整式的運(yùn)算性質(zhì)、公式和法則與二次根式相關(guān)內(nèi)容的一致性。（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)對(duì)于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；2. 了解最簡(jiǎn)二次根式的概念；3. 理解并掌握下列結(jié)論：（1）是非負(fù)數(shù)；（2）；（3）；4

10、. 掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；5. 了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。二、本章編寫特點(diǎn)（一）注意加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系本章內(nèi)容屬于”數(shù)與代數(shù)”這個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于實(shí)數(shù)的內(nèi)容，本套教科書(shū)主要分為兩章學(xué)習(xí)，分別是七年級(jí)下冊(cè)的第10章“實(shí)數(shù)”和本章“二次根式”。在“實(shí)數(shù)”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，并對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受，這些就為本章的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。因此，本章編寫時(shí)充分注意與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，在“實(shí)數(shù)”一章的基礎(chǔ)上進(jìn)行編寫。例如，

11、對(duì)于二次根式的加減運(yùn)算，在“實(shí)數(shù)”一章中，學(xué)生在體驗(yàn)“有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)仍然成立”的過(guò)程中有所接觸，本章就在此基礎(chǔ)上利用分配律給出了加減法的運(yùn)算法則，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)算律在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中的一致性。本章內(nèi)容與第15章“整式”有著密切的聯(lián)系。由于數(shù)式通性，當(dāng)將二次根式中的實(shí)數(shù)看成字母時(shí)，二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算，因此整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中繼續(xù)使用，因此本章編寫時(shí)，強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系。例如，教科書(shū)在介紹二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，強(qiáng)調(diào)了利用多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，突出了二次根式運(yùn)算的本質(zhì)，這樣的編寫方式加強(qiáng)了知識(shí)之間的相互聯(lián)系，有助于使學(xué)

12、生的學(xué)習(xí)形成正遷移。（二）加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系研究二次根式的概念和運(yùn)算既是數(shù)學(xué)內(nèi)在的需要，也是實(shí)際的需要，因此本章編寫時(shí)，注意加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。例如，二次根式概念的引入是結(jié)合四個(gè)實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)的，二次根式加法運(yùn)算是結(jié)合實(shí)際中裁截板材引出的，另外本章也有較多的應(yīng)用本章內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題的例題和習(xí)題，如計(jì)算鋼材問(wèn)題、確定紙張規(guī)格問(wèn)題、電視塔的傳播半徑問(wèn)題等。加強(qiáng)二次根式與實(shí)際的聯(lián)系，將一些重要的概念和運(yùn)算緊密結(jié)合實(shí)際生活展開(kāi)，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中認(rèn)識(shí)二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算，這樣的一種編寫方式有助于學(xué)生理解二次根式的本質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性（三）加大學(xué)生探索空間，體現(xiàn)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程由

13、于本章內(nèi)容與以前所學(xué)的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系，在思考問(wèn)題的方法上與整式的內(nèi)容又有很多相通之處，因此對(duì)于一些重要結(jié)論，編寫時(shí)注意了讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結(jié)論的過(guò)程。例如，對(duì)于二次根式的乘法法則，教科書(shū)首先讓學(xué)生利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行幾個(gè)具體的計(jì)算，其中有兩個(gè)二次根式相乘的問(wèn)題，也有積的算術(shù)平方根的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)具體計(jì)算，并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系，并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，然后利用計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證，最后歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)經(jīng)歷了一個(gè)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程；同樣，二次根式的除法運(yùn)算法則也是采用通過(guò)學(xué)生的

14、探索活動(dòng)，由特殊到一般地歸納得出結(jié)論的方法。這樣，根據(jù)本章內(nèi)容的特點(diǎn)，本章編寫時(shí)盡可能多地給學(xué)生留出探索交流的空間，通過(guò)這樣的探究活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，掌握認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題（一）適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較基礎(chǔ)的內(nèi)容，尤其是二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形、一元二次方程和二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，例如在“銳角三角函數(shù)”一章中，會(huì)遇到很多實(shí)際問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，要遇到將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以及二次根式的加減運(yùn)算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程時(shí)，會(huì)用到二次根式的性質(zhì)，在“二次函

15、數(shù)”一章中，判斷二次函數(shù)的圖象與_軸是否有交點(diǎn)時(shí)，會(huì)遇到根的判別式中被開(kāi)方數(shù)小于0的情形，這里需要深刻理解二次根式的意義。因此二次根式的有關(guān)概念和運(yùn)算是學(xué)好這些后續(xù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，而熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定的訓(xùn)練。這樣，教學(xué)中可以適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生較好地理解二次根式的意義，較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識(shí)作好準(zhǔn)備。另外，本章內(nèi)容與“整式”“勾股定理”等聯(lián)系緊密，在加強(qiáng)練習(xí)的過(guò)程中，要注意強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，進(jìn)一步加深對(duì)整式和勾股定理等內(nèi)容的理解，使學(xué)生養(yǎng)成以聯(lián)系和發(fā)展的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣（二）引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)本章的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解二次根式的概念和，并會(huì)熟練運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算。本章編寫時(shí)，注重說(shuō)明性質(zhì)和法則成立的合理性，突出了它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如，教科書(shū)在介紹二次根式的性質(zhì)時(shí)，首先讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)，對(duì)這條性質(zhì)有所感受，然后再?gòu)乃阈g(shù)平方根的意義出發(fā)，結(jié)合具體例子對(duì)這條性質(zhì)進(jìn)行分析，最后由特殊