第二十二章“一元二次方程”簡介

1、第二十二章“一元二次方程”簡介課程教材研究所田載今 一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）教科書內(nèi)容本章的主要內(nèi)容包括：一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及運用一元二次方程分析和解決實際問題.全章共包括三節(jié)：221 一元二次方程222 降次223 實際問題與一元二次方程22.1 節(jié)以實際問題為背景，引出一元二次方程的概念，歸納出一元二次方程的一般形式，給出一元二次方程的根的概念，并提出一元二次方程的根不唯一.這些概念是全章后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ).22.2節(jié)討論一元二次方程的基本解法，其中包括配方法、公式法和因式分解法等，這一節(jié)是全章的重點內(nèi)容之一。本套教科書在本章

2、之前的方程都是一次方程或可化為一次方程的分式方程，一元二次方程是首次出現(xiàn)的一次以上的方程。解二次方程的基本策略是將其轉(zhuǎn)化為一次方程，這就是“降次”。22.2節(jié)首先通過解比較簡單的一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識直接開平方法解方程；然后討論比較復(fù)雜的一元二次方程，通過對比一邊為完全平方形式的方程，使學(xué)生認(rèn)識配方法的基本原理并掌握其具體方法；有了配方法作基礎(chǔ)，再討論如何用配方法解一元二次方程的一般形式，就得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式的公式法。本節(jié)最后討論因式分解法解一元二次方程，這種解法要使方程的一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別令每個一次因式為0。這幾種解法都是依降次的思想

3、，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，只是具體的降次手段有所不同。223節(jié)安排了4個探究內(nèi)容，結(jié)合實際問題，分別討論傳播問題、增長率問題、幾何圖形面積問題和勻變速運動。一元二次方程與許多實際問題都有聯(lián)系，本節(jié)不是按照實際問題的類型分類和選材的，而是選取幾個具有一定代表性的實際問題來進(jìn)一步討論如何建立和利用方程模型，重點在分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系并以方程形式進(jìn)行表示，這種數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn)與前面有關(guān)方程各章是一致的，只是在問題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有新的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型由一次方程或可以化為一次方程的分式方程變?yōu)橐辉畏匠?。本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實際、貼近生活。這樣安排的主要目的是：1反映客觀世界與

4、數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系；2加強對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的意識和能力的培養(yǎng)。課程標(biāo)準(zhǔn)沒有將一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）列為必學(xué)內(nèi)容，因此本章也未在課文中安排有關(guān)內(nèi)容?？紤]到部分學(xué)有余力的學(xué)生可以進(jìn)一步擴(kuò)大對一元二次方程的認(rèn)識，以及這個內(nèi)容是比較重要的數(shù)學(xué)知識，教科書在選學(xué)欄目“觀察與猜想”中安排了有關(guān)內(nèi)容，希望能提供一些問題給部分學(xué)生去探究。在本章小結(jié)中，教科書通過本章知識結(jié)構(gòu)圖和思考題，再次強調(diào)解一元二次方程與實際問題之間的聯(lián)系，突出解一元二次方程的基本思路以及具體方法，這是本章的重點內(nèi)容。一元二次方程是本套初中數(shù)學(xué)教科書中所學(xué)習(xí)的最后一種方程，從某種意義上說，學(xué)習(xí)本章也具有對方程

5、的學(xué)習(xí)進(jìn)行總結(jié)的作用。（二）本章知識結(jié)構(gòu)框圖（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1以分析實際問題中的等量關(guān)系并求解其中的未知數(shù)為背景，認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念；2根據(jù)化歸的思想，抓住“降次”這一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；3經(jīng)歷分析和解決實際問題的過程，體會一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實際問題中運用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。（四）課時安排本章教學(xué)時間約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：221 一元二次方程 2課時222 降次 6課時223 實際問題與一元二次方程 3課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 2課時二、本章編寫特點本章教科書在編寫中力圖體現(xiàn)以下兩個特點。（一

6、）重視一元二次方程與實際的聯(lián)系，再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)，數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，這樣的抽象是一個逐步深入的過程.方程是含有未知數(shù)的等式，它們表達(dá)了數(shù)量之間的相等關(guān)系。正如前面所學(xué)習(xí)過的其他方程，一元二次方程可以表達(dá)許多實際問題中包含的數(shù)量相等關(guān)系，因而也可以作為分析和解決這些問題的重要數(shù)學(xué)模型。從反映方程與實際問題的密切聯(lián)系的角度看，本章與本套教科書前面有關(guān)方程的各章是一脈相承的，實際問題情境始終貫穿于本章之中。如前所述，本章從引言到小結(jié)始終保持貼近實際、貼近生活。引言中的雕像問題是典型的黃金分割問題，本章內(nèi)容由它說起，引出一個具

7、體的一元二次方程，接著在221節(jié)又利用面積問題和體育比賽中的組合問題補充兩個一元二次方程的具體例子，在這三個具體例子的基礎(chǔ)上歸納出一元二次方程的定義及一般形式。這樣編排可以反映一元二次方程及其有關(guān)概念是來源于現(xiàn)實世界的。在222節(jié)討論一元二次方程的解法時，教科書安排了問題13，它們都是比較簡單的實際問題。這樣編排可以反映討論一元二次方程的解法是解決現(xiàn)實世界實際問題的客觀需要，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)一元二次方程的解法可以解決許多實際問題。在223節(jié)，教科書安排了探究14，它們是比前面出現(xiàn)的實際問題更復(fù)雜的實際問題，討論這些問題是在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上拾級而上。這樣編排可以結(jié)合本章內(nèi)容再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，

8、進(jìn)一步加強利用一元二次方程分析解決實際問題能力的培養(yǎng)訓(xùn)練，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識于實際問題的興趣和意識，從長遠(yuǎn)看這將有助于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的意識和開拓創(chuàng)新精神.本章結(jié)尾的小結(jié)中，再次以知識結(jié)構(gòu)圖的形式強化數(shù)學(xué)建模思想，表現(xiàn)實際問題和列、解一元二次方程的聯(lián)系，這種概括起了畫龍點睛的作用。（二）重視一元二次方程的特殊性，突出解一元二次方程的基本策略以及解法中的關(guān)鍵步驟在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)分兩次學(xué)習(xí)過整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），并且學(xué)習(xí)了可以化為一元一次方程的分式方程，他們對于解方程的基本思路（使方程逐步化為的形式）已經(jīng)比較熟悉，按照這種思路可以繼續(xù)考慮一元二次方程的解法。一元二

9、次方程與前面的方程相比，特點在于未知數(shù)的次數(shù)是2（二次），新的問題是如何將一元二次方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的方程，即一次方程。從這個新問題入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和關(guān)鍵步驟。教科書分析問題時注意了體現(xiàn)出“降次” 是很自然、很合理地產(chǎn)生的，這是在原來已經(jīng)認(rèn)識了的解方程的基本思路基礎(chǔ)上，結(jié)合一元二次方程的實際而得到的解決問題的基本策略。這樣處理既突出了一元二次方程解法上的特點及其算理，又反映了一元二次方程與一元一次方程在解法上的內(nèi)在聯(lián)系。各種解法中能夠創(chuàng)造條件實現(xiàn)降次的步驟（配方、開方、分解因式等）就是該解法的關(guān)鍵步驟，它們是落實降次的具體措施。教科書的第22.2節(jié)以“降次”為節(jié)名，

10、其用意在于強調(diào)解一元二次方程的基本策略。在討論各種具體解法時，教科書把重點放在分析方程的形式特征上，并結(jié)合這些特征提出具體的有針對性的解法，強調(diào)其中的關(guān)鍵步驟所起的重要作用，這些內(nèi)容形成了課文的核心部分。三、幾個值得關(guān)注的問題本章的主要內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、應(yīng)用舉例等，這些都是重要的基礎(chǔ)知識，打好基礎(chǔ)很重要，因此教學(xué)中應(yīng)注意使學(xué)生切實掌握它們。此外，本章教學(xué)應(yīng)特別關(guān)注以下問題。（一）教學(xué)中應(yīng)重視聯(lián)系實際問題，加強對于數(shù)學(xué)建模思想的滲透在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視相關(guān)內(nèi)容與實際的聯(lián)系，可以選擇一些適合一元二次方程內(nèi)容而又接近本班學(xué)生生活的實際問題，結(jié)合這些問題展開教學(xué)的內(nèi)容。

11、要注意避免脫離任何實際問題單純地講述一元二次方程的內(nèi)容，雖然這種純數(shù)學(xué)的處理方法在數(shù)學(xué)體系內(nèi)部并無問題，但是從教學(xué)角度看它具有局限性，不適合初中學(xué)生接受，也不利于全面地提高學(xué)生素質(zhì)?？傊?，要充分注意有關(guān)現(xiàn)實背景，通過它們反映出一元二次方程來自實際又服務(wù)于實際，加強對一元二次方程是解決現(xiàn)實問題的一種數(shù)學(xué)模型的反映。對于把實際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一元二次方程的問題，關(guān)鍵是弄清實際問題的背景，找出實際問題中相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系，并把這樣的關(guān)系 “翻譯”為一元二次方程。這里需要指出，正確地理解實際問題情境是完成這一工作的基礎(chǔ)。因此，本章的教學(xué)不能是封閉于數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的，而應(yīng)是聯(lián)系實際問題的開放式的，同時在

12、豐富的內(nèi)容中不失提煉數(shù)學(xué)知識這個精髓，最終使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提高數(shù)學(xué)基本技能和能力，并且能運用它們處理某些實際問題。在本章的教學(xué)中，可以從多種角度表達(dá)和思考實際問題，例如借助圖象、表格、式子等進(jìn)行不同形式來描述問題，分析問題，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系，并建立相應(yīng)的一元二次方程模型。教學(xué)中還應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)方法解決問題的結(jié)果要接受實際檢驗，注意檢驗所得方程及其根的實際意義，進(jìn)行必要的討論，找出合乎實際的結(jié)果。（二）教學(xué)中應(yīng)結(jié)合一元二次方程的特點，從說理的角度討論方程的解法本章所討論的對象是一元二次方程，它的特殊性是其未知數(shù)為二次，這是前所未見的。將面臨的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的老問題，是解決問題的基本思路。正因如此，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即“降次”，成為解一元二次方程的基本策略。這也是化歸思想在解一元二次方程時的具體體現(xiàn)。教學(xué)中應(yīng)從一元二次方程的特點入手，通過對比以前所學(xué)方程來分析一元二次的特殊性，分析一元二次方程解法的產(chǎn)生背景，使學(xué)生認(rèn)識到降次是自然的、合理的，從而能順利地接受它，并用它探究一元二次方程的具體解法，而不是死記硬背解法步驟。教學(xué)中應(yīng)重視使學(xué)生明白各種解法的道理，結(jié)合探究解法再次體會化歸思想在解方程時的指導(dǎo)作用，進(jìn)而理解一元二次方程的具體解法的關(guān)鍵步驟及其