二次函數(shù)知識點匯總

1、二次函數(shù)知識點(第一講)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)：（上加下減）的符號開口方向頂點

2、坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質(zhì)：（左加右減）的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，

3、將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)

4、抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1.當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值 2. 當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三

5、種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1.二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當(dāng)時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當(dāng)時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時，即拋物線對

6、稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾

7、種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180

8、6;）關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)：當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是

9、一元二次方程的兩根這兩點間的距離.當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點；當(dāng)時，圖象與軸沒有交點.當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有；當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標(biāo)為，；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).拋物

10、線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：二次函數(shù)考查重點與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點， 則的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，

11、如：如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線（a0）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力

12、，常見的作為專項壓軸題。【例題經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 (1) (2)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(O

13、，2)的下方下列結(jié)論：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D4個答案：D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、（2006年煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1

14、）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=2，3.5時，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標(biāo)、對稱軸.例5、已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點P(4，10)，交x軸于，兩點，交y軸負(fù)半軸于C點，且滿足3AO=OB(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點M，使銳角MCO>ACO?若

15、存在，請你求出M點的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請你說明理由(1)解：如圖拋物線交x軸于點A(x1，0)，B(x2，O)，則x1·x2=3<0，又x1<x2，x2>O，x1<O，30A=OB，x2=-3x1x1·x2=-3x12=-3x12=1. x1<0，x1=-1x2=3點A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6(2)存在點M使MC0<ACO(2)解：點A關(guān)于y軸的對稱點A(1，O)，直線A，C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)符合題

16、意的x的范圍為-1<x<0或O<x<5當(dāng)點M的橫坐標(biāo)滿足-1<x<O或O<x<5時，MCO>ACO例7、 “已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（c，2）， 求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補充完整。點評： 對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函

17、數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A（c，2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標(biāo)，可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點的坐標(biāo)等。解答 （1）根據(jù)的圖象經(jīng)過點A（c，2），圖象的對稱軸是x=3，得解得所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是（3+”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)

18、是令x=3代入解析式，得所以拋物線的頂點坐標(biāo)為所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階

19、段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達式為y=-x+40 （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元 【點

20、評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m分

21、析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B知識點一、平面直角坐標(biāo)系1，平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標(biāo)的概念點的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒

22、。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo)。知識點二、不同位置的點的坐標(biāo)的特征 1、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征 點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限2、坐標(biāo)軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0）3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征位于平行于

23、x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標(biāo)的特征點P與點p關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點P與點p關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點P與點p關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)6、點到坐標(biāo)軸及原點的距離點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于知識點三、函數(shù)及其相關(guān)概念 1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的

24、每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)

25、平面內(nèi)描出相應(yīng)的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。知識點四，正比例函數(shù)和一次函數(shù) 1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為0時，（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0 y 0 x圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0 y 0 x圖

26、像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0 y 0 x 圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0 y 0 x 圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4、正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析

27、式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法知識點五、反比例函數(shù) 1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。2、反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但

28、永遠達不到坐標(biāo)軸。3、 反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖像 yO x yOx性質(zhì)x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小。x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如下圖，過反比

29、例函數(shù)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。 。知識點六、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果特，特別注意a不為零那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從

30、左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。知識點七、二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形式：口訣- 一般 兩根 三頂點（1）一般 一般式：（2）兩根 當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。（3）三頂點 頂點式：知識點八、二次函數(shù)的

31、最值 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，當(dāng)時，。知識點九、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)

32、x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：>0時，拋物線開口向上<0時，拋物線開口向下與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0，）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。因此一元二次方

33、程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當(dāng)>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)<0時，圖像與x軸沒有交點。知識點十 中考二次函數(shù)壓軸題常考公式（必記必會，理解記憶）1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） y如圖：點A坐標(biāo)為（x1，y1）點B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為 A 0 x B2，二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”函數(shù)平移圖

34、像大致位置規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）特別記憶-同左上加 異右下減 (必須理解記憶)說明 函數(shù)中ab值同號，圖像頂點在y軸左側(cè)同左，a b值異號，圖像頂點必在Y軸右側(cè)異右向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減3、 直線斜率： b為直線在y軸上的截距4、直線方程：4、 兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式: 此公式有多種變形 牢記點斜斜截直線的斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)截距 由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：牢記 口訣 -兩點斜截距-兩點 點斜 斜截 截距5、設(shè)兩條直線

35、分別為，： 若，則有且。 若6、 點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 7、 拋物線中， a b c,的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè). 口訣 - 同左 異右 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .十一，中考點擊 考點分析

36、：內(nèi)容要求1、函數(shù)的概念和平面直角坐標(biāo)系中某些點的坐標(biāo)特點2、自變量與函數(shù)之間的變化關(guān)系及圖像的識別，理解圖像與變量的關(guān)系3、一次函數(shù)的概念和圖像4、一次函數(shù)的增減性、象限分布情況，會作圖5、反比例函數(shù)的概念、圖像特征，以及在實際生活中的應(yīng)用6、二次函數(shù)的概念和性質(zhì)，在實際情景中理解二次函數(shù)的意義，會利用二次函數(shù)刻畫實際問題中變量之間的關(guān)系并能解決實際生活問題命題預(yù)測：函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，是每年中考的必考內(nèi)容，函數(shù)的概念主要用選擇、填空的形式考查自變量的取值范圍，及自變量與因變量的變化圖像、平面直角坐標(biāo)系等，一般占2%左右一次函數(shù)與一次方程有緊密地聯(lián)系，是中考必考內(nèi)容，一般以填空、選擇、

37、解答題及綜合題的形式考查，占5%左右反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查常以客觀題形式出現(xiàn)，要關(guān)注反比例函數(shù)與實際問題的聯(lián)系，突出應(yīng)用價值，36分；二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個十分重要的內(nèi)容，是中考的熱點，多以壓軸題出現(xiàn)在試卷中要求：能通過對實際問題情景分析確定二次函數(shù)的表達式，并體會二次函數(shù)的意義；會用描點法畫二次函數(shù)圖像，能叢圖像上分析二次函數(shù)的性質(zhì)；會根據(jù)公式確定圖像的頂點、開口方向和對稱軸，并能解決實際問題會求一元二次方程的近似值分析近年中考，尤其是課改實驗區(qū)的試題，預(yù)計2009年除了繼續(xù)考查自變量的取值范圍及自變量與因變量之間的變化圖像，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，在實際問題中考查對反比例函數(shù)的概念及

38、性質(zhì)的理解同時將注重考查二次函數(shù)，特別是二次函數(shù)的在實際生活中應(yīng)用十二，初中數(shù)學(xué)助記口訣(函數(shù)部分)特殊點坐標(biāo)特征:坐標(biāo)平面點(x,y),橫在前來縱在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后；X軸上y為0,x為0在Y軸。對稱點坐標(biāo):對稱點坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆，X軸對稱y相反,Y軸對稱,x前面添負(fù)號；原點對稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號。自變量的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行；零次冪底數(shù)不為零，整式、奇次根全能行。函數(shù)圖像的移動規(guī)律:若把一次函數(shù)解析式寫成y=k（x+0）+b、二次函數(shù)的解析式寫成y=a（x+h）2+k的形式，則用下面后的口訣“左右平移在括號

39、,上下平移在末稍, 同左上加 異右下減一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般

40、、頂點、交點式，不同表達能互換。反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)有特點,雙曲線相背離的遠;k為正,圖在一、三(象)限,k為負(fù),圖在二、四(象)限;圖在一、三函數(shù)減,兩個分支分別減。圖在二、四正相反,兩個分支分別添;線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。正比例函數(shù)是直線，圖象一定過圓點，k的正負(fù)是關(guān)鍵，決定直線的象限，負(fù)k經(jīng)過二四限，x增大y在減，上下平移k不變，由引得到一次線，向上加b向下減，圖象經(jīng)過三個限，兩點決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵。反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點

41、，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。1 對稱點坐標(biāo):對稱點坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆，X軸對稱y相反, Y軸對稱,x前面添負(fù)號； 原點對稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號。關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是關(guān)于頂點對稱關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是關(guān)于點對稱關(guān)于點對稱后，得到的解析

42、式是根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式口訣- - Y反對X，X反對Y，都反對原點2 自變量的取值范圍：分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行；零次冪底數(shù)不為零，函數(shù)圖像的移動規(guī)律: 若把一次函數(shù)解析式寫成y=k（x+0）+b，二次函數(shù)的解析式寫成y=a（x+h）2+k的形式，則用下面后的口訣：“左右平移在括號,上下平移在末稍,左正右負(fù)須牢記,

43、上正下負(fù)錯不了”。一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠。 二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象限；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置, 符號反,一般、頂點、交點式，

44、不同表達能互換。反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)有特點,雙曲線相背離的遠;k為正,圖在一、三(象)限；k為負(fù),圖在二、四(象)限;圖在一、三函數(shù)減,兩個分支分別減；圖在二、四正相反,兩個分支分別添;線越長越近軸,永遠與軸不沾邊。函數(shù)學(xué)習(xí)口決：正比例函數(shù)是直線，圖象一定過原點，k的正負(fù)是關(guān)鍵，決定直線的象限，負(fù)k經(jīng)過二四限，x增大y在減，上下平移k不變，由引得到一次線，向上加b向下減，圖象經(jīng)過三個限，兩點決定一條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵；反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換；二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。求定義域：求定義域有講究，四項原則須留意。 負(fù)數(shù)不能開平方，分母為零無意義。 指是分?jǐn)?shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次冪。 限制條件