有阻力的拋體運動的函數(shù)方程

1、有阻力的拋體運動的函數(shù)方程摘要:本文運用導數(shù)、微積分的有關(guān)知識建立并解決有阻力的斜拋運動的微分方程，得出各變量間的函數(shù)關(guān)系，其中還運用了一些簡單的物理知識，并通過求極限順便得出有阻力的豎直上拋，豎直下拋運動和無阻力拋體運動的一些基本函數(shù)方程，然后討論斜上拋運動水平最遠射程與拋射角的關(guān)系問題，最后取一組簡單的數(shù)據(jù)進行定量計算。關(guān)鍵詞:有阻力;函數(shù)方程;在研究拋體運動前，先簡單說明微分方程的概念和基本解法。一般地，凡表示未知函數(shù)，未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。在這里，只討論一類較特殊的微分方程： 式可分離變量得： 式表示狀態(tài)量，對兩邊各狀態(tài)量累加求和得：由定積分與微分的和的

2、極限的關(guān)系，可將上式改寫為 ，其中由式可解出y與x滿足的方程，式也可寫成不定積分的形式 ，其中C為常數(shù)，依賴于初值條件。下面研究問題時就不再像上述一樣清晰了，且不常用式而常用式.再給出曲線的曲率半徑的求法。對于曲線y=Y(x)，為曲線的切線斜率的反正切值，即 yhO000fvmgv0x現(xiàn)在開始正式討論問題：一質(zhì)量為m的物體，初距水平地面高為h，以V0的速率沿與水平方向夾角為的方向拋出，重力加速度為g，所受空氣阻力f大小為k·V，(k>0，且為常數(shù))方向與速度方向相反，不考慮物體的轉(zhuǎn)動。求此拋體運動中各變量間的函數(shù)方程。 過物體初始位置，垂直地面向上建立y軸，過y軸與地面交點建x

3、軸，使物體運動軌跡在xoy平面的第一象限內(nèi)，即右圖。分析問題可知，四個變量：橫坐標x，縱坐標y，速率v，時間t中任兩個量都可建立函數(shù)方程。 研究物體運動軌跡(設x是自變量，v、y是x的函數(shù))。分析物體受力，可知重力沿曲線的法線分力提供物體沿曲線運動的向心力，即 將、兩式代入式中，解得： 式兩邊對x求導： 又由能量守恒定律得： 由被積函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知：式兩邊對x求導得： 將、兩式代入式化簡后得：分離變量后積分：解得： 考慮初始條件：當x=0時，由式得 將式代入式中得：將C2的值代回式，化簡后得： 同理可再分離變量積分后代初值，得： 同樣可求得： （I）（2）研究水平方向（設t為自變量，v、

4、x、y、cos都是t的函數(shù)）由運動的獨立性原則，可知摩擦阻力f的水平分量提供水平分運動的加速度，速度v的水平分量為水平分運動的速度。則有： 令 則式改寫為 分離變量求積分： 解得 將式代入式中得：當t=0時， 將C3的值代入得： 將、兩式代入經(jīng)化簡后得：再將式代入得解得： （II）由（II）式可知x隨自變量t的增大而增大，若不限高度h，則t+時，并且x恒小于。且時間很長時，物體運動趨于勻速。將（II）代入（I）式中化簡后得： （III）1514將 、 式代入化簡得： (IV)再將（II）式代入（IV）式中得： （V）至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五個有阻力拋體運動的

5、基本函數(shù)方程，下面再求出物體能達到的最高處當時，由式解得： 將式代入（I）得：(VI) (3)在上述討論中，所得出的方程都是在一般條件下得到的，接下來順便導出特殊運動的函數(shù)方程，因為上述各式中，因此不能直接導出，下面通過求極限的方法得出三類特殊運動的方程。(a)豎直上拋運動當時，由（III）知：由正弦函數(shù)的連續(xù)性可知： 同理，由（V）得：若考慮速度v向上為正，向下為負，則可得： 由（VI）得 (b)豎直下拋運動同樣，當時，由（III）求極限得： 由（V）式求極限得 由式知道，若，則v恒大于，阻力恒大于重力，且隨時間增大而趨近。若，則v恒小于，阻力恒小于重力，隨時間增大而趨于相等。(c)無阻力拋

6、體運動當k0時，由（I）式得：因為k0時，同時用洛必達法則求極限1，將被求根限式的分子、分母對k求導，得化簡得： 由（II）求極限 由導數(shù)的定義得 將式代入式中得 當然，上面三類運動的方程可直接分析原運動，且那樣更能簡單得出方程，這里只是順便導出。（4）接著討論一個實用的問題：當初始拋角為何值時，水平射程最遠。首先，我們知道，當取時，不可能取到最大水平射程，更不可能。在（I）中取y=0，則有 設m、g、k、v0均為常數(shù)，為變量，改寫為，則x是的函數(shù)，將式兩邊對求導?；喓蟮茫?設，當A=0時，則 同時，由式知B=0，此時或x=0由式知x0，聯(lián)立、兩式解得這三值都不合式，也不符所設條件由上述分析

7、：從可知其逆否命題成立。由此可知A 不可能為0，又x不可能為0，因此， （VII）即當取某個值1時，（VII）式成立，則，此時相應的x是極值，設（VII）式左邊為C1（），為變量，則有在上式括號中，固定mg，設kv0為變量，括號式對kv0求導，可知其為增函數(shù)，又kv0=0時，又由mg的任意性可知恒大于0。化簡得當時，恒大于0，所以=0只有一個解，即1。且知這運動一定有最遠水平射程，與1對應的為最遠水平射程。（5）最后，通過代入一組簡單數(shù)據(jù)進行計算。在開始的問題中，取m=5kg, g=10m/s2, h=1000m, 0=0, v0=100m/s, k=0.1N·s/m，求水平射程。解

8、：將相應的數(shù)據(jù)代入式中化簡后得： 在式中可用計算器一一取值，求得左邊式子的值，最后得出較精確值。在這里給出另一種途徑：設將它按泰勒級數(shù)展開2，得： 取前四項得：則式左邊的近似式為取x=1300，得20016929.2935.71224<0取x=1290，得式的解 x1290取x=1285，得=1.133424>0雖然1.133424>|-0.57098|，但因為式右端省略了高次項，這些項都為負值，第五項在略去項中貢獻最大。在第五項中近似代入x=1300，則這一項等于-1.188，則|1.133424-1.188|<|-0.57098-1.188|，所以其實x=1285比x=1290更精確，且結(jié)果誤差為|1.133424-1.188|<0.06，因此最后取水平射程x1285。若上述數(shù)據(jù)代入式中，令y=0，則有兩結(jié)果相差約129m，可見阻力作用之大。上面只對（I）式進行了運用計算，其它各式也可作類似的計算，上述7個一般方程可應用于實際生活中，特別是（I）和（VII）。最后聲明，最初問題中的一個重要條件：力與