第10章20160417-1

1、第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì) 一、二重積分的概念一、二重積分的概念 二、二重積分的性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì)第十章第十章 重積分重積分柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)：平頂：平頂.柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)特點(diǎn)：曲頂：曲頂.),(yxfz D1、引例：曲頂柱體的體積、引例：曲頂柱體的體積一、二重積分的基本概念一、二重積分的基本概念曲頂柱體曲頂柱體xyz0D),(yxfz （1）底是底是 x o y 面上的有界閉區(qū)域；面上的有界閉區(qū)域；（2） 側(cè)面是以側(cè)面是以 D 的邊界的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行曲線為準(zhǔn)線而母線平行于于 z 軸的柱面；軸的柱面；（3）頂是曲面頂是曲

2、面 z = f ( x , y ) ，0),( yxf計(jì)算曲頂柱體體積的一般方法：計(jì)算曲頂柱體體積的一般方法：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，1：用一組曲線網(wǎng)將用一組曲線網(wǎng)將 D 任意分成任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域：個(gè)小閉區(qū)域：.,21n 將曲頂柱體分成將曲頂柱體分成 n 個(gè)小曲頂柱體個(gè)小曲頂柱體i 以以iV i nVVVV 21 niiV1 xy0表示以表示以為底的第為底的第 i 個(gè)小曲頂柱體的體積個(gè)小曲頂柱體的體積x

3、yz0),(ii 2：近似計(jì)算近似計(jì)算iV ),(yxfz i iiiifV ),( niiiifV1 ),(3：取極限求取極限求 V 的精確值的精確值以以i i maxini 1 niiiifV10),(lim i 和和 V 的體積的體積表示表示內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)間距離的最大值，稱(chēng)為間距離的最大值，稱(chēng)為的直徑的直徑 定義：定義：設(shè)設(shè) f ( x , y ) 是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)：上的有界函數(shù)：（1）：）：分割分割 ：用一組曲線網(wǎng)將：用一組曲線網(wǎng)將 D 任意分成任意分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域.,21n （2）：）：作和作和 ：在每個(gè)小區(qū)域：在每個(gè)小區(qū)域i ),(ii i

4、iif ),(并作和并作和 niiiif1 ),(（3）：）：取極限：令取極限：令i i maxini 1上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)作乘積作乘積為為的直徑，并記的直徑，并記如果當(dāng)如果當(dāng)0 ),(ii 則稱(chēng)此極限為則稱(chēng)此極限為 f ( x , y ) 在在 D 上的二重積分，記為上的二重積分，記為時(shí)，上述和的極限存在，且與小時(shí)，上述和的極限存在，且與小區(qū)域的分法及點(diǎn)區(qū)域的分法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，的取法無(wú)關(guān)， Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . （1）如果如果 f ( x , y ) 在在 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 f ( x , y ) 在在 D 上一定可積。上一

5、定可積。（2）如果如果 f ( x , y ) 在在 D 上可積，則該積分與上可積，則該積分與 D ),(ii 因此，在直角坐標(biāo)系中，用平行于因此，在直角坐標(biāo)系中，用平行于 x 軸和軸和 y 軸的軸的兩組直線分割兩組直線分割 D ，如圖所示，如圖所示xy0i ix iy ,iiiyx ydxdd Ddyxf ),( Dydxdyxf),(的分法和分點(diǎn)的分法和分點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，的取法無(wú)關(guān)，幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明（3）幾何意義：當(dāng)幾何意義：當(dāng) f ( x , y ) 0 時(shí)，二重積分時(shí)，二重積分表示曲頂柱體的體積；表示曲頂柱體的體積；當(dāng)當(dāng) f ( x , y ) 0 時(shí)，此時(shí)曲頂柱體位于時(shí)，此時(shí)曲頂柱體位

6、于 x o y 平平面的下方，且二重積分的值也為負(fù)，故二重積分面的下方，且二重積分的值也為負(fù)，故二重積分表示的是曲頂柱體體積的相反數(shù)。表示的是曲頂柱體體積的相反數(shù)。如果如果 f ( x , y ) 在在 D 上有正有負(fù)，此時(shí)將上有正有負(fù)，此時(shí)將 x o y 面面上方的曲頂柱體體積取為正，上方的曲頂柱體體積取為正，x o y 面下方的曲面下方的曲頂柱體體積取為負(fù)，則頂柱體體積取為負(fù)，則 f ( x , y ) 在在 D 上的二重上的二重積分即為這些曲頂柱體體積的代數(shù)和。積分即為這些曲頂柱體體積的代數(shù)和。 niiiifV10 ),(lim Ddyxf ),(（二）二重積分的性質(zhì)（二）二重積分的性質(zhì)

7、性質(zhì)性質(zhì)1：常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即 Ddyxfk ),( Ddyxfk ),(性質(zhì)性質(zhì)2：和或差的積分等于積分的和或差，即和或差的積分等于積分的和或差，即 Ddyxgyxf ),(),( Ddyxg ),( Ddyxf ),(（二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì)）性質(zhì)性質(zhì)3：二重積分的可加性：如果積分區(qū)域二重積分的可加性：如果積分區(qū)域 D 被被1D2D1D2DDxy0 Ddyxf ),( 1),(Ddyxf 2),(Ddyxf 性質(zhì)性質(zhì)4：如果在區(qū)域如果在區(qū)域 D 上總有，上總有，f ( x , y ) 1 , 是是 D 的面積，

8、則的面積，則 Dd 1 Dd 一曲線分成兩部分一曲線分成兩部分和和，則，則 幾何意義：高為幾何意義：高為 1 的平頂柱體的體積的平頂柱體的體積第二節(jié)：二重積分的計(jì)算方法第二節(jié)：二重積分的計(jì)算方法(一一)（1）在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算）在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算類(lèi)型類(lèi)型 I （X 型）：型）：D 由直線由直線 x = a , x = b 與曲線與曲線)(1xy )(2xy )()(,| ),(21xyxbxayxD )(1xy )(2xy Dxy0abxy0)(1xy )(2xy Dabx1M2Mx1M2M和和所圍成，即所圍成，即類(lèi)型類(lèi)型 I （X 型）：型）：D 由直線由直線 x = a

9、 , x = b 與曲線與曲線)(1xy )(2xy )()(,| ),(21xyxbxayxD )(1xy )(2xy Dxy0abxy0)(1xy )(2xy Dabx1M2Mx1M2M和和所圍成，即所圍成，即特點(diǎn)：特點(diǎn)：用平行于用平行于 y 軸的直線由下至上穿過(guò)軸的直線由下至上穿過(guò) D 時(shí)，與時(shí)，與 D 的邊界最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。的邊界最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。與與 D 的下邊界交點(diǎn)稱(chēng)為穿入點(diǎn)，上邊界交點(diǎn)稱(chēng)為穿出點(diǎn)的下邊界交點(diǎn)稱(chēng)為穿入點(diǎn)，上邊界交點(diǎn)稱(chēng)為穿出點(diǎn)類(lèi)型類(lèi)型 II （Y 型）：型）：D 由直線由直線 y = c , y = d 與曲線與曲線)(1yx )(2yx )()(,| ),(21y

10、xydycyxD xy0cd)(1yx )(2yx 1M2M)(1yx )(2yx xydc01M2MDD和和所圍成，即所圍成，即特點(diǎn)：特點(diǎn)：用平行于用平行于 x 軸的直線自左往右穿過(guò)軸的直線自左往右穿過(guò) D 時(shí)，與時(shí)，與 D 的邊界最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。的邊界最多只有兩個(gè)交點(diǎn)。類(lèi)型類(lèi)型 III （混合（混合 型）：型）： 區(qū)域區(qū)域 D 即不是即不是 X 型，型，也不是也不是 Y 型，則稱(chēng)為混合型，如圖所示型，則稱(chēng)為混合型，如圖所示xy0將將 D 分成三部分，它們分成三部分，它們均是均是 X 型區(qū)域。型區(qū)域。IIIIII注意：注意：有時(shí)一個(gè)區(qū)域可能有時(shí)一個(gè)區(qū)域可能即是即是 X 型，又是型，又是 Y

11、 型區(qū)型區(qū)域，如圖中的區(qū)域域，如圖中的區(qū)域 I 假定區(qū)域假定區(qū)域 D 為為 X 型，型，則二重積分則二重積分 Ddyxf ),( Dydxdyxf),( baxxxdydyxf)()(21),( 上式右端的積分稱(chēng)為先對(duì)上式右端的積分稱(chēng)為先對(duì) y 后對(duì)后對(duì) x 的累次積分的累次積分 對(duì)對(duì) y 積分時(shí)，將積分時(shí)，將 x 看作常數(shù)，然后對(duì)看作常數(shù)，然后對(duì) x 積分。積分。 Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( 累次積分通常簡(jiǎn)記為累次積分通常簡(jiǎn)記為abxy0)(1xy )(2xy DX 型區(qū)域型區(qū)域x0cd)(1yx )(2yx DY 型區(qū)域型區(qū)域 Dydxdyxf),(

12、dcyyydxdyxf)()(21),( y dcyyxdyxfyd)()(21),( Dydxdyxf),(簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 若若 D 是一邊平行于坐標(biāo)軸的是一邊平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域，如圖所示，則矩形區(qū)域，如圖所示，則xa0ybcd Dydxdyxf),( dcbaxdyxfyd),( badcydyxfxd),(Dabxy0)(1xy )(2xy DX 型區(qū)域型區(qū)域 Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( 累次積分的一個(gè)幾何直觀累次積分的一個(gè)幾何直觀x 累次積分法又俗稱(chēng)累次積分法又俗稱(chēng) “穿線法穿線法” 當(dāng)當(dāng) D 既是既是 X 型，又是型，又是 Y 型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí)

13、 Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),( 因此有因此有 baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),( abxy0)(1xy )(2xy Dx0cd)(1yx )(2yx Dy例例 2 2 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由拋物線是由拋物線 解：畫(huà)積分區(qū)域解：畫(huà)積分區(qū)域兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ,:10

14、 xD,xyx 22xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域. 例例1：計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Dydxdyx2其中其中 D 是由是由 x = 0 , y = 0 , 與與122 yx解解（1）畫(huà)出積分區(qū)域畫(huà)出積分區(qū)域 D ，并，并確定確定 D 的類(lèi)型的類(lèi)型xy10 x21xy 10 x210,xy Dydxdyx2 101022xydyxxd（2）根據(jù)）根據(jù) D 的類(lèi)型化二重積分為累次積分的類(lèi)型化二重積分為累次積分所圍成所圍成的第一象限的閉區(qū)域。的第一象限的閉區(qū)域。21022xy （3）計(jì)算對(duì)）計(jì)算對(duì) y 的積分的積分 101022xydyxdx 210 xydy)1(212x （4

15、）計(jì)算關(guān)于）計(jì)算關(guān)于 x 的積分的積分 Dydxdyx2 1022)1(21xdxx1053)53(21xx 1042)(21xdxx151 Dydxdyx2 101022xydyxxd例例3：計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Dydxdyx其中其中 D 是由拋物線是由拋物線xy 22 xy解解：先：先畫(huà)出積分區(qū)域畫(huà)出積分區(qū)域 D ，并確定并確定 D 的類(lèi)型的類(lèi)型x0y1 22yx y2 yx)1,1( )2,4(方法一：將方法一：將 D 看做看做 Y 型區(qū)域型區(qū)域,21 y22 yxy Dydxdyx 2122yyxdyxyd及直線及直線所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 2122yyxdxydy 2

16、12222ydxyyy 2142)2(21ydyyy 21523)44(21ydyyyy216234)62344(21 yyyy845 Dydxdyx 2122yyxdyxyd方法二：將方法二：將 D 看做看做 X 型區(qū)域型區(qū)域xy0)2,4()1,1( xx41xy xy 1D2D2 xy21DDD xyxxD ,10:1xyxxD 2,41:2 Dydxdyx 1Dydxdyx 2Dydxdyx 10 xxydyxxd 412xxydyxxd 10 xxydyxdx 412xxydyxdx 1022xdyxxx 41222xdyxxx 10)(21xdxxx 412)2(21xdxxx D

17、ydxdyx 1Dydxdyx 2Dydxdyx 10 xxydyxxd 412xxydyxxd 4132)45(21xdxxx41243)2435(21xxx 845 10)(21xdxxx 412)2(21xdxxx Dydxdyx 1Dydxdyx 2Dydxdyxxy 222xxy 例例 4 4 改變積分改變積分 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域分為兩塊積分區(qū)域分為兩塊,:212010 xxyxD ,:xyxD 20212,:yxyyD 211102 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 思考題：交換積分次序思考題：

18、交換積分次序 100)(yyxdxfeyd思考題：利用交換積分次序證明思考題：利用交換積分次序證明 100)(yyxdxfeyd 10)()(2xdxfeex例例 5、求、求 Dydxdyex22 解：畫(huà)積分區(qū)域解：畫(huà)積分區(qū)域 Dydxdyex22 12102xyydexxd若采用先若采用先 y 后后 x 的積分次序，則的積分次序，則,:10 xD, 1 yx 11022xyydexdx dyey2“積不出”，“積不出”， 所以該積分次序失敗。所以該積分次序失敗。其中其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形. 例例 9、求、求 Dydxdy

19、ex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形. Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解：畫(huà)積分區(qū)域解：畫(huà)積分區(qū)域若采用先若采用先 x 后后 y 的積分次序，則的積分次序，則,:10 yD, yx 0 yydxxdye02102 在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 Ddyxf ),( Dydxdyxf),(ydxdd 在直角坐標(biāo)系下有：在直角坐標(biāo)系下有： baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(21),(

20、在極坐標(biāo)系下，在極坐標(biāo)系下，xy0 xy),(yxM ,cos x sin y Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(A0)( 2 D（I）極點(diǎn)）極點(diǎn) 0 在區(qū)域在區(qū)域 D 之外之外| ),( D Dddf )sin,cos( )()()sin,cos(21dfd)( 1 , )()( 21 （II）極點(diǎn)）極點(diǎn) 0 在區(qū)域在區(qū)域 D 的邊界上的邊界上A0D )( ,| ),( D Dddf )sin,cos( )()sin,cos(0dfd（III）極點(diǎn)）極點(diǎn) 0 在區(qū)域在區(qū)域 D 的內(nèi)部的內(nèi)部A0 )(,| ),( 020D)( )( 0 Dddf )sin,cos( 200)()

21、sin,cos(dfd 積分區(qū)域是圓或圓的一部分，或者區(qū)域積分區(qū)域是圓或圓的一部分，或者區(qū)域 D 的邊界方程用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單；的邊界方程用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單； 被積函數(shù)具有下列形式時(shí)被積函數(shù)具有下列形式時(shí), )(22yxf , )(yxf)(xyf因?yàn)橐驗(yàn)?2yx 2222sincosrr 2r sincosrryx ,cot cossinrrxy tan 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的一般步驟利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的一般步驟（1）畫(huà)出積分區(qū)域）畫(huà)出積分區(qū)域 D，并將，并將 D 的邊界化為極坐標(biāo)的邊界化為極坐標(biāo) 方程形式。方程形式。（2）將區(qū)域）將區(qū)域 D 用極坐標(biāo)表示。用極坐標(biāo)表示。（3）

22、化二重積分為極坐標(biāo)下的二重積分形式。）化二重積分為極坐標(biāo)下的二重積分形式。 Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(（4）根據(jù)）根據(jù) D 的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分?；癁槔鄞畏e分。例例 1 1 寫(xiě)出積分寫(xiě)出積分 Ddxdyyxf),(的極坐標(biāo)二次積分形式，的極坐標(biāo)二次積分形式，. 1 yx122 yx解解: 畫(huà)出積分區(qū)域畫(huà)出積分區(qū)域 D ，在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosyx圓圓的的方程為方程為 = 1, 直線方程為直線方程為 Ddxdyyxf),(.)sin,cos(cossin 2011 dfd cossin 1,| ),(20 Dcossin11 其中其中 ,11| ),(2xyxyxD 10 x. 例例2：計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Ddyx 22其中其中 D 是由是由yyx222 xy0yyx222 解：極點(diǎn)解：極點(diǎn) O 在圓的邊界上在圓的邊界上（1）化圓為極坐標(biāo)方程）化圓為極坐標(biāo)方程 2222sincos sin2 sin2 sin2 （2）在極坐標(biāo)系中確定）在極坐標(biāo)系中確