最優(yōu)訂貨方案的確定

1、最優(yōu)訂貨方案的確定摘要本文著力研究大中型超市的最優(yōu)訂貨方案。對于大中型超市，根據(jù)其所售商品的銷售形勢及超市條件適當(dāng)?shù)剡x擇每種商品的訂貨數(shù)量及批次是降低超市成本從而增加收益的重要方面。本文研究了大中超市在不考慮運輸費用，和有考慮運輸方式以及商品供應(yīng)時間這兩種情況下的最優(yōu)訂貨方案。對于問題一，由于不考慮運輸?shù)馁M用（即當(dāng)庫存量為0時，商品可以立即得到補(bǔ)充），我們運用初等數(shù)學(xué)建立存貯模型，即總成本和庫存量的函數(shù)關(guān)系為。根據(jù)總成本和庫存量的函數(shù)關(guān)系，我們可以易得出該商品的最優(yōu)訂購量表達(dá)式為和最優(yōu)訂購次數(shù)的表達(dá)式為。對于問題二，我們根據(jù)給定超市所提供的數(shù)據(jù)代入問題一所得出的最優(yōu)訂購量和最優(yōu)訂購次數(shù)通用公式

2、，可以輕松得到30種商品各自的最優(yōu)訂購量和最優(yōu)訂購次數(shù)。對于問題三，我們可以算出每種商品訂貨周期內(nèi)的需求量，然后算出貯存費的大小，并求出商品的成本費和訂購費。以全年商品的訂貨總費用為目標(biāo)函數(shù)，以每種卡車的載重量不超過4噸、每種商品的訂購周期內(nèi)的需求量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，建立優(yōu)化模型。因為該模型求解難度較大，難以得出所需費用，因此簡化模型。根據(jù)商品的總重量和卡車載重限制求解出運輸所需的卡車數(shù)。最后求出每種訂貨方式所需要的運輸費用，分別是6083613.275元、6073574.5元，發(fā)現(xiàn)每個月訂貨一次的方式更優(yōu)。兩者貯存費和訂購費之差就是超市成本增加的數(shù)額，

3、為7538.38元。對于問題四，由于考慮運輸?shù)馁M用與限制，供應(yīng)點可以隨時訂貨，我們根據(jù)問題一計算年貯存費的公式算出兩種方式下貯存費的大小，再求出商品的年訂貨總費用，然后以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型。 對于問題五，實際情況下，商品每年的需求量不是均勻分布，每次的進(jìn)貨量和最小庫存量可能都不同。分別算出每年所有商品的年貯存費、成本費、運輸費、訂購費，以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型，以每輛卡車的載重量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，建立數(shù)學(xué)模型求解。關(guān)鍵詞：存貯模型優(yōu)化模型整數(shù)規(guī)劃最優(yōu)訂貨一、問題重述對于大中型超市，根據(jù)其所售商品的銷售形勢及超市條件適當(dāng)?shù)剡x擇每

4、種商品的訂貨數(shù)量及批次是降低超市成本從而增加收益的重要方面。商品的庫存量要時時滿足超市對商品的需求量。當(dāng)庫存量降到一定水平時，超市必須再一次訂貨，否則當(dāng)庫存量小于顧客對商品的需求量時再訂貨，有可能造成商品斷貨，也給超市造成損失。同時庫存在超市的商品，需要一定的庫存成本。超市每次對某件商品的訂貨量一方面不能太大，否則庫存成本將增加；另一方面每次訂貨的數(shù)量也不能太小，否則由于每次訂貨將花費一定的訂貨費用，隨著訂貨次數(shù)增加，訂貨的花費將增加。因此要根據(jù)某件商品的需求，選擇每次訂貨時最好的訂貨數(shù)量，從而降低訂貨次數(shù)和訂貨成本。對于一些大中型超市，其所售商品的品種規(guī)模很大，由于每件產(chǎn)品的需求量，庫存成本

5、，訂貨成本，重量等有可能都不一樣，因此不同品種商品的訂貨數(shù)量和時間也不一樣。而且由于訂貨后，需要將商品運到超市，考慮到運輸成本，需要結(jié)合不同商品的訂貨量、重量、訂貨時間等，使得車輛盡可能滿載。本文在現(xiàn)有的一家超市的基礎(chǔ)上，根據(jù)其給定的30種商品的需求量、庫存成本、訂貨成本、重量等信息，需解決下列問題：1、考慮任一件商品，不考慮運輸?shù)馁M用，建立數(shù)學(xué)模型說明使得該商品全年訂貨總費用最小的最優(yōu)訂貨量是存在的，并且求出這個訂貨量。2、對該超市給出的30中商品，不考慮運輸?shù)馁M用及載重限制，利用問題1的結(jié)論分別求出每種商品的訂貨量和訂貨次數(shù)。3、在實際中，供應(yīng)點實際上允許每個超市每兩周（15天）或者每個月

6、（30天）訂貨一次。那么對這30種商品超市要選擇哪種訂貨方式好？計算出這種訂貨方式與問題2的最優(yōu)訂貨量情況下超市成本增加的數(shù)額。4、現(xiàn)在考慮運輸?shù)馁M用與限制，供應(yīng)點可以隨時訂貨。給出這30種商品的最優(yōu)訂購方案。5、對于更一般的情形，完善數(shù)學(xué)模型。二、問題分析問題一：由于不考慮運輸?shù)馁M用，可以理解為當(dāng)存貯量降至0時，商品可以立即得到補(bǔ)充。而且所考慮的商品的需求是連續(xù)的、均勻分布于全年的，而且商品的庫存費用都與該商品的價格成正比，每件商品的價格在全年保持不變，每次的訂貨費用也相等。因此，可以認(rèn)為庫存量與時間所構(gòu)成的函數(shù)是一個周期函數(shù)，而且在一個周期中，庫存量和時間成線性關(guān)系，如圖2.1.1所示：庫

7、存量Q時間圖2.1.1在均勻需求下存貯模型在一個周期中，庫存量和時間的函數(shù)關(guān)系為，則一個周期內(nèi)的平均存貯量為。從而，可以得出總費用與庫存量的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)其函數(shù)關(guān)系，易得最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨次數(shù)。 問題二： 由問題一的結(jié)論，可以得出最優(yōu)訂貨量為，最優(yōu)訂貨次數(shù)為。通過Excel，將30種商品數(shù)據(jù)依次代入最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨次數(shù)的公式中，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。問題三：因為在實際情況下，供應(yīng)點只允許每個超市每兩周（15天）或者每個月（30天）訂貨一次。我們先可以確定一種訂貨方式，根據(jù)每種商品的年需求量算出每種商品每次訂貨周期內(nèi)的需求量，發(fā)現(xiàn)很多商品的件數(shù)不是整數(shù)，所以我們將商品的件數(shù)取整。我們根據(jù)問題一計算

8、貯存費的公式算出兩種方式下貯存費的大小，再求出商品的成本費和訂購費。我們假設(shè)每次訂貨周期內(nèi)一共需要m輛卡車，設(shè) 為第i種商品裝在第j輛卡車上的件數(shù)，設(shè)為第i種商品的重量，設(shè)為第i種商品在訂貨周期內(nèi)的需求量（i:130）。以全年商品的訂貨總費用為目標(biāo)函數(shù)，以每種卡車的載重量不超過4噸、每種商品的訂購周期內(nèi)的需求量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，建立模型，考慮到該模型計算繁瑣，求解難度較大，難以得出所需費用，因此簡化模型求解。首先根據(jù) 建立數(shù)學(xué)模型，若，則需要卡車數(shù)為輛，若，則需要卡車數(shù)為輛。最后求出每種訂貨方式所需要的運輸費用，比較兩種訂貨方式的優(yōu)劣，再計算出這種訂貨方

9、式與問題2的最優(yōu)訂貨量情況下超市成本增加的數(shù)額。問題四：現(xiàn)在考慮運輸?shù)馁M用與限制，供應(yīng)點可以隨時訂貨。我們根據(jù)問題一計算年貯存費的公式算出兩種方式下貯存費的大小，再求出商品的年成本費和訂購費。貯存費、訂購費和年成本費。以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型，以每種卡車的載重量、每種商品的訂購周期內(nèi)的需求量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件建立模型。問題五：設(shè)一年共進(jìn)貨n次，每次每種商品的進(jìn)貨量為，每次每種商品的最小庫存量為，每次進(jìn)貨時所需要的卡車數(shù)為輛。根據(jù)題意可知，庫存量降為0時再訂貨，有可能造成商品斷貨，也給超市造成損失，即；實際情況下，所有商品的需求不是均勻分布于全年

10、的，所以每次的進(jìn)貨量和最小庫存量可能都不同，并且全年的進(jìn)貨量和庫存量總和大于或等于全年的需求量，即。庫存在超市的商品，需要一定的庫存成本，所有商品的年貯存費為。每年所有商品的成本費為，每年所有商品的運輸費為，每年所有商品的訂購費為。以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型，年總訂貨費用為。再以每輛卡車的載重量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，建立數(shù)學(xué)模型。三、模型假設(shè)1、考慮的所有商品的需求是均勻分布于全年的2、商品的庫存費用都與該商品的價格成正比3、每件商品的價格在全年保持不變4、每次的訂貨費用也相等。 四、符號說明每次訂貨量每次訂貨費用每件產(chǎn)品的價格產(chǎn)品的最小庫存量該產(chǎn)

11、品的年總需求量年進(jìn)貨次數(shù)庫存費用與價格比例。f 商品的訂貨總費用 第i種商品裝在第j輛卡車上的件數(shù)(i:130，j:1m） 第i種商品的重量（單位：kg)（i:130） 第i種商品在訂貨周期內(nèi)的需求量（i:130） i=1表示每兩周（15天）訂貨一次，i=2表示每個月（30天）訂貨一次 第i種商品的年需求量（i:130） 第i種商品的年需求量（i:130） 第i種商品的價格（i:130）五、模型的建立及求解5.1問題一：存貯模型的建立由于所考慮的商品的需求是連續(xù)的、均勻分布于全年的，而且商品的庫存費用都與該商品的價格成正比，每件商品的價格在全年保持不變，每次的訂貨費用也相等，則庫存量隨時間的變

12、化情況如圖5.1.1所示：訂貨量（常數(shù)）最小庫存量S圖5.1.1 均勻需求下的庫存量變化情況 （縱軸為某商品庫存量，橫軸為時間）設(shè)定Q表示每次的進(jìn)貨量，表示每次訂貨費用，表示每件產(chǎn)品的價格，s表示該產(chǎn)品的最小庫存量，N表示該產(chǎn)品的年總需求量，n表示年進(jìn)貨次數(shù)，k表示庫存費用與價格比例。 由于假定商品的需求是連續(xù)的、均勻的，并且不考慮運輸?shù)馁M用，當(dāng)存貯降至0時，可以立即得到補(bǔ)充，這個存貯模型的變化情況如下圖5.1.2所示：（表示訂貨的周期時間）庫存量Q時間圖5.1.1在均勻需求下存貯模型以一年時間計，每隔進(jìn)貨一次，每次訂貨量為Q，共進(jìn)n次，則有，從而得：。在一個周期內(nèi)，t時刻的貯存量V（t)應(yīng)滿

13、足：解之， 由圖形直觀的理解，V（t)下方的面積就是第一個周期的存貯量。庫存量Q即，從而得到一個周期內(nèi)的平均存貯量為，我們把一年分成n個周期，并且每個周期內(nèi)的平均存貯變化都是一樣的，這樣年內(nèi)的平均存貯量都是。從而知，一年的存儲費用為；一年的訂購費為：;N件產(chǎn)品的進(jìn)貨費用相同，所以若要使得該商品全年訂貨總費用最小，只需考慮年訂購費和年存儲費用；因此該商品全年訂貨總費用為：；這就是存貯模型。當(dāng)Q等于多少時，C(Q)達(dá)到最小呢？隨每次訂貨量Q的增加，年訂購費減少，但是貯存費用增加；每次訂貨量Q的減少，年訂購費增加，但是保管費減少。從下面的直觀圖形（圖5.1.4）可以看出，要想使總貯存費用達(dá)到最小，必

14、須使訂購費和貯存費用相等。圖5.1.4 總費用與庫存量的關(guān)系令,即，則該商品全年訂貨總費用最小值為，此時最優(yōu)訂貨量為，最有訂貨次數(shù)為。5.2問題二由以上的存貯模型得出，當(dāng)一年的存儲費用（）=一年的訂購費（）時，該商品全年訂貨總費用最小值為，最優(yōu)訂貨量為，最優(yōu)訂貨次數(shù)為。將30件商品相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入公式中，得出每種商品的訂貨量和訂貨次數(shù)。結(jié)果如表所示：表5.2.1 最優(yōu)訂貨量、最優(yōu)進(jìn)貨次數(shù)商品序號每年需求量N（件）每次訂貨費用C1(元/次）價格C2（元/件）庫存費用與價格比例k(%)最優(yōu)訂貨量最優(yōu)進(jìn)貨次數(shù)1100005218%528192600101520%64103800172512%96949

15、50206730%4422515000501010%12251362000353515%1641378000244012%2832985009851025%281998500602512%584151057001003510%57110112600464121%16716126520455916%25027133600106816%824514800327120%611415900414636%6714162000521009%15314173000604023%19816186200305012%24925191600266413%10016203200384016%195172146002

16、95615%17926223000284616%15220232100363813%1751324800302612%125725500204514%579264009215018%538276700102019%18836281600082612%28756299800454020%33330301020030705%419255.3問題三：最優(yōu)化模型的建立因為在實際情況下，供應(yīng)點只允許每個超市每兩周（15天）或者每個月（30天）訂貨一次。我們根據(jù)問題一計算年貯存費的公式算出兩種方式下貯存費的大小，再求出商品的年成本費和訂購費。然后根據(jù)每種商品的年需求量算出每種商品的每次的訂貨量，發(fā)現(xiàn)很多商

17、品的件數(shù)不是整數(shù)，所以我們將商品的件數(shù)取整。表：每月訂貨一次時，各商品的每月進(jìn)貨量、訂購費和成本費商品序號每月進(jìn)貨量（件）貯存費（元）訂購費（元）年成本費（元）1834150.126020000250751209000367100.52042000048080424063650512506256001500006167438.3754207000076671600.82883200008422677.5117625500097091063.572021250010475831.25120019950011217934.185552106600125442567.6854038468013300

18、16321202448001467475.73845680015756214924140016167751.562420000017250115072012000018517155136031000019134557.4431210240020267854.4456128000213841612.834825576002225092033613800023175432.25432798002467104.52360208002542132.3240225002634459110460000275591062.11201340002813342081.0496416000298173268540

19、392000308501487.5360714000表：每15天訂貨一次時，各商品的每月進(jìn)貨量、訂購費和成本費商品序號每15天的進(jìn)貨量（件）貯存費（元）訂購費（元）年成本費（元）141775.061202000022537.524090003345140820000440402480636505625312.51200150000684220.5840700007334801.65763200008211338.7523522550009355532.5144021250010238416.5240019950011109469.2451104106600122721283.841080384

20、680131508162402448001434241.4768568001538314.649844140016843781248200000171255751440120000182597777203100001967278.7262410240020134428.891212800021192806.46962557600221254606721380002388217.3686479800243453.0472020800252166.15480225002617229.522086000027280532240134000286671040.521924160002940916361

21、08039200030425743.75720714000我們設(shè) 為第i種商品裝在一輛卡車上的件數(shù)，設(shè)為第i種商品的重量，設(shè)為第i種商品在訂貨周期內(nèi)的需求量（i:130）。然后以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型，以每種卡車的載重量、每種商品的訂購周期內(nèi)的需求量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，建立模型如下：（1）若訂貨周期為15天，（2）若訂貨周期為30天模型的求解考慮到該模型計算繁瑣，求解難度較大，難以得出所需費用，因此簡化模型求解。首先根據(jù) 建立數(shù)學(xué)模型，若，則需要卡車數(shù)為輛，若，則需要卡車數(shù)為輛。根據(jù)上述模型，求得一個月或者是兩周所需要的貨車數(shù)量，分別為65輛和

22、33輛，然后便不難求得兩種訂貨方法所需要的年訂貨費用：每15天訂貨一次：33*1000*24+5291613.3= 6083613.275元每30天訂貨一次：65*1000*12+5293574.5= 6073574.5元由此可以看出，每個月訂貨一次的方案更加節(jié)省成本，所以每個月訂貨一次的方案更優(yōu)。每個月訂貨一次的方式的貯存費和訂購費為44544.46元，問題2的最優(yōu)訂貨量情況下的貯存費和訂購費為37006.08元，每個月訂貨一次超市成本增加的數(shù)額為7538.38元。5.4問題四：最優(yōu)化模型的建立現(xiàn)在考慮運輸?shù)馁M用與限制，供應(yīng)點可以隨時訂貨。我們根據(jù)問題一計算年貯存費的公式算出兩種方式下貯存費

23、的大小，再求出商品的年成本費和訂購費。貯存費、訂購費和年成本費見表格和。我們設(shè) 為第i種商品裝在一輛卡車上的件數(shù)，設(shè)為第i種商品的重量，設(shè)為第i種商品在訂貨周期內(nèi)的需求量（i:130）,設(shè)訂貨一次需要m輛卡車，設(shè)一年共訂貨n次。然后以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型，以每種卡車的載重量、每種商品的訂購周期內(nèi)的需求量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，建立模型如下：5.5問題五: 設(shè)一年共進(jìn)貨n次，每次每種商品的進(jìn)貨量為，每次每種商品的最小庫存量為，每次進(jìn)貨時所需要的卡車數(shù)為輛。有些商品在完成一次訂貨后，由于每天有顧客購買該商品，其庫存數(shù)量將減小。當(dāng)庫存量降到一定水平，超

24、市必需再一次訂貨，否則庫存量降為0時再訂貨，有可能造成商品斷貨，也給超市造成損失，即。實際情況下，所有商品的需求不是均勻分布于全年的，見圖，所以每次的進(jìn)貨量和最小庫存量可能都不同，并且全年的進(jìn)貨量和庫存量總和大于或等于全年的需求量，即。庫存在超市的商品，需要一定的庫存成本。若訂貨量太大，庫存成本將增加；若每次訂貨的數(shù)量太小，則訂貨次數(shù)增加，訂貨的花費增加，所有商品的年貯存費為。每年所有商品的成本費為，每年所有商品的運輸費為，每年所有商品的訂購費為。以年訂貨總費用為最小值建立最優(yōu)化模型，年總訂貨費用為。再以每輛卡車的載重量和訂購周期內(nèi)所有商品的總重量小于卡車的總載貨量為約束條件，我們建立模型如下：訂貨量（常數(shù)）圖5.5.1. 非均勻需求下的訂貨，庫存量變化情況?？v軸為某商品庫存量，橫軸為時間。 六、模型的改進(jìn)與推廣 模型的優(yōu)點：該模型的假設(shè)和建立都較為合理，可以大大簡化模型，求得在需求是均勻分布于全年時，商品全年訂貨總費用最小的最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨次數(shù)，從而可以降低成本，提高超市的利潤。模型的缺點：1.由于模型較為復(fù)雜，計算繁瑣，