概率論期末考試試題

1、1.全概率公式 貝葉斯公式1.某保險公司把被保險人分成三類：“謹(jǐn)慎的”、“一般的”和“冒失的”。統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.3。并且它們分別占投?？?cè)藬?shù)的20%，50%和30%?，F(xiàn)已知某保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”保險戶的概率是多少？解：設(shè)Ai、A2、A3分別表示“謹(jǐn)慎的” “一般的”和“冒失的”保險戶，B表示“發(fā)生事故”，由貝葉斯公式知2.老師在出考題時, 平時練習(xí)過的題目占60%. 學(xué)生答卷時, 平時練習(xí)過的題目在考試時答對的概率為90% , 平時沒練習(xí)過的題目在考試時答對的概率為30%, 求:(1) 考生在考試中答對第一道題的概

2、率;(2) 若考生將第一題答對了, 那么這題是平時沒有練習(xí)過的概率.3. 在蔬菜運輸中，某汽車運輸公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次為0.2,0.5,0.3。在三地拉到一級菜的概率分別為10%，30%，70%。1）求能拉到一級菜的概率；2）已知拉到一級菜，求是從乙地拉來的概率。解：1、 解：設(shè)事件表示拉到一級菜，表示從甲地拉到，表示從乙地拉到， 表示從丙地拉到 則，； ，, 則由全概率公式得=（7分）(2)拉的一級菜是從乙地拉得的概率為（10分）2.一維隨機(jī)變量5.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間0,1上服從均勻分布，求隨機(jī)變量的密度函數(shù).6. 證明: 設(shè), 則時,Y=7.設(shè)隨機(jī)7.變量X的密度函數(shù)

3、求（1）c的值；（2）；（3）EX (4)的分布函數(shù).解： (1)由密度函數(shù)的性質(zhì)得： 故c= -（4分） (2) - （7分）(3)EX=-（10分）8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求:(1)系數(shù)A; (2)X的分布密度f(x); (3)解： (1)A=1;(2) ;(3)0.53.二維隨機(jī)變量10.設(shè)（X，Y）的分布為 YX-1 0 1-10 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8證明X與Y不相關(guān)，也不獨立。證明：cov（X，Y）=EXY-EXEY -（1分）而EXY=0EX=0，EY=0-（3分）故X與Y不相關(guān)。-（5分）下證獨立性-（8分）故X與Y也

4、不獨立。-（10分）11.(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,，證明X與Y不獨立也不相關(guān).12.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D=(x,y)|x2+y21,求：（1）X與Y的邊緣密度函數(shù)；（2）判斷X與Y是否獨立。解：(1) fX(x)= ，fY(y)=(2) X與Y不獨立。4.中心極限定理13.某車間有同型號機(jī)床200部，每部開動的概率為0.7，各機(jī)床開關(guān)獨立，開動時每部要耗電15個單位，問至少要供應(yīng)該車間多少單位電能，才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).(F(1.64)=0.95,6.48).解：用表示任一時刻車間有同型號機(jī)床，則，則,（3分）假定至少需要單位電

5、能，則有：由中心極限定理可得：（8分）從而有：， 所以 ，故至少需準(zhǔn)備2265單位電能（10分）14.某學(xué)院校園網(wǎng)中家屬區(qū)每晚約有400臺電腦開機(jī), 而每臺電腦約有的時間登入互聯(lián)網(wǎng), 并且假定各臺電腦是否上互聯(lián)網(wǎng)彼此無關(guān), 計算其中至少300臺同時在互聯(lián)網(wǎng)上的概率. (2.5)=0.99379)15.某計算機(jī)有120個終端，每個終端在一小時內(nèi)平均有3分鐘使用打印機(jī)，假定各終端使用打印機(jī)與否相互獨立，求至少有10個終端同時使用打印機(jī)的概率。(F(1.68)=0.95352, 2.3874)解：每個終端使用打印機(jī)的概率為p=1/20，設(shè)同時有X個終端使用，則XB(120,1/20)，EX=np=6

6、，DX=npq=5.7，由于n=120很大，由中心極限定理，近似地XN(6,5.7)P(X10)=1-F(10)=1-()=1-(1.68)=1-0.95352=0.0464816.某種電子元件的壽命服從指數(shù)分布，已知其平均壽命為100小時，將3 個這樣的元件串聯(lián)在一個線路中，求：在150小時后線路仍正常工作的概率。解：由題可知-（2分）則某電子元件的壽命超過150小時的概率為-（8分）故三個串聯(lián)150小時仍正常的概率為 - （10分） 5.極大似然估計17.設(shè)總體X的密度函數(shù)為 (),若為來自總體的一個樣本, 求未知參數(shù)的最大似然估計值.18.設(shè)總體的分布密度為，若為來自總體的一個樣本,求未知參數(shù)的最大似然估計。解：似然函數(shù)L