正方體的截面問題研究

1、研究性學(xué)習(xí)報告正方體的截面問題課題目的：探索正方體可能的截面形狀，通過實踐和圖示來證明其結(jié)果，列舉特例，拓展空間觀念與全面考慮問題的能力。探究方法：首先通過猜想，列出預(yù)計猜想到得截面，其次進行畫圖或?qū)嵺`等方法證明猜想的正確與否。再通過網(wǎng)絡(luò)的資料查詢，尋找未猜想到的情況。階段探究：1.猜想階段：根據(jù)日常經(jīng)驗及想象，我們小組做出下列猜想：（1）正方形（2）矩形（3）平行四邊形（4）三角形2.猜想及其他可能的證明：1.正方形： 因為該立體幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下底面平行的平面進行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進行截取，由下列圖示證明： =由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截

2、面為正方形。 =由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。2.矩形： 因為正方形也屬于矩形，所以對正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長寬不等的矩形截面的圖示如下： 由上圖所示可知，按不同角度截取正方體可以得到矩形。3.平行四邊形： 當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時，所得截面為平行四邊形，圖示如下： = 由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時，所得截面可能為平行四邊形。4.三角形： 根據(jù)一定角度過正方體的三條棱進行截取可以得到三角形的截面，圖示如下:= 由上圖可知，正方體可以截得三角形截面。特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過三個面的對角線時，所得的三角形截面為正三角形，圖示如下：=得到：正三棱

3、錐5.猜想之外的截面形狀：（1）菱形： 如下圖所示，當(dāng)A,B為所在棱的中點時，該截面為菱形： （2）梯形： 如圖所示，當(dāng)按一定角度使截面在正方體的上下底面上所存在的線段長短有異時，所得截面可能是梯形：=（3）五邊形： 如圖所示，可以截得五邊形截面： =通過實踐及資料查詢可知，無法得到正五邊形。（4）六邊形： 如圖所示，可以截得六邊形截面：=特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點為中點時，截面為正六邊形，如圖所示：拓展探究：1.正方體最大面積的截面三角形2.正方體最大面積的截面四邊形3.最大面積的截面形狀4.截面五邊形、六邊形性質(zhì)1. 正方體最大面積的截面三角形：如該圖所示可證明，由三角面對角線構(gòu)成的

4、三角形。2. 正方體最大面積的截面四邊形: 通過猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有：正方形、矩形、梯形、平行四邊形。 根據(jù)四邊形的面積公式：面積=長*寬 聯(lián)系正方體圖形：得到：當(dāng)由兩條平行的面對角線和兩對平行棱構(gòu)成的四邊形的長最大，又因為在各個情況下的寬不變。則由猜想得到：“最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對角線和兩對平行棱構(gòu)成的四邊形?！?. 最大面積的截面形狀： 正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為銳角三角型、等邊、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。 首先比較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面

5、的情況有一共同特點：不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有部分空間空出。 因此可以得到：最大面積一定是四邊形。 所以最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）。初步推斷為如圖所示的矩形：4. 截面五邊形、六邊形性質(zhì) 通過課本及資料查詢知：截面五邊形：有兩組邊互相平行.截面六邊形：三組對邊平行的六邊形.正方體的截面圖 達(dá)到水平得到了所需結(jié)論，達(dá)到了驗證猜想及針對于課題進行探究及擴展探究的要求：結(jié)論如下：可能出現(xiàn)的：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形 等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形不可能出現(xiàn)：鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形成就，問題，解決成就：通過資料進行文字探究，擁有三個階段性探究（1.猜想探究2.思考、查詢探究3.拓展探究）并有相關(guān)圖片文字證明，基本框架完成，基本達(dá)到預(yù)計目的。問題：1對圖片的解釋不夠準(zhǔn)確解決：熟讀課本概念，提高語言能力，更清楚的表達(dá)與證明。 2 對研究性學(xué)習(xí)的理