易錯點37忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義[1]

1、【易錯點37】忽視向量積定義中對兩向量夾角的定義。例37、已知中,求【易錯點分析】此題易錯誤碼的認(rèn)為兩向量和夾角為三角形ABC的內(nèi)角C導(dǎo)致錯誤答案.解析:由條件根據(jù)余弦定理知三角形的內(nèi)角，故兩向量和夾角為的補角即,故據(jù)數(shù)量積的定義知.【知識點歸類點拔】高中階段涉及角的概念不少,在學(xué)習(xí)過程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是，兩直線的夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，異面直線所成的角的范圍是，直線和平面所成的角的范圍是二面角的取值范圍是?！揪?7】（2004上海春招）在ABC中，有如下命題，其中正確的是（）（1）（2）（3）若，則ABC為等腰三角形（4）若，則ABC為銳角三

2、角形。A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（2）（3）（4）答案：C【易錯點38】向量數(shù)積積性質(zhì)的應(yīng)用。例38、已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角?！舅季S分析】本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。解析：由 (a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a

3、、b的夾角為q，則cosq = q = 60°?！局R點歸類點拔】利用向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運算可解決涉及長度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數(shù)等問題，要熟記并靈活應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)與都是非零向量，與的數(shù)量積的幾何意義是向量在向量方向的單位向量正射影的數(shù)量··或··【練38】（1）（2005高考江西卷）已知向量若則與的夾角為（ ）A30° B60° C120° D150°答案：C（2）（2005浙江卷）已知向量，|1，對任意tR，恒有|t|，則(A) (B) () (C) () (D) (

4、)()答案：C【易錯點39】向量與三角函數(shù)求值、運算的交匯例39、，與的夾角為1， 與的夾角為2，且的值.【易錯點分析】此題在解答過程中，學(xué)生要將向量的夾角運算與三角變換結(jié)合起來，注意在用已知角表示兩組向量的夾角的過程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯誤結(jié)論。解析：故有因，從而【知識點歸類點拔】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交匯性，向量是新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識的一個重要的交匯點，成為聯(lián)系這些知識的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢。高考對三角的考查常常以向量知識為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\算來進行考查

5、學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力。【練39】（1）（2005高考江西）已知向量,令是否存在實數(shù),使（其中是的導(dǎo)函數(shù)）？若存在,則求出的值；若不存在,則證明之 答案：存在實數(shù)使等式成立。（2）（2005山東卷）已知向量和，且求的值.答案：?！疽族e點40】向量與解三角形的交匯。例40、ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且345=。求數(shù)量積，·，·，·；求ABC的面積?！舅季S分析】第1由題意可知3、4、5三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律將一向量移項平方即可。第2問據(jù)題意可將已知三角形分割成三個小三角形利用正弦理解答。解析：|=|=|=1由345=得：34=5兩邊

6、平方得：9224·162=252·=0同理：由45=3求得·=由35=4求得·=由·=0,故=|=由·=得cosBOC= sinBOC=|sinBOC=，由·=得cosCOA=sinCOA=|sinCOA=即=【知識點歸類點拔】本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積的運算，用于表達三角形的內(nèi)角、面積?！揪?0】（1）（2005全國卷）ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數(shù)列，且cosB。（1）求cotA+cotC的值；（2）設(shè)，求的值。答案：（1）（3）。（2）已知向量=（2，2），向量與向量的夾角

7、為，且·=2，求向量；若，其中A、C是ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍.答案：或【易錯點41】與向量相結(jié)合的三角不等式，學(xué)生的綜合運用知識解決問題的能力不夠。例41、已知二次函數(shù)f(x)對任意xR，都有f(1x)=f(1x)成立，設(shè)向量=(sinx,2)，=(2sinx,)，=(cos2x,1)，=(1,2)，當(dāng)x0,時，求不等式f(·)f(·)的解集.【易錯點分析】易忽視二次函數(shù)的開口方向的討論和三角、向量、函數(shù)三者的綜合程度不夠。解析：設(shè)f(x)的二次項系數(shù)為m，其圖象上的兩點為A(1x,y1)、B(1x,y2)，因

8、為=1，f(1x)=f(1x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若m0，則x1時，f(x)是增函數(shù)；若m0，則x1時，f(x)是減函數(shù)。·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin2x11，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x21當(dāng)m0時，f(·)f(·)f(2sin2x1)f(cos2x2)2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2cos2x02k2x2k,kzkxk,kz0x x當(dāng)m0時，同理可得0x或x綜上所述，不等式f(·)f(·)的解集是：當(dāng)m0時，為

9、x|x；當(dāng)m0時，為x|0x或x。【知識點分類點拔】在運用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式時，一定要明確函數(shù)在哪個區(qū)間或定義域上的單調(diào)性如何（不可忽視定義域的限制），通過本題要很好的體會向量、不等式、函數(shù)三者的綜合，提高自已應(yīng)用知識解決綜合問題的能力。【練41】若在定義域（1，1）內(nèi)可導(dǎo),且，點A(1,();B(),1)，對任意(1，1)恒有成立，試在內(nèi)求滿足不等式(sincos)+(cos2)>0的的取值范圍.答案：，()【易錯點42】向量與解析幾何的交匯例42、（03年新課程高考）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點O以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）

10、以i2c為方向向量的直線相交于點P，其中R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【易錯點分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入僵局。解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點的坐標(biāo)滿足方程.整理得 因為所以得：（i）當(dāng)時，方程是圓方

11、程，故不存在合乎題意的定點E和F；（ii）當(dāng)時，方程表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；（iii）當(dāng)時，方程也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.【知識點歸類點拔】本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉(zhuǎn)化出來另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算來解決解析幾何問題如：線段的比值、長度、夾角特別是垂直、點共線等問題，提高自已應(yīng)用向量知識解決解析幾何問題的意識?！揪?2】（1）（2005全國卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。答案：（1）（2）=1（2） （02年新課程高考天津卷）已知兩點M（-1，0），N