曲率及其應用

1、模塊基本信息一級模塊名稱微分學二級模塊名稱應用模塊三級模塊名稱曲率及其應用模塊編號3-8先行知識1、弧微分模塊編號無2、曲線的凹凸性3-6知識內容教學要求掌握程度1、曲率、曲率半徑、曲率圓的概念1、理解曲率、曲率半徑、曲率圓的概念簡單應用2、計算曲線的曲率、曲率半徑、曲率圓2、會計算曲線的曲率、曲率半徑、曲率圓3、曲率的一些簡單應用3、了解曲率的一些簡單應用能力目標1、培養(yǎng)學生遷移的能力2、培養(yǎng)學生的計算能力時間分配45分鐘編撰秦小娜校對方玲玲審核危子青 一、正文編寫思路及特點： 思路：首先復習弧微分的相關知識，然后導出曲率概念。 特點：通過介紹生活中的實際現(xiàn)象，引出“彎曲程度”這一概念，使得

2、抽象概念具體化，學生更容易接受。2、 授課部分（1） 復習引入 曲線的弧微分和曲線的凹凸性（彎曲方向）（二）新課講授 1、曲率的概念 曲線的彎曲程度對于工程學來說有著非常重要的作用，那么曲線的彎曲程度到底跟哪些因素相關呢？觀察下圖：（1）圖1中，與弧長相等，的切線轉角比的切線轉角大，比彎曲程度大。（2）圖2中，與的切線轉角相等，比弧長短，比彎曲程度大。總結：曲線的彎曲程度與轉角成正比與弧長成反比。據(jù)此，我們給出曲率的定義。當C上的動點從M移到M時，切線轉過了角度（稱為轉角），而所對應的弧增量s=. 定義1：若將單位弧段上切線轉角的大小稱為的平均曲率，記為，則=.將上述平均曲率當s0（即MM）時

3、的極限，即k=稱為曲線C在點處的曲率。特別的，對于直線，傾角始終不變，故=0，從而k=0，即“直線不彎曲”。對于圓，設半徑為R，由圖4知，任意兩點，處圓之切線所夾的角等于中心角，而=，于是=，故 k=. 圖4 即圓上任一點處的曲率都相等且等于其半徑的倒數(shù)。若半徑無限增大，則曲率就無限趨近于零。從這個意義上看，直線是半徑為無窮大的圓。2、 曲率的計算方法（1）一般曲線方程曲率計算公式 設曲線方程為，且具有二階導數(shù).由于，從而，即 =，故d=dx，又ds=dx，于是k=. (選講)（2）參數(shù)方程曲率計算公式 若曲線方程為則由參數(shù)方程求導法則可得 k=. (三)案例講解例1 試求曲線y=x3在點（0

4、，0），（1，）和（2，）處的曲率.（一級）解 y=x2，y=2x，故k=，于是，在（0，0）處k0=0； 在（1，）處，k1=0.707；在（2，）處，k2=0.057. (選講)例2 計算擺線在處的曲率.（一級）解 由于故得曲率令得向學生簡單介紹曲率在工程技術上的一些應用（四）曲率的一些簡單應用（1）曲率圓與曲率半徑 設光滑曲線C上點M處的曲率為k（k0）.在C上點M作法線，并在凹向一側取點D，使得,以D為圓心，R為半徑作圓，D為曲線C在點M處的曲率圓,圓心D稱為C在點M處的曲率中心,R稱為C在點M處的曲率半徑，如圖5所示.圖5 故曲線y=f(x)在點M的曲率圓有下列性質:(1)在點M處的

5、曲率與曲線的相同;(2)在點M處與曲線相切,且在切點附近有相同凹凸性.由性質(2)還可知道,點M處曲率圓的圓心位于曲線在該點的法線上.小結：對于曲線在點處，圓心為，半徑為R的曲率圓的計算公式為（2） 曲率的應用實例(選講)例3 用圓柱形銑刀加工一弧長不大的橢圓形工件，該段弧的中點為橢圓長軸的頂點，該橢圓的方程為（單位為mm）應選用多大直徑的銑刀，可得較好的近似效果？（二級）解 頂點坐標為，將方程改寫為則 代入曲率半徑公式可得（mm）所以，應選用直徑為64mm的銑刀，可得較好的近似效果.例4 某工件內表面的型線為y=0.4x2,現(xiàn)要用砂輪磨削內表面,問應選多大直徑的砂輪?（二級）解 為使磨削時不會多磨掉不應磨去的部分,砂輪半徑應不超過拋物線上各點處曲率半徑的最小值，如圖6所示.圖6對于y=0.4x2,有y=0.8x,y=0.8.曲率半徑最小,應是曲率最大,而k=.當x=0時，k取最大值0.8,即頂點處曲率最大,因而有R=1.25,故砂輪直徑不得超過2.50單位長.三、能力反饋部分（考查學生對曲線曲率求法的掌握情況）（1）計算拋物線y=4x -x2在它頂點處的曲率.（一級）（2）拋物線上哪一點處的曲率最大？（二級）（3）一飛