高一數(shù)學(xué)下學(xué)期知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)例題解析

1、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圓半徑）適用情況：（1）已知兩角和一邊，求其他邊或其他角； （2）已知兩邊和對(duì)角，求其他邊或其他角。 變形： ， ， =（二）余弦定理：=（求邊），cosB=（求角）適用情況：（1）已知三邊，求角；（2）已知兩邊和一角，求其他邊或其他角。（三）三角形的面積：； ；（其中，r為內(nèi)切圓半徑）（四）三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，（五）ABC射影定理：，（六）三角邊角關(guān)系：（1）在中，； ； （2）邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b

2、；（3）大邊對(duì)大角：考點(diǎn)剖析（一）考查正弦定理與余弦定理的混合使用例1、在ABC中，已知,且=2, ,求的長(zhǎng).例1、解：由正弦定理，得 又 由余弦定理，得 入，得例2、如圖所示，在等邊三角形中，為三角形的中心，過(guò)的直線交于，交于，求的最大值和最小值例2、【解】由于為正三角形的中心，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故當(dāng)時(shí)取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值變式1、在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為，已知，（）求的大小；（）求的值變式1、解（）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 變式2、在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值； （II）若，求的值。

3、 變式2、解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 （二）考查正弦定理與余弦定理在向量與面積上的運(yùn)用例3、如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問(wèn)：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？例3、解：設(shè)，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四邊形OACB的面積為 S=SAOB+ SABC 因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，四邊形OACB面積最大例4、在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，（1）求角C的大??； （2）求ABC的面積例4、解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0°C180°,C=60

4、° C60°（2）由余弦定理得c2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC 變式3、已知向量，且，其中是ABC的內(nèi)角，分別是角的對(duì)邊.(1) 求角的大小；（2）求的取值范圍.變式3、解：（1）由得由余弦定理得 (2) = 即.（三）考查三角形形狀的判斷例5、在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為。（1） 判斷ABC的形狀；（2） 求ABC的面積。例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=s

5、in(A+C),從而（#）式變?yōu)閟in(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大邊長(zhǎng)為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16變式4、在ABC中，若.(1)判斷ABC的形狀； (2)在上述ABC中，若角C的對(duì)邊，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。變式4、解：（1）由 可得 即C90° ABC是以C為直角頂點(diǎn)得直角三角形 （2）內(nèi)切圓半徑 內(nèi)切圓半徑的取值范圍是例7、在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀。所以，ABC為等邊三角形。變式8

6、、在ABC中，cos2，(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形答案：B變式9、ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷ABC的形狀。變式9、解:等腰直角三角形;數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一：通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系任意數(shù)列的前n項(xiàng)和；注意：由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：（1）求，（2）求出當(dāng)n2時(shí)的，（3）如果令n2時(shí)得出的中的n=1時(shí)有成立，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個(gè)形式，否則就只能寫成分段的形式.知識(shí)點(diǎn)二：常見(jiàn)

7、的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法1.迭加累加法：，則，2.迭乘累乘法：，則，知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題1.數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型,有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題；弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將已知與所求聯(lián)系起來(lái)，據(jù)題意列出

8、滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.規(guī)律方法指導(dǎo)1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問(wèn)題的重要思想；2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.3.加強(qiáng)數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、不等式、方程、對(duì)數(shù)、立體幾何、三角等內(nèi)容的綜合.解決這些問(wèn)題要注意：（1）通過(guò)知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化，更好地掌握數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；（2）通過(guò)解數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力.經(jīng)典例題精析類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1在數(shù)列中，求.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等差數(shù)列.2.當(dāng)

9、數(shù)列的遞推公式是形如的解析式，而的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列，求.【變式2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)且，則數(shù)列是等比數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等比數(shù)列.2若數(shù)列有形如的解析關(guān)系，而的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得.舉一反三：【變式1】在數(shù)列中，求.【變式2】已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3數(shù)列中，,，求.總結(jié)升華：1兩邊同時(shí)除以可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于和的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列的每一項(xiàng)都取倒

10、數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而恰是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).2若數(shù)列有形如的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得.舉一反三：【變式1】數(shù)列中，求.【變式2】數(shù)列中，,，求.類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4已知數(shù)列中，求.總結(jié)升華：1一般地，對(duì)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，（為常數(shù)，）,則可設(shè)得，利用已知得即，從而將數(shù)列轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法均是常用的方法.2若數(shù)列有形如（k、b為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列中，求【變式2】已知數(shù)列滿足,而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型五：和的遞推

11、關(guān)系的應(yīng)用5已知數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)和，并且, .(1)設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問(wèn)題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過(guò)合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問(wèn)題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)策略.舉一反三：【變式1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的通項(xiàng)公式.【變式2】若, ()，求.【變式3】等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，若.求數(shù)列的

12、前n項(xiàng)和.類型六：數(shù)列的應(yīng)用題6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？總結(jié)升華：本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，在求和后，利用二次函數(shù)求最短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的倍，則該企業(yè)2007年年度產(chǎn)值的月平均增長(zhǎng)率為（ ）A B C D【變式2】某人2006年1月31日存入若干萬(wàn)元人民幣，年利率為，到2007年1月31日取款時(shí)被銀行扣除利息稅（稅率為）共計(jì)元，則該人存款的本金為（）A1.

13、5萬(wàn)元 B2萬(wàn)元 C3萬(wàn)元 D2.5萬(wàn)元【變式3】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬(wàn)件）近似地滿足.按比例預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)萬(wàn)件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月 【變式4】某種汽車購(gòu)買時(shí)的費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問(wèn)這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？（即年平均費(fèi)用最少）【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬(wàn)平方米，計(jì)劃從2007年起，每年拆除20萬(wàn)平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住

14、房面積的5%.（1）分別求2007年底和2008年底的住房面積；（2）求2026年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬(wàn)平方米為單位，且精確到0.01）高考題萃1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求；（）證明：是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式.2設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求的取值范圍一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函數(shù)yax2bxc的圖象、一元二次方程ax2bxc0的根與一元二次不等式ax2bxc>0與ax2bxc<0的解集的關(guān)系，可歸納為：判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有

15、兩相異實(shí)根xx1或xx2有兩相同實(shí)根xx1無(wú)實(shí)根一元二次不等式的解集ax2bxc>0(a>0)x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0(a>0)x|x1<x<x2若a<0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對(duì)照上表求解1不等式x(12x)0的解集是()A.B. C(，0) D. 答案：B2不等式9x26x10的解集是()A. B. C. DR答案：B3若關(guān)于x的方程x2mx10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,1) B(2,2) C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析：選C由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可

16、得：判別式0，即m240，解得m2或m2.4已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，則m_，n_.解析：因?yàn)閨x2|<3，即5<x<1，所以A(5,1)，又AB，所以m<1，B(m,2)，由AB(1，n)得m1，n1.答案：115不等式1的解集為_(kāi)解析：由1得10，即0，解得x1，或x2.答案：x|x1，或x2解一元二次不等式應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)在解一元二次不等式時(shí)，要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)(2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)會(huì)影響不等式的解集，討論時(shí)不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況(3)解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題要

17、注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)(4)一元二次不等式的解集的端點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同一元二次不等式的解法典題導(dǎo)入例1解下列不等式：(1)0x2x24；(2)x24ax5a20(a0)自主解答(1)原不等式等價(jià)于借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為.(2)由x24ax5a20知(x5a)(xa)0.由于a0故分a0與a0討論當(dāng)a0時(shí)，x5a或xa；當(dāng)a0時(shí)，xa或x5a.綜上，a0時(shí)，解集為；a0時(shí)，解集為.由題悟法1解一元二次不等式的一般步驟：(1)對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)計(jì)算相應(yīng)的

18、判別式；(3)當(dāng)0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏以題試法1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2 x，所以原不等式的解集為.(2)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因?yàn)閍0，所以(x1)0.所以當(dāng)a1時(shí)，解為x1；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1時(shí)，解為1x.綜上，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，

19、不等式的解集為.一元二次不等式恒成立問(wèn)題典題導(dǎo)入例2已知f(x)x22ax2(aR)，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍自主解答法一：f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa.當(dāng)a(，1) 時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1 a1.綜上所述，a 的取值范圍為3,1法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3 a1.所求a的取值范圍是3,1一題多變本題中的

20、“x1，)改為“x1,1)”，求a的取值范圍解：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1,1)上恒成立，即4a24(2a)0或或解得3a1，所求a的取值范圍是3,1 .由題悟法1對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方2一元二次不等式恒成立的條件：(1)ax2bxc0(a0)(xR) 恒成立的充要條件是：a0且b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)(xR)恒成立的充要條件是：a0且b24ac0.以題試法2若關(guān)于x的不等式x2axa>0的解集為(，)，則實(shí)數(shù)a的取

21、值范圍是_；若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 解析：由1<0，即a24(a)<0，得4<a<0；由20，即a24(3a)0，得a6或a2.答案：(4,0)(，62，)一元二次不等式的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件若售價(jià)降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加x成要求售價(jià)不能低于成本價(jià)(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍自主解答(1)由題意得y100·100.因?yàn)槭蹆r(jià)不能

22、低于成本價(jià)，所以100800.所以yf(x)20(10x)(508x)，定義域?yàn)?,2(2)由題意得20(10x)(508x)10 260，化簡(jiǎn)得8x230x130.解得x.所以x的取值范圍是.由題悟法解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進(jìn)行：(1)認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實(shí)際問(wèn)題以題試法3某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；公司B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元，第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算

23、)假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總是小于17小時(shí)，那么該同學(xué)如何選擇ISP公司較省錢？解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則公司A收取的費(fèi)用為1.5x元，公司B收取的費(fèi)用為元若能夠保證選擇A比選擇B費(fèi)用少，則1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x5，所以當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5小時(shí)內(nèi)時(shí)，選擇公司A的費(fèi)用少；超過(guò)5小時(shí)，選擇公司B的費(fèi)用少基本不等式【2016年高考會(huì)這樣考】1考查應(yīng)用基本不等式求最值、證明不等式的問(wèn)題2考查應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1突出對(duì)基本不等式取等號(hào)的條件及運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)練2訓(xùn)練過(guò)程中注意對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng)基礎(chǔ)梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件

24、：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號(hào))；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大) 一個(gè)技巧運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2

25、b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等 兩個(gè)變形(1)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))；(2) (a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個(gè)注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致考向一利用基本不等式求最值【例

26、1】(1)已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_(kāi)；(2)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)的最大值為_(kāi)審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)把中的“1”代換為“2xy”，展開(kāi)后利用基本不等式；第(2)問(wèn)把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且2xy1，332.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)(2)x0，f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(hào)答案(1)32(2)1 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”常用的方法為：拆、湊、代換、平方【訓(xùn)練1】 (1)已知x1，則f(x)x的最小值為_(kāi)(2)已知0x，則y2x5x2的最大值為_(kāi)(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，則

27、xy的最小值為_(kāi)解析(1)x1，f(x)(x1)1213當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號(hào)(2)y2x5x2x(25x)·5x·(25x)，0x，5x2,25x0，5x(25x)21，y，當(dāng)且僅當(dāng)5x25x，即x時(shí)，ymax.(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1，xy(xy)10102102×2× 18，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)取等號(hào)，又2x8yxy0，x12，y6，當(dāng)x12，y6時(shí)，xy取最小值18.答案(1)3(2)(3)18考向二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求證：abc.審題視點(diǎn) 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到證明a

28、0，b0，c0，2 2c；2 2b；2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc. 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題【訓(xùn)練2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.證明a0，b0，c0，且abc1，3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)考向三利用基本不等式解決恒成立問(wèn)題【例3】若對(duì)任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_審題視點(diǎn) 先求(x0)的最大值，要使得a(x0)恒成立，只要(x0)的最大值小于等于a即可解析若對(duì)任意x0，a恒成立，只需求得y的最大

29、值即可，因?yàn)閤0，所以y，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，所以a的取值范圍是答案 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解【訓(xùn)練3】已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析由x0，y0，xyx2y2 ，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值為10.答案10考向三利用基本不等式解實(shí)際問(wèn)題【例3】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)5 m房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？審題視點(diǎn) 用長(zhǎng)度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可還應(yīng)注意定義域0x5；函數(shù)取最小值時(shí)的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性