高中數學函數知識點總結

1、高中數學函數知識點總結 1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。2 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性質： 要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇， 即集合A有個子集。當然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數為，非空真子集個數為 （3）德摩根定律：有些版本可能是這種寫法，遇到后要

2、能夠看懂4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。7. 對映射的概念了解嗎？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）注意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數有nm個。如：若，；問：到的映射有 個，到的映射有 個；到的函數有 個，若，則到的一一映射有 個。函數的圖象與直線交點的個數為 個。 8. 函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？ （定義域、對應法則、值域）相同函數的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必須同時具備) 9. 求

3、函數的定義域有哪些常見類型？ 函數定義域求法：l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數（或式）大于或等于零；10. 如何求復合函數的定義域？ 義域是_。 例 若函數的定義域為，則 的定義域為 。11、函數值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。例 求函數y=的值域2、配方法配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例、求函數y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判別式法對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面5、函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數

4、的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。6、函數單調性法 通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容7、換元法通過簡單的換元把一個函數變?yōu)楹唵魏瘮?，其題型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數y=x+的值域。8 數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：求函數y=+的值域。倒數法有時，直接看不出函數的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現另一番境況例 求函數y=的值域12. 求一個函數的解析式時

5、，注明函數的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂 15 . 如何用定義證明函數的單調性？ （取值、作差、判正負）判斷函數單調性的方法有三種：(1)定義法：根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系可以變形為求的正負號或者與1的關系(2)參照圖象：若函數f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調性； （特例：奇函數）若函數f(x)的圖象關于直線xa對稱，則函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調性。（特例：

6、偶函數）(3)利用單調函數的性質：函數f(x)與f(x)c(c是常數)是同向變化的函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c0時，它們是同向變化的；當c0時，它們是反向變化的。如果函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數相加）如果正值函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數f1(2)與f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數相乘）函數f(x)與在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。若函數u(x)，x，與函數yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復合函數yF(x)

7、是遞增的；若函數u(x),x，與函數yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復合函數yF(x)是遞減的。（同增異減）若函數yf(x)是嚴格單調的，則其反函數xf1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數增增增增增增減減/減增減/減減增減減 17. 函數f(x)具有奇偶性的條件是什么？ （f(x)定義域關于原點對稱） 注意如下結論： （1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。 （3）f（x）是定義域在（-6,0），（0，6）上的奇函數，若

8、x0時f（x）= 求x0時f（x）判斷函數奇偶性的方法一、 定義域法一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.二、 奇偶函數定義法在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、 復合函數奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.函數，T是一個周期。） 我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數周期2t. 推導：，

9、同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數f(x)關于直線對稱， 對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于直線x=a對稱。 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,0) 注意如下“翻折”變換： 19. (k為斜率，b為直線與y軸的交點) 的雙曲

10、線。 應用：“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 利用它的單調性求最值21. 如何解抽象函數問題？ （賦值法、結構變換法） （對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求單調性：令x+y=x1 幾類常見的抽象函數 1. 正比例函數型的抽象函數 f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）2. 冪函數型的抽象函數 f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；

11、f（）例1已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.例2已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）<3的解.例3已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當0x1時，f（x）0，1.（1） 判斷f（x）的奇偶性；（2） 判斷f（x）在0，上的單調性，并給出證明；（3） 若a0且f（a1），求a的取值范圍.例4設函數f（x）的定義域是

12、（，），滿足條件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；對任何x和y，f（xy）f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 對任意值x，判斷f（x）值的符號.例5是否存在函數f（x），使下列三個條件：f（x）>0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.例6設f（x）是定義在（0，）上的單調增函數，滿足f（x·y）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.例7設函數y f（x）的反函數是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么

13、g（ab）g（a）·g（b）是否正確，試說明理由. 例9已知函數f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數，解不等式f（x）f（x）0.例10已知函數f（x）對一切實數x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）·f（y），且當x0時，f（x）1，求證：（1） 當x0時，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是減函數.練習題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對任意實數x、y都成立，則（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不對2. 若對任意實數x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯誤的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函數f（x）對一切實數x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）1，則當x0時，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，） （B）（