高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義之集合及性質(zhì)

1、第一講 集合的概念與運(yùn)算例題精講板塊一 元素與子集元素與子集是集合中最基本的概念.其基本題型如下：1、 根據(jù)給定的集合性質(zhì)確定某元素是否屬于某集合或確定某待定元數(shù)值；2、 對(duì)數(shù)集中的元素按某種規(guī)律排序并找出其中某個(gè)特定元素；3、 對(duì)某集合中元素按特定運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算4、 確定滿足某條件的子集個(gè)數(shù)基本解題思路有：利用集合的互異性；分類討論或枚舉；對(duì)數(shù)集的元素排序；反證法等【例1】 已知, ,且. 求x的所有可能值個(gè)數(shù)【例2】 已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；【例3】 已知集合，,，且，則整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 （ ）A. 20

2、 B. 25 C. 30 D. 42 【例4】 已知任意的記集合，將M中的元素按從大到小順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是A. B. C. D. 【例5】 設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ ）A B C D 【例6】 已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合Mx|x23xa220，xR的子集的個(gè)數(shù)為( )A.1 B.2 C.4 D.不確定【變式】 一個(gè)n元集的子集個(gè)數(shù)有多少個(gè)？非空子集個(gè)數(shù)有多少個(gè)？【例7】 對(duì)于集合和它的每一個(gè)非空子集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如：的交替和為，5的交替和為5.對(duì)于n=7,求所有這些交替和之和.板塊二 集合的運(yùn)算集合

3、的基本運(yùn)算包括交并補(bǔ)運(yùn)算，.其基本題型如下：1、 給定兩個(gè)或多個(gè)集合對(duì)其做復(fù)雜的復(fù)合運(yùn)算，只要先利用函數(shù)或解析幾何等相關(guān)知識(shí)確定原始集合，就可以按部就班地計(jì)算出最后結(jié)果.2、 題目中對(duì)集合定義某種新運(yùn)算，要求按新運(yùn)算來進(jìn)行計(jì)算.但第一類題型往往要用到很多高中的知識(shí)作為基礎(chǔ)，因此放在以后的章節(jié)中逐漸滲透.【例8】 集合A= ，B= ，求, 【例9】 定義集合運(yùn)算：，設(shè)A=2,0,B=0,8，則集合的所有元素之和為（） A.16 B.18 C.20 D.22【例10】 已知集合對(duì)于，定義A與B的差和距離分別為（）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，；（）證明：，且;() 證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)板塊三 有限

4、集的階定義：有限集A的元素?cái)?shù)目叫做這個(gè)集合的階，記作|A|.注：高考中常記作card(A),本講義中一律寫作|A|.求集合的階的問題通常與組合相關(guān)，特別是求滿足某給定條件的子集的階的最大值問題通常難度很大.這類問題在競(jìng)賽中變化極多，難以掌握.此處僅舉數(shù)例說明，更深層次的問題將在學(xué)完組合基礎(chǔ)之后再來學(xué)習(xí).【例11】 設(shè)集合.【例12】 S是的一個(gè)子集，且S中任兩數(shù)之差不能為4或7,（1） 證明：原集合中任11個(gè)連續(xù)整數(shù)中最多有5個(gè)能是S中元素.（2） 試求【例13】 已知A與B是集合1，2，3，100的兩個(gè)子集，滿足：A與B的元素個(gè)數(shù)相同，且AB為空集。若nA時(shí)總有2n+2B，則集合AB的元素個(gè)

5、數(shù)最多為（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74【例14】 已知集合是集合的子集，且對(duì)任意，都有，則集合中的元素最多有多少個(gè)？【變式】 已知集合是集合的子集，且對(duì)任意，都有，則集合中的元素最多有（ ）（A）67個(gè)（B）68個(gè)（C）69個(gè)（D）70個(gè)大顯身手1 集合M=，N=.M,N的關(guān)系為（A）M=N（B）（C）M為N的真子集（D）N為M的真子集2 設(shè)集合A的元素都是正整數(shù)，滿足以下條件：(1) A的元素個(gè)數(shù)不小于3；(2) 若，則a的所有因數(shù)都屬于A；(3) 若，1<a<b,則.試解答：（1）證明1,2,3,4,5均為A中元素； （2）試確定2005是否為A中元素.3 設(shè)A

6、所有可表為兩個(gè)整數(shù)平方和的的數(shù)所組成的集合，即證明：若,則4 求集合M=的所有非空子集的元素和之和.5 設(shè)全集，若 (注：補(bǔ)集符號(hào))則集合B可能為：（A）（B）（C）（D）6 設(shè)集合A=, ,且，中所有元素之和為224.求集合A .7 設(shè),A是M的子集且滿足條件：當(dāng)時(shí)，求.若將15換為17,19又如何.譯者序： 本文譯自澳大利亞數(shù)學(xué)家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學(xué)、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級(jí)的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng) Fields 獎(jiǎng)， 成為該獎(jiǎng)項(xiàng)七

7、十年來最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)咧弧?美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) (AMS) 對(duì) Tao 的評(píng)價(jià)是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的獨(dú)創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點(diǎn)融為一體”。 著名數(shù)學(xué)家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎(jiǎng)得主) 的評(píng)價(jià)則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 1. 數(shù)學(xué)品質(zhì)的諸多方面我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)家應(yīng)該努力創(chuàng)造好數(shù)學(xué)。 但 “好數(shù)學(xué)” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個(gè)問題。 我們幾乎立刻能夠意識(shí)到有許多不同種類的數(shù)學(xué)都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學(xué)” 可以指 (

8、不分先后順序)：好的數(shù)學(xué)題解 (比如在一個(gè)重要數(shù)學(xué)問題上的重大突破)；好的數(shù)學(xué)技巧 (比如對(duì)現(xiàn)有方法的精湛運(yùn)用， 或發(fā)展新的工具)；好的數(shù)學(xué)理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號(hào)選擇)；好的數(shù)學(xué)洞察 (比如一個(gè)重要的概念簡(jiǎn)化， 或?qū)σ粋€(gè)統(tǒng)一的原理或主題的實(shí)現(xiàn))；好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) (比如對(duì)一個(gè)出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示)；好的數(shù)學(xué)應(yīng)用 (比如應(yīng)用于物理、 工程、 計(jì)算機(jī)科學(xué)、 統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的重要問題， 或?qū)⒁粋€(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果應(yīng)用于另一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域)；好的數(shù)學(xué)展示 (比如對(duì)新近數(shù)學(xué)課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個(gè)清晰而合理的論證)；好的數(shù)學(xué)教學(xué) (比如能讓

9、他人更有效地學(xué)習(xí)及研究數(shù)學(xué)的講義或?qū)懽黠L(fēng)格， 或?qū)?shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見 (比如富有成效的長遠(yuǎn)計(jì)劃或猜想)； 待續(xù)好的數(shù)學(xué)品味 (比如自身有趣且對(duì)重要課題、 主題或問題有影響的研究目標(biāo))；好的數(shù)學(xué)公關(guān) (比如向非數(shù)學(xué)家或另一個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家有效地展示數(shù)學(xué)成就)；好的元數(shù)學(xué) (比如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、 哲學(xué)、 歷史、 學(xué)識(shí)或?qū)嵺`方面的進(jìn)展)； 嚴(yán)密的數(shù)學(xué) (所有細(xì)節(jié)都正確、 細(xì)致而完整地給出)；美麗的數(shù)學(xué) (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡(jiǎn)單漂亮， 證明卻很困難的結(jié)果)；優(yōu)美的數(shù)學(xué) (比如 Paul Erdos 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結(jié)果)；

10、 創(chuàng)造性的數(shù)學(xué) (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點(diǎn)或各類結(jié)果)；有用的數(shù)學(xué) (比如會(huì)在某個(gè)領(lǐng)域的未來工作中被反復(fù)用到的引理或方法)；強(qiáng)有力的數(shù)學(xué) (比如與一個(gè)已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果， 或從一個(gè)看起來很弱的假設(shè)推出一個(gè)強(qiáng)得出乎意料的結(jié)論)；深刻的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)明顯非平凡的結(jié)果， 比如理解一個(gè)無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)；直觀的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)自然的、 容易形象化的論證)；明確的數(shù)學(xué) (比如對(duì)某一類型的所有客體的分類； 對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)課題的結(jié)論)；其它。如上所述， 數(shù)學(xué)品質(zhì)這一概念是一個(gè)高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標(biāo)準(zhǔn)排序注二。 我相信這是由于數(shù)學(xué)本身就是復(fù)雜和高維的， 并且會(huì)以一種自我調(diào)整及難以預(yù)料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個(gè)群體增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解及運(yùn)用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對(duì)重要性或權(quán)重， 看來并無普遍的共識(shí)。 這部分地是由于技術(shù)