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文檔簡介

1、首屆中國大學生數學競賽賽區(qū)賽試卷（非數學類，2009）一、填空題（每小題5分，共20分）1計算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標軸所圍成三角形區(qū)域.解 令，則， （*）令，則，2設是連續(xù)函數，且滿足, 則_.解 令，則，,解得。因此3曲面平行平面的切平面方程是_.解 因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4設函數由方程確定，其中具有二階導數，且，則_.解法1 方程的兩邊對求導，得即因，故，即，因此解法2 方程取對數，得 （1）方程（1）的兩邊對求導，得 （2）即 （3）方程（2）的兩邊對求導，得 （4）將（3）

2、代入（4），得將左邊的第一項移到右邊，得因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數.解法1 因故因此解法2 因故三、（15分）設函數連續(xù)，且，為常數，求并討論在處的連續(xù)性.解 由和函數連續(xù)知，因，故，因此，當時，故當時，這表明在處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.證 因被積函數的偏導數連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知（1）而關于和是對稱的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，是某二階常系數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.解 設，是二階常系數線性非齊次微分方程的三個解，則和都是二階常系數線性齊次微分方程的解，因此的特征多項式是，而的特征多項式是因此二階常系數線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數線性非齊次微分方程為六、（10分）設拋物線過原點.當時,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.解 因拋物線過原點，故，于是即而此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為即令，得即因此,.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數項級數之和.解 ，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，于是下面求級數的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級數的和八、（10分）求時, 與等價的無窮

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