高中數(shù)學(xué)知識點精講——極限和導(dǎo)數(shù)

1、第十二章 極限和導(dǎo)數(shù)第十四章 極限與導(dǎo)數(shù)一、 基礎(chǔ)知識1極限定義：（1）若數(shù)列un滿足，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且nN時，恒有|un-A|<成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。2 極限的四則運算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b, f(x)g(x)=ab, 3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)

2、。4最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個增量x時（x充分?。?，因變量y也隨之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。6幾個常用函數(shù)

3、的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7導(dǎo)數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)0,則（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。8復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對應(yīng)的點u(u=(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，且（f(x)=.9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10極值的必要條件

4、：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-,x0+)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x(x-,x0)時，當(dāng)x(x0,x0+)時，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x(x0-，x0)時，當(dāng)x(x0,x0+)時，則f(x)在x0處取得極大值。12極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-,x0+)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。13羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在(a,b)，

5、使證明 若當(dāng)x(a,b)，f(x)f(a)，則對任意x(a,b)，.若當(dāng)x(a,b)時，f(x)f(a)，因為f(x)在a,b上連續(xù)，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在(a,b)，使證明 令F(x)=f(x)-,則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對

6、任意xI,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意xI,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16琴生不等式：設(shè)1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函數(shù)，則x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、極限1、數(shù)列極限：（1）公式：（C為常數(shù)）；（p>0）；.（2）運算法則：若數(shù)列和的極限都存在，則和的和、差、積、商的極限等于和的極限的和、差、積、商.例題： 將直線、（，）圍成的三角形面積記為，則 . 已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且，則 習(xí)題： . 設(shè)0&

7、lt;a<b，則=_ _. 若，則 等于 數(shù)列的前n項和為Sn，則_. 已知數(shù)列的首項，其前項的和為，且，則= .2、函數(shù)極限：（1）公式： （C為常數(shù)）； （p>0）；.（2）運算法則：若函數(shù)和的極限都存在，則函數(shù)和的和、差、積、商的極限等于和的極限的和、差、積、商.習(xí)題： ； . 已知，且，則 . .3、函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是.習(xí)題： 已知函數(shù)在x=0處連續(xù)，則 . 已知，下面結(jié)論正確的是 （ ）（A）在處連續(xù) （B） （C） （D） 若，則常數(shù)的值分別為 .三、導(dǎo)數(shù)1、導(dǎo)數(shù)的概念：（1）導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線上點處的切線的斜率為

8、.因此曲線在點（）處的切線方程為.（3）導(dǎo)數(shù)的物理意義：若質(zhì)點運動的位移函數(shù)為S=s(t),則時質(zhì)點運動的瞬時速度是.例題： 若，則等于 . 若曲線在點處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則 . 如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為 已知曲線.(1) 求曲線在點處的切線方程； (2) 求曲線過點的切線方程. 求拋物線上的點到直線距離的最小值.習(xí)題： 若，則等于 . 運動曲線方程為，則t=3時的速度是 . 已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是

9、曲線在點（1，1）處的切線方程是 . 已知點P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是 .2、導(dǎo)數(shù)的運算： （1）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；.；.（2）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則： ；, ；. （3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)，中間變量對自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)習(xí)題： 若滿足，則 . 等比數(shù)列中，則 . 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）. 3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：（1）求函數(shù)的單調(diào)性：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：求；>0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；<0的

10、解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.例題： 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . 已知函數(shù)，求()的單調(diào)區(qū)間. 若函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+）上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍.習(xí)題： 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 . 若恰有三個單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是 . 已知a>0，函數(shù)f（x）=x3ax在1，+）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是 . 求函數(shù)（）的單調(diào)性. 是否存在這樣的k值，使函數(shù)在（1，2）上遞減，在（2，+）上遞增（2）求函數(shù)的極值：求導(dǎo)數(shù)；求方程=0的根；用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則在這個根處無極值.例題： 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx23x在x=±1處取得極值，求f（x）的極大值和極小值. 函數(shù)f（x）=x36bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則b的取值范圍為 . 已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍.習(xí)題： 已知函數(shù)=x3+