基本思想的含義、作用與滲透途徑

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上基本思想的含義、作用與滲透途徑東北師范大學(xué)南湖實驗學(xué)校 孔凡哲 福建教育2012年第9期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)究竟學(xué)什么？除了知識、技能，還有什么？對于這個問題的思考，仁者見仁，智者見智。其中，弗萊登塔爾提出的“與其說學(xué)數(shù)學(xué)倒不如說學(xué)數(shù)學(xué)化”最具代表性，并被世界各國普遍認(rèn)同?！皩W(xué)會數(shù)學(xué)化”已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)和國際趨勢。所謂“數(shù)學(xué)化”，其實可以細(xì)化為“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化”和“數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化”，其核心是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型。一、基本思想的含義、作用與類別1含義所謂思想，一般是指客觀存在、反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是人類一切行為的基礎(chǔ)。簡單地

2、說，思維之思維即思想。所謂數(shù)學(xué)的基本思想，是指數(shù)學(xué)科學(xué)賴以產(chǎn)生、發(fā)展的那些思想，是學(xué)生領(lǐng)會之后能夠終生受益的思想。史寧中教授在專著數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）中指出的，“數(shù)學(xué)思想是指數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想至今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型?！彪m然在解決具體問題時會涉及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但是最上位的思想還是抽象思想、推理思想和模型思想(亦可稱之為建模思想)。2.作用從方法論的角度分析，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢在于基礎(chǔ)知識（概念記憶與命題理解）扎實、基本技能（證明技能與運算技能）熟練，這與“數(shù)學(xué)雙基教育”所希望達(dá)到的目的是一致的。但是，從

3、人的發(fā)展的角度考慮，特別是從培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的角度考慮，這種知識靠記憶、技能靠熟練的教學(xué)依賴于“熟能生巧”的傳統(tǒng)模式，僅靠這些是不夠的、甚至是不利的。事實上，真理的發(fā)現(xiàn)主要靠歸納（即廣義的歸納），而驗證、證明真理需要靠演繹。因此，必須將基本思想、基本活動經(jīng)驗放到與基礎(chǔ)知識、基本技能同等重要的位置，這正是2011年版課標(biāo)的亮點之一。讓學(xué)生體會基本思想和積累基本活動經(jīng)驗是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的需要。其實，創(chuàng)新在本質(zhì)上源于歸納思維能力。而歸納能力建立在實踐的基礎(chǔ)上，歸納能力的培養(yǎng)可能會更依賴于“過程的教育”，依賴于經(jīng)驗的積累。這種積累正是基本思想的體會和感悟的過程、基本活動經(jīng)驗的積累和形成的過程，也就是說，基

4、本思想、基本活動經(jīng)驗只能在過程中加以培養(yǎng)，而不能采取簡單的結(jié)果式的教育方式。這里的“過程的教育”并不是指在授課時要講解、或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式，而是指學(xué)生探究的過程、學(xué)生思考的過程、學(xué)生抽象的過程、學(xué)生預(yù)測的過程、學(xué)生推理的過程、學(xué)生反思的過程等。通過這些過程，學(xué)生能親身感悟歸納、演繹的思想與方法，逐漸積累歸納、演繹并舉的思考與實踐的經(jīng)驗，進(jìn)而逐步形成數(shù)學(xué)的思維方式和思維能力，這些恰恰被我們以往的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)所忽視。3.類別中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的核心目標(biāo)在于“學(xué)會數(shù)學(xué)化”。按照具體過程，“數(shù)學(xué)化”可以細(xì)分為“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化”和“數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化”，

5、分別對應(yīng)著一種基本思想。（1）現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化抽象?！艾F(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”就是將現(xiàn)實問題進(jìn)行適度的抽象，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其中的核心就是數(shù)學(xué)抽象。抽象雖然不是數(shù)學(xué)所獨有的，但是，數(shù)學(xué)抽象是對數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，是一種特殊的抽象。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是研究抽象了的東西，而這些抽象了的東西來源于現(xiàn)實世界，是被人抽象出來的。數(shù)學(xué)抽象的對象既可以是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，也可以是數(shù)學(xué)思維中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。真正的知識來源于感性的經(jīng)驗并通過直觀和抽象而得到，并且這種抽象不能獨立于人的思維而存在。抽象是思維的基礎(chǔ)，因為只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認(rèn)識中獲得事物（事件或?qū)嵨铮┑谋举|(zhì)特征，從而上

6、升到理性認(rèn)識。（2）數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化推理。數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展得益于數(shù)學(xué)推理，其中，推理既包括演繹推理，也包括廣義的歸納推理；而數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的建立得益于公理化，將數(shù)學(xué)整理成一個內(nèi)部條理、簡捷、完備的體系。數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的奠基性工作需要借助公理化，而數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需要借助推理來完成。小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透了一點點公理化的思想，而初中數(shù)學(xué)中已經(jīng)有明確的公理化思想，建立明確的、相對完備的幾何公理體系。（3）數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化建模。數(shù)學(xué)的一種重要任務(wù)（也是數(shù)學(xué)賴以發(fā)展的重要動力）就是“數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化”，亦即主動尋找數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實原型，主動利用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中的問題、提出數(shù)學(xué)問題，并加以分析和解決，其中的核心就是數(shù)學(xué)模型。總之

7、，在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，最重要的基本思想是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)建摸，這些對學(xué)生在數(shù)學(xué)上的終生可持續(xù)發(fā)展有益。二、基本思想與數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系2001年實驗稿課標(biāo)中首次提出“基本的數(shù)學(xué)思想方法”目標(biāo)，2011年版課標(biāo)中提出數(shù)學(xué)的“基本思想”目標(biāo)。數(shù)學(xué)的“基本思想”和“基本的數(shù)學(xué)思想方法”有何關(guān)系？經(jīng)過10年課改，大家普遍認(rèn)為,所有的數(shù)學(xué)思想構(gòu)成了一個分層的結(jié)構(gòu)，包括：上位的基本思想，如抽象、推理、建模；下位的數(shù)學(xué)思想，如等價替換、數(shù)形結(jié)合、遞歸等；具體的數(shù)學(xué)方法，如合并同類項、配方、換元等。數(shù)學(xué)的基本思想是指數(shù)學(xué)科學(xué)賴以發(fā)展的核心思想，是數(shù)學(xué)的重要思想、核心思想，不同于一般的數(shù)學(xué)思想。史寧中教授認(rèn)

8、為，基本思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是最上位的數(shù)學(xué)思想。他給出基本思想的兩個判斷標(biāo)準(zhǔn)，一是數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想，二是學(xué)過數(shù)學(xué)和沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人在思維上的根本差異。由此，他確定出數(shù)學(xué)的三個基本思想，即抽象思想、推理思想、建模思想，把常見的數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、集合思想、歸納思想、方程思想、函數(shù)思想等作為基本思想派生出的下位的數(shù)學(xué)思想。南開大學(xué)顧沛教授對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了全面的梳理，他認(rèn)為：由抽象思想派生出的下位的數(shù)學(xué)思想有分類思想、集合思想、數(shù)形結(jié)合思想、變中有不變思想、符號表示思想、對應(yīng)思想等；由推理思想派生出的下位的數(shù)學(xué)思想有歸納思想、演繹思想、轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、類比思想、逼近思想、代

9、換思想等；由建模思想派生出的下位的數(shù)學(xué)思想有化簡思想、量化思想、函數(shù)思想、方程思想、優(yōu)化思想、隨機(jī)思想等。他還指出：在用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時，逐漸形成的程序化操作，就構(gòu)成了具體的數(shù)學(xué)方法?？梢姡瑪?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的匯合體，是過去人們的一種習(xí)慣性說法，而不是一種獨立的數(shù)學(xué)對象。2011年版課標(biāo)之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，主要就是要與換元法、遞歸法、配方法等具體的數(shù)學(xué)方法區(qū)別開來。事實上，每一個具體的方法可能是重要的，但是這些方法并不具有一般性、普適性，因而,經(jīng)過一段時間，學(xué)生很可能就忘卻了。2011年版課標(biāo)的教育理念的根基，是學(xué)生的全面、健康、和諧、可持續(xù)發(fā)展，即

10、人的全面發(fā)展觀。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所獲得的數(shù)學(xué)的基本思想，應(yīng)該是讓學(xué)生終生受用的那些數(shù)學(xué)思想，而不是一招一式的細(xì)微的思想，更不是解題術(shù)。這與曾經(jīng)流行的MM試驗不同，這里的MM試驗就是指“數(shù)學(xué)思想方法的試驗”，其中，“數(shù)學(xué)思想方法”是指各種各樣的數(shù)學(xué)思想，既包括基本思想，也包括層次很低、不具有普適性的下位的數(shù)學(xué)思想。三、基本思想的滲透途徑2011年版課標(biāo)在闡述總體目標(biāo)的“知識技能”目標(biāo)中指出的：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能。經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能。經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問

11、題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識和基本技能。參與綜合實踐活動，積累綜合運用數(shù)學(xué)知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”這種表述方式實際上已經(jīng)明確指出，基本思想、基本活動經(jīng)驗的培養(yǎng)要與基礎(chǔ)知識、基本技能的學(xué)習(xí)融為一體。1.抽象思想的滲透數(shù)學(xué)抽象的基本思想存在于數(shù)學(xué)概念、命題的發(fā)展過程之中，因此，在獲得概念、命題的同時，也要引導(dǎo)學(xué)生體會和感悟數(shù)學(xué)中的抽象思想。以下將結(jié)合“27+5=？”的教學(xué)，談?wù)劇皟晌粩?shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”中抽象思想的滲透。借助“10個雞蛋一盒”這個非?，F(xiàn)實的經(jīng)驗，直觀地呈現(xiàn)：27表示有2盒雞蛋和1盒不滿的雞蛋（即不滿的盒子里有7個雞蛋，這意味著有3個空位），

12、另有5個雞蛋。一共幾個雞蛋呢？借助生活經(jīng)驗，學(xué)生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來，填補在第3盒雞蛋的3個空位上，即將空位補齊，湊成一整盒，余下2個雞蛋。這就是，將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而，結(jié)果是32。這是最樸素的“湊十進(jìn)位”，而這里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。2.推理思想的滲透數(shù)學(xué)推理的基本思想存在于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展之中，需要分類引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體會和感悟。例如，教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法”時，當(dāng)大部分學(xué)生能比較熟練地進(jìn)行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算后，教師可以出示如下的問題：計算1211、1311、1511、1711，你有什么發(fā)現(xiàn)？用你

13、剛才的發(fā)現(xiàn)，猜一猜4511應(yīng)該得多少？然后，用豎式算一算，看看你的猜測是否正確？需要修改你的發(fā)現(xiàn)嗎？用1163再驗證一次修改后的結(jié)論?？偨Y(jié)你的發(fā)現(xiàn)，說一說其中的道理。上面的教學(xué)過程讓學(xué)生在鞏固基礎(chǔ)知識、基本技能的過程中，經(jīng)歷 “個案1、個案n 歸納出一個共性規(guī)律，猜測驗證自己的猜測得出一般的結(jié)論”的思維過程，不僅獲得知識，也感受“數(shù)學(xué)家式”的思考過程、數(shù)學(xué)真理的“發(fā)現(xiàn)”過程，獲得普適性的思維經(jīng)驗：先分析個案1，再分析個案2嘗試歸納其共性的規(guī)律；接著，將猜得的結(jié)論用于新的個案上，分析理論上的結(jié)果，并利用實際操作驗證（如果吻合，確認(rèn)結(jié)論；如果有問題，修正猜想，做出一個更貼切的猜想）。3.模型思想的

14、滲透數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)聯(lián)系外部世界的橋梁，需要重點關(guān)注，并在教學(xué)中滲透，讓學(xué)生逐步形成模型思想。如采用列方程的方法解決典型的雞兔同籠問題“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何”時，關(guān)鍵在于建立方程“模型”，其抽象過程如下：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系，即“雞腳數(shù)與兔腳數(shù)之和，就是總腳數(shù)；雞頭數(shù)與兔頭數(shù)之和，就是總頭數(shù)；每只雞的腳數(shù)比每只兔的腳數(shù)多2”，并用自然語言表達(dá)出來。用等式表達(dá)關(guān)系，即雞腳數(shù) + 兔腳數(shù)=總腳數(shù)，雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=總頭數(shù)，每只雞的腳數(shù) =每只兔的腳數(shù)-2。用符號語言表達(dá)關(guān)系，即+ =35，2+4 =94，其中, 表示雞的總頭數(shù)，表示兔的總頭數(shù)， 2表示雞的總腳數(shù), 4

15、表示兔的總腳數(shù)。用含有未知數(shù)的方程表達(dá)關(guān)系，即設(shè)籠中有兔x只,由第一個關(guān)系知道雞有35-x只，于是，兔的總腳數(shù)為4x，雞的總腳數(shù)為2（35-x）。將這個關(guān)系帶入另一個等式，得2(35-x) +4x=94。至于解方程，其基本思路就是，將含有未知數(shù)的項放在方程的一邊，將不含未知數(shù)的項放在另一邊，進(jìn)行代數(shù)式化簡和計算?？梢姡昧幸辉淮畏匠探鉀Q問題，核心在一元一次方程建模的過程，即發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系用等式表達(dá)關(guān)系用符號語言表達(dá)關(guān)系用含有未知數(shù)的方程表達(dá)關(guān)系一元一次方程?？傊?，對于數(shù)學(xué)的基本思想的體會和感悟,必須融入數(shù)學(xué)知識、技能的日常教學(xué)之中，必須持續(xù)不斷地進(jìn)行滲透，不宜孤立地進(jìn)行。首先，在數(shù)學(xué)概念、命題等的形成過程中，要重點引導(dǎo)學(xué)生體會和感悟抽象思想，這是體會抽象思想的主渠道。其次，在數(shù)學(xué)概