圖形變換共頂點旋轉.知識精講

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上共頂點旋轉中考大綱中考內容中考要求ABC圖形的旋轉了解圖形的旋轉，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，能依據旋轉前、后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角能運用旋轉的知識解決簡單問題知識網絡圖知識精講一、旋轉1、定義把一個圖形繞著某一點轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角，如果圖形上的點經過旋轉變?yōu)辄c，那么這兩個點叫做這個旋轉的的對應點如下圖【注意】1、研究旋轉問題應把握兩個元素：旋轉中心與旋轉角2、每一組對應點所構成的旋轉角相等2、性質（1）旋轉后的

2、圖形與原圖形是全等的；（進而得到相等的線段、相等的角）（2）旋轉前后兩個圖形對應點到旋轉中心的距離相等；（進而得到等腰三角形）（3）對應點與旋轉中心所連線段的夾角都等于旋轉角；（若特殊角則得到等邊三角形、等腰直角三角形）3、作圖的重要條件由旋轉的性質可知，旋轉作圖必須具備兩個重要條件（1）旋轉中心（2）旋轉方向及旋轉角度4、作圖的基本步驟具體步驟分以下幾步連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心轉：即把連線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點連：即連接所得到的各點二、中心對稱1、中心對稱的定義把一個圖形繞著某一點旋轉，如果它能夠

3、與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做中心對稱點，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點（如下圖）【注意】1、圖形成中心對稱是旋轉角為定角（）的旋轉問題，它是一種特殊的旋轉，反映的是兩個圖形的一種特殊關系2、中心對稱闡明的是兩個圖形的特殊位置關系2、中心對稱的性質關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等如果連接兩個圖形的對應點的線段都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形一定關于這一點成中心對稱3、中心對稱圖形把一個圖形繞著某一

4、點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心（如下圖）4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系中心對稱是指兩個圖形的關系，中心對稱圖形是指具有某種性質的一個圖形若把中心對稱圖形的兩個部分分別看作兩個圖形，則他們成中心對稱；若把中心對稱的兩個圖形看作一個整體，則成為中心對稱圖形5、關于原點對稱的點的坐標特征兩個點關于原點對稱時，他們坐標符號相反，反過來，只要兩個點的坐標符號相反，則兩個點關于原點對稱6、中心對稱圖形與旋轉對稱圖形的比較名稱定義區(qū) 別聯(lián) 系旋轉對稱圖形如果一個圖形繞著某一點旋轉一定角度（小于周角）后能與原圖形完全重合，那么這個圖形

5、叫做旋轉對稱圖形旋轉角度不一定是旋轉對稱圖形只有旋轉才是中心對稱圖形，而中心對稱圖形一定是旋轉對稱圖形中心對稱圖形如果一個圖形繞某一點旋轉后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形必須旋轉7、中心對稱圖形與軸對稱圖形比較名稱定義基本圖形區(qū)別舉例中心對稱圖形如果一個圖形繞著某點旋轉后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形繞某一點旋轉線段、平行四邊形、矩形、菱形、圓軸對稱圖形如果一個圖形沿某一條直線翻折后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這樣的圖形叫做軸對稱圖形沿某一條直線翻折（對折）線段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓三、共頂點旋轉1、共頂點旋轉三角形有出現(xiàn)一個公共的頂點，兩個三角形可

6、以通過旋轉相互得到，這類題目需要找到兩個旋轉三角形或者通過作出輔助線找到兩個旋轉三角形【注意】以上給出了各種圖形連續(xù)變化圖形，圖中出現(xiàn)的兩個陰影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性質進行邊與角的轉化證明的基本思想“SAS”【例題】如圖，等邊三角形與等邊共頂點于點求證：【答案】是等邊三角形，同理，在與中，四、費馬點與最值1、三線共點問題圖形中出現(xiàn)有公共端點的相等線段，可考慮將含有相等線段的圖形繞公共端點旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合2、與共用頂點，固定將繞點旋轉過程中的，會出現(xiàn)的最大值與最小值，如圖3、費馬點的定義到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為旋轉

7、與最短路程問題主要是利用旋轉的性質轉化為兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉有關路程最短的問題，比較重要的就是費馬點問題 4、費馬點的結論（1）平面內一點到ABC三頂點的之和為，當點P為費馬點時，距離之和最?。?）三內角皆小于120的三角形，分別以,為邊，向三角形外側做正三角形,然后連接,則三線交于一點,則點就是所求的費馬點（3）若三角形有一內角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求的費馬點（4）當為等邊三角形時,此時內心與費馬點重合【例題】下面簡單說明如何找點使它到三個頂點的距離之和最??？這就是所謂的費爾馬問題【解析】如圖1，把繞A點逆時針旋轉60得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，

8、AP= PP，PC=PC，所以= PP+ PB+ PC點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉60而得的定點，BC為定長 ，所以當B、P、P、C 四點在同一直線上時，最小這時BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120因此，當?shù)拿恳粋€內角都小于120時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120，可在AB、BC邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內的交點就是P點；當有一內角大于或等于120時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問

9、題的方法是運用旋轉變換解題方法技巧1、利用旋轉思想構造輔助線（1）根據相等的線段先找出被旋轉的三角形（2）根據對應邊找出旋轉角度，畫出旋轉三角2、四大旋轉全等模型（關鍵找伴隨全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形伴隨旋轉出全等，處于各種位置的旋轉模型，及殘缺的旋轉模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉模型圖（共頂點旋轉等腰出伴隨全等） （2）等邊三角形旋轉模型圖（共頂點旋轉等邊出伴隨全等） （3）等腰直角旋轉模型圖（共頂點旋轉等腰直角出伴隨全等） （4）不等邊旋轉模型圖（共頂點旋轉不等腰出伴隨相似） （5）正方形共頂點旋轉3、旋轉秘籍（1）圖形中出現(xiàn)等腰三角形，?？紤]將以腰為邊的

10、某三角形繞等腰三角形的頂角所在的頂點旋轉一頂角后與另一腰重合（1）圖形中出現(xiàn)等邊三角形，常考慮將含有等邊三角形邊長的某個三角形繞頂點旋轉角后與另一邊重合（2）圖形中出現(xiàn)正方形時，常考慮將含有正方形邊長的某個三角形繞頂點旋轉角后與另一邊重合4、正方形等面積結論（1）（2）為中點，則（3）為中點，5、等邊三角形手拉手共線的結論（和均為等邊三角形，三點共線）（1）（2）（3）（4）（5）（6），（7）為等邊三角形（8）平分（9）6、等腰直角三角形共頂點旋轉常見的變式（1）基本模型：和均為等腰直角三角形結論：，（2）變式一：在上面模型的基礎上連接，分別取、的中點、，連接、結論：，（3）變式二：在上面模型的基礎上連接、，則和均為等腰直角三角形，如下圖去掉別的線段結論：，（4）變式三：在上面模型的基礎上分別取、的中點、，分別以、為邊作正方形結論：，7、等邊三角形共頂點旋轉常見的變式（1）基本模型：和均為等腰三角形結論：，與所夾銳角為（2）變式：在上面模型的基礎上連接，分別取、的中點、，連接、結論：，8、等腰三角形共頂點旋轉常見的變式（1）基本模型：和均為等腰三角形，結論：，與的夾角