尼科爾森微觀經(jīng)濟(jì)理論基本原理與擴(kuò)展第11版課后習(xí)題詳解8章博弈論VIP

1、第 8 章博弈論1考慮下面的博弈：圖 8-1博弈矩陣a找到純策略均衡（如果存在）b在均衡中各個參與人只會在前兩個行動之間隨機(jī)選擇，找到此時的混合策略衡。均c計算問題 a、b 中得到的均衡中各個參與人的期望。d畫出這個博弈的擴(kuò)展式。解：a對于參與人 1 來說：1 選擇 A，則參與人 2 會選擇 E；1 選擇 B，則參與人 2 選擇 D；1 選擇C，參與人 2 會選擇 F。同樣地，對于參與人 2 來說：2 選擇 D，參與人 1 選擇A；2 選擇E，1 選擇 B；2 選擇 F，1 選擇C。因此，此博弈的純策略均衡為：（C,F）。b此時博弈矩陣為圖 8-2 博弈矩陣設(shè)參與人選擇 A 的概率為r ，參與

2、人 2 選擇D 的概率為 s ，那么參與人 1 的期望表示為：可E1 = 7rs + 5r(1 - s) + 5(1 - r= 2r(2s - 1) - 2s + 7若 s > 0.5 ，隨著r 的增加參與人 1 的期望增加；若 s < 0.5 ，隨著r 的增加參與人 1 的期望減?。蝗?s = 0.5 ， r 不影響參與人 1 的期望。同理，參與人 2 的期望為E2 = 6rs + 8r(1 - s) + 8(1 - r )= (- 4r + 2)s + 2r + 6若 r > 0.5 ，隨著 s 的增加參與人 1 的期望減?。?若 r < 0.5 ，隨著 s 的增加

3、參與人 1 的期望增加；若 r = 0.5 ， s 不影響參與人 1 的期望。綜上所述，該博弈的混合策略選擇 D，E 的概率也各占 1/2。均衡為參與人 1 選擇A，B 的概率各占 1/2，參與人 2均衡點(diǎn)為（C,F），此時 E1a = E2a = 4 。c在a 中，參與人的純策略在 b 中，= 4rs- 2s + 7 = 4E1b4rs + 2r + 2s + 6 =E2bd參與人 1 先做出選擇的博弈擴(kuò)展式為：圖 8-3戰(zhàn)2在圖 8-4 的般解，假設(shè)該博弈的之，混合策略均衡會與的數(shù)值相關(guān)。為了得到一個一矩陣是：圖 8-4戰(zhàn)博弈矩陣其中， K ³ 1 。說明該博弈的混合策略均衡如何

4、依賴于 K 的值。解：假設(shè)參與人 1 以概率 r 去看芭蕾，2 以概率 s 去看芭蕾，則 A 的期望效用為：E (UA ) = 1- s + r éB 的期望效用為：E (UB ) = K (1- r ) + s éë(K +1)r - K ùû因而可得混合策略均衡為：s = 1 / ( K +1) ， r = K / (3“膽小鬼”博弈描述的是，在一條單行道上，兩個血?dú)夥絼偟哪贻p人面對面地駕車沖向?qū)Ψ?。第一個轉(zhuǎn)向的人會被打上膽小鬼的烙印，而沒有轉(zhuǎn)向的人則會受到其他年輕人的尊重。當(dāng)然，如果雙方都不轉(zhuǎn)向，兩個人都會因?yàn)樽曹嚩仃嚾缦聢D所示。膽小鬼

5、博弈的圖 8-5 膽小鬼博弈矩陣a畫出博弈的擴(kuò)展式。b找出博弈的純策略均衡？c計算混合策略均衡，作為的一部分，畫出混合策略的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)圖形。d假定博弈是序貫進(jìn)行的，其中年輕人 1 首先行動，他扔掉了汽車的方向盤以此來承諾他選擇轉(zhuǎn)向。此時年輕人 2 應(yīng)該選擇怎樣的策略？寫出這個序貫博弈的標(biāo)準(zhǔn)式和擴(kuò)展式。e利用序貫博弈的標(biāo)準(zhǔn)式求出均衡。f求出這個序貫博弈的嚴(yán)格子博弈。運(yùn)用逆向歸納法求解子博弈完美均衡，并且解釋為什么另一個均衡是不合理的。解：a分別用 A，B 代表兩個年輕人。博弈的擴(kuò)展形式可表示為：圖 8-6 博弈樹b該博弈存在兩個均衡：（轉(zhuǎn)向，不轉(zhuǎn)向）、（不轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)向）。c設(shè)年輕人 1 轉(zhuǎn)向的概

6、率為r ，年輕人 2 轉(zhuǎn)向的概率為c ，那么年輕人 1 的期望為：E1 = 2rs + r(1 - s) + 3(1 - r)s = (- 2s + 1)r + 3s若 s > 0.5 ，隨著r 的增加參與人 1 的期望減少； 若 s < 0.5 ，隨著r 的增加參與人 1 的期望增加；若 s = 0.5 ， r 不影響參與人 1 的期望。同理，參與人 2 的期望為：E2 = (- 2r + 1)s + 3r若 r > 0.5 ，隨著 s 的增加參與人 2 的期望減小； 若 r < 0.5 ，隨著 s 的增加參與人 2 的期望增加；若 r = 0.5 ， s 不影響參與

7、人 2 的期望。綜上所述，該博弈的混合策略均衡為年輕人 1 選轉(zhuǎn)向、不轉(zhuǎn)向的概率各占 1/2，年輕人 2 選擇轉(zhuǎn)向、不轉(zhuǎn)向的概率也各占 1/2?；旌喜呗缘淖顑?yōu)反應(yīng)圖像：圖 8-7 混合博弈d該序貫博弈的標(biāo)準(zhǔn)式和擴(kuò)展式可表示為：圖 8-8序貫博弈圖 8-9博弈樹e該序貫博弈中有三個均衡：年輕人 1 轉(zhuǎn)向，年輕人 2 總是不轉(zhuǎn)；年輕人 1 不轉(zhuǎn)，年輕人 2 總是轉(zhuǎn)向；年輕人 1 不轉(zhuǎn)，年輕人 2 總是與年輕人 1 做法相反。f這個序貫博弈的嚴(yán)格子博弈均衡是年輕人的策略總是與年輕人 1 的策略相反。e 中年輕人 1 選擇不轉(zhuǎn)向，年輕人 2 總是選擇轉(zhuǎn)向是不合理的，因?yàn)槟贻p人 2 在覺察到年輕人 1有

8、可能轉(zhuǎn)向時他會選擇不轉(zhuǎn)向。同理，年輕人 1 轉(zhuǎn)向，年輕人 2 總是選擇不轉(zhuǎn)向也是不合理的，因?yàn)槿绻煊X到年輕人 1 可能不轉(zhuǎn)向，他會選擇轉(zhuǎn)向。4兩個鄰居， i = 1,2 ，同時選擇花費(fèi)多少時間li 來修剪草坪。每小時的平均為：+ l j10 - li2同時，機(jī)會成本為每小時 4 元。房主i 的平均隨鄰居 j 1 除草時間的增加而增加，這是由于鄰居環(huán)境的美化能夠增加的價值。a計算均衡。b畫出最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，并且在圖中標(biāo)注出均衡。c用圖形說明，如果鄰居的平均函數(shù)的截距由 10 變?yōu)橐粋€比 10 小的數(shù)值，均衡如何變化。解：a p (l ) = æölç10 - l+

9、÷ × l - 4l 2ji iiiièø利潤最大化的一階條件為：l j+ l jp ¢(l ) = 10 - 2li + 2 - 4 = 6 - 2l= 0 ，即得房主的反應(yīng)函數(shù)：iii212 = 4li - l j同理可得鄰居的反應(yīng)函數(shù)：12 = 4l j - li均衡解li * = l j * = 4 。，交點(diǎn)即表示聯(lián)立兩式子求得b最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)均衡點(diǎn)。圖 8-10 最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)圖函數(shù)的截距由 10 變?yōu)橐粋€比 10 小的數(shù)值 a ，利用 a 中的方法，c如果鄰居的平均同樣可以得到此時房主和鄰居的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：ì2(a - 4)

10、= 4li - l jí( - 4) = 4l - l2 aji()()a - 4 3a - 4 3æ 2ö2(4,4)均衡點(diǎn)為ç,÷，這一點(diǎn)較點(diǎn)更加靠左下，意味著房主及其鄰èø居修剪草坪的時間變短了。5鏡頭闡述了獲獎美麗心靈用戲劇的手法講述了的一生，其中有一個在學(xué)術(shù)上的貢獻(xiàn)：他和他的男在酒吧中閑聊的過程時，想到了均衡的概念。他們注意到酒吧中有幾個女生，其中一個女性是金發(fā)的，其他的都是深褐色頭發(fā)，他們都認(rèn)為金發(fā)的女生要比深褐色頭發(fā)的女生更有。把這一場景視為幾個男學(xué)生之間的博弈。假設(shè) n 個男生同時接近這些女生。如果男生i 單

11、獨(dú)接近金發(fā)女生，那么地和金發(fā)女生，得到 a 的他就能。如果接近金發(fā)女生的男生人數(shù)多于 1 個，那么由于競爭，這些男生都得不到金發(fā)女生的青睞，他們只能得到 0 的。然而，如果男生i 接近深褐色頭發(fā)的女生，他們一定能夠與深褐色頭發(fā)女生，獲得b > 0 的，因?yàn)樯詈稚^發(fā)的女生數(shù)量比男學(xué)生的數(shù)量多。也就是說，i 一定能夠與深褐色頭發(fā)的女生。同時因?yàn)榻鸢l(fā)女生更迷人，所以 a > b 。a證明這個博弈不存在一個對稱的純策略均衡。b求解出對稱的混合策略均衡，即令 p 為一個男生選擇接近金發(fā)女生的概率，求解p 。c證明下面結(jié)論：酒吧中男生越多， b 里的均衡中，至少有一個男生的概率越低。金發(fā)女生

12、解：a如果所有男生都選擇與金發(fā)女生，則會有男生背離這個而選擇與深褐色頭發(fā)女生，因?yàn)楫?dāng)接近金發(fā)女生的男生人數(shù)多于 1 時，即為 0；而與深褐色頭發(fā)女生能獲得正的利而選擇與金發(fā)女生。如果所有男生都選擇與深褐色頭發(fā)女生，也會有男生背離這個，因?yàn)榻鸢l(fā)女生獲得的大于和深褐色頭發(fā)女生的。因此這個博弈不存在一個對稱的純策略均衡。一定能得到b ，而與金發(fā)女生b與深褐色頭發(fā)女生a(1- p)n-1 。對稱的混合策略能得到的期望為相等，即b = a(1- p)n-1均衡是使兩者可解出：。1p* = 1 - æ b ön -1ç a ÷èø11-æ

13、; b ö1n金發(fā)女生的概率為：1 - (1 - p*)n = 1 -ç a ÷c至少有一個男生èø，é 1 ù¶ê1 - æ b ö1- 1 úç a ÷n úêèø 1 -1 n æ b öëû1n= -1-< 0注意到 n > 1時，ç÷，隨著 n 的增加，顯然這個概¶nn - 1è a ø率是下降的。6下面的

14、博弈是 徒困境的一個版本，其中與圖 8-11 中的博弈有些許變化。圖 8-11徒困境a說明這個博弈的略。均衡與普通的 徒困境博弈相似，同時兩個參與人都有占優(yōu)策b假設(shè)這個階段博弈重復(fù)無限次。計算出貼現(xiàn)因子在什么范圍內(nèi)，兩個嫌疑人能夠在各個階段都采取合作策略（）。描述其中使用的觸發(fā)策略。解：a對于嫌疑人 1 來說，如果他選擇告發(fā)，那么嫌疑人 2 會選擇告發(fā)；如果他選擇沉默，2 會選擇告發(fā)。因此，不難看出告發(fā)對嫌疑人 2 來說是占優(yōu)策略選擇。同樣地，對于嫌疑人 2 來說，如果他選擇告發(fā)，嫌疑人 1 也會選擇告發(fā)；如果他選擇沉默，1 會選擇告發(fā)。因此不難看出告發(fā)對嫌疑人 1 來說是占優(yōu)策略選擇。綜上所

15、述，雙方的告發(fā)都是占優(yōu)的。均衡是（告發(fā)，告發(fā)），不論對于嫌疑人 1 還是嫌疑人 2 來說，b當(dāng)博弈重復(fù)無限次時，均衡為（沉默，沉默）。假設(shè)從某一局博弈開始，嫌疑人 1 選擇告發(fā)，嫌疑人 2 選擇沉默，那么從下一局博弈開始，嫌疑人 2 為嫌疑人 1 的告為，選擇一直告發(fā)，則此時博弈的均衡變?yōu)椋ǜ姘l(fā)，告發(fā)）。嫌疑人 1 選擇告發(fā)時，其為：¥10å tE = u +u dt =1= 1 + 3d + 0 + 0 + . = 1 + 3dt嫌疑人 1 選擇沉默時，其為：¥+ åu d t = 1 + d + d 2 + . = 1 E = u1 - d20tt

16、=1當(dāng) E2 > E1 時，兩個嫌疑人會一直采用合作（沉默）策略，此時有> 1 + 3d ， d > 211 - d37回到練習(xí)題 8.5 中兩個鄰居之間的博弈。參與人i 修剪草坪的每小時平均還是10 - l + l j 、參與人 2 的機(jī)會成本保持 4 不變；而參與人 1 的機(jī)會成本會以相同的概率變?yōu)閕23 或 5，參與人 1 的成本是他的私人信息。a求解-均衡。b用最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)圖形表示-均衡。c哪種類型的參與人 1 傾向于參與人 2 傳遞真實(shí)的信號？哪種類型的參與人 1 傾向于的私人信息？隱藏解：a當(dāng)參與人 1 的機(jī)會成本為 3 時，p (l ) = æ10 -

17、 löl+× l - 3lç2 ÷21 1111èø利潤最大化的一階條件：+ l2+ l2p ¢(l ) = 10 - 2l- 3 = 7 - 2l= 01 11122可解出參與人 1 的反應(yīng)函數(shù)：l= 3.5 + l2L14同樣地分析可得，當(dāng)參與人 1 的機(jī)會成本為 5 時，參與人 1 的反應(yīng)函數(shù)為：l= 2.5 + l2H 14參與人 2 的利潤函數(shù)：p (l ) = æ10 - l +l - 4lElöç1÷ 22 222è2ø由此解出參與人 2 的反應(yīng)函數(shù)為

18、l = 3 +，其中 El = 1 l+ 1 lEl121L1H 1422ìlL1 = 4.5ï聯(lián)立相關(guān)方程可得到均衡解ílH 1 = 3.5ïl= 4î 2.圖 8-12均衡b如圖 8-12 所示，BRHC (l2 )表示參與人 1 機(jī)會成本為 5 時的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，BRLC (l2 )表示參與人 1 機(jī)會成本為 3 時的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)， BRLC (l1 )表示參與人 2 的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，HC 點(diǎn)表示參與人 1 機(jī)會成本為 5 時的最優(yōu)均衡點(diǎn)，LC 點(diǎn)表示機(jī)會成本為 3 時的最優(yōu)納什均衡點(diǎn)。c當(dāng)參與人 1 機(jī)會成本為 3 時，在a 中均衡下的

19、為：p= æ10 - 4.5 + 4 ö ´ 4.5 - 3 ´ç2 ÷1Lèø然而在全信息下均衡求得為(l ,l ) = æ 68 , 62 ö ，帶入利潤函數(shù)可得：ç 15 15 ÷1 2èøæ 0 - 68 + 31 ö ´ 68p ¢ç1515 ÷151Lèø參與人 2 傳遞真實(shí)的信號。因此，參與人 1 傾向均衡下的為p1H = 12.25 ，全信類似的，當(dāng)參與人 1

20、機(jī)會成本為 5 時，æ 52 58 ö息下的均衡為ç÷ ，帶入利潤函數(shù)后可得：，è 15 15 øæ 0 - 52 + 29 ö ´ 52p ¢ç1515 ÷151Lèø的私人信息。因此參與人 1 傾向于隱藏8在德克薩斯中，參與人 2 首先從標(biāo)準(zhǔn)牌堆中抽出一張紙牌，并且將紙牌背對自己，讓參與人 1 看到紙牌的大小，而不看。參與人 1 首先行動，決定是保留還是蓋牌。如果參與人 1 蓋牌，他必須向參與人 2 支付 50；如果參與人 1 選擇保留，則參與人 2開

21、始動。參與人 2 可以選擇蓋牌和開牌。如果參與人 2 蓋牌，她必須向參與人 1 支付 50 美元；而如果參與人 2 選擇開牌，則雙方查看紙牌的大小。如果是小牌（2-8），參與人 2 就輸 100與人 2。給參與人 1。而如果是大牌（9，10，J，Q，K，A)，參與人 1 就輸 100給參a畫出博弈的擴(kuò)展式。b求解雜合均衡。c計算各參與人的期望。解：a博弈的擴(kuò)展式如圖 8-13。其中 Pr(H )和 Pr(L)分別表示在觀察到參與人 1 行動前，參與人 2 對牌大小的信念。圖 8-13 混合策略均衡b在一個混合均衡中，至少有一個參與者的選擇策略是混合策略。如果參與者 1 看到是小牌，他的純策略均

22、衡是選擇保留；那么當(dāng)他看到的是大牌時，他的選擇策略一定是隨機(jī)的。這是因?yàn)槿绻麉⑴c者 1 的純策略選擇是要么保留要么蓋牌，參與人 2 的最有反應(yīng)同樣也是一個純策略，此時的均衡不可能是混合均衡。設(shè)參與人 1 看到大牌后選擇保留的概率是a ，則看到大牌后蓋牌的概率是1 - a ；同樣設(shè) 2 看到大牌后保留的概率為 b 。b 應(yīng)保證參與人 2 在保留和蓋牌之間的選擇是無差異的，即參與人 2 看到大牌后選擇保留的應(yīng)當(dāng)與看到大牌后選擇蓋牌的相等，即：- 50 = (-100)b + 50(1 - b ) ，b = 2 / 3 。要保證參與人 2 的策略選擇是隨機(jī)的，則由其在保留和蓋牌之間的選擇是無差異的，

23、因= 100P(H | 保留)+ (-100)1 - P(H | 保留) = -50 。其中 此有參與人 2 的保留 P(H | 保留) 是一種后驗(yàn)概率， 即參與人 1 在大牌情況下保留的概率。P(H | 保留) = 1/ 4 。根據(jù)后驗(yàn)概率 P(H | 保留)滿足法則，有P(保留| H )P(H )P(H | 保留) =P 保留| H )P(H ) + P(保留| L)P(L)(6 a= 13= 6a= 16 a +76a + 741313a* = 7 /18總而言之，在混合均衡中，參與人 1 看到小牌總會選擇保留，看到大牌后選擇保留的概率是 7/18,選擇蓋牌的概率是 11/18。參與人

24、2 在保留和蓋牌之間的選擇是隨機(jī)的，其概率分別是 2/3 和 1/3。參與人 2 的后驗(yàn)信念是如果參與人 1 選擇蓋牌，則參與人 1 的牌面是大牌；若參與人 1 選擇保留，則參與人 1 有 1/4 的概率是大牌，3/4 的概率是小牌。c看到小牌的期望= 100´ 2 + 50´ 1 = 83.3 ，看到大牌的期望= -50（因?yàn)?3在均衡狀態(tài)下參與人在看到大牌后保留和蓋牌的期望效用一樣，都是- 50）。在給定看到76大牌和小牌的先驗(yàn)概率，參與人 1 的期望= 83.3 ´- 50´= 21.8 ，參與人 2 的期1313望= -50（因?yàn)樵诰鉅顟B(tài)下參與

25、人 2 在保留和蓋牌之間的效用一樣。）由此，此博弈對參與人 1 有利。9之前討論過的最后通牒博弈。首先行動的參與人提出一個分配 1的方案。令 r 為另一個參與人得到的份額（即先行動的參與人保留1 - r ），其中0 £ r £ 1/ 2 。然后第二個參與人行動，選擇接受或者拒絕這個提案。如果回應(yīng)人接受提案，兩個參與人會按照提案獲得相應(yīng)的；如果回應(yīng)人拒絕，兩個參與人就什么都得不到。如果回應(yīng)人接受或者拒絕一個提案的a. 假設(shè)參與人只在意金錢弈完美均衡。b. 比較最后通牒博弈和是無差異的，回應(yīng)人就會選擇接受。請證明在前文中提到的結(jié)果是最后通牒博弈的博者博弈的結(jié)果（在之前內(nèi)容中也提

26、到過），即提案人在決策時并考慮回應(yīng)人的行動（實(shí)際上這個博弈并不是策略博弈）。c現(xiàn)在假定參與人會同時考慮公平和金錢。的效用函數(shù)為；Fehr 和 Schmidt 的文獻(xiàn)，假定參與人U (1 - a | x1 - x2 |其中， x1 為參與人 1 的， x2 為參與人 2 的（對于參與人 2，對稱的效用函數(shù)同樣成立）。函數(shù)中的第一項(xiàng)反映了參與人對金錢的渴望，第二項(xiàng)反映了對公平的考慮， 即兩個參與人的不能相差太多。參數(shù) a 衡量了參與人對公平的偏好。假設(shè) a < 1/ 2 。1. 求解在最后通牒博弈中回應(yīng)人的均衡策略。2. 在考慮到回應(yīng)人的行動后，求解提案人的均衡策略 r * 。提示： r *

27、 會是一個角點(diǎn)解， 并且與a 的取值有關(guān)。3在公平偏好下，比較最后通牒博弈和結(jié)果匹配的結(jié)果，特別是最后通牒博弈比 弈是否存在最公平的分配方式？者博弈結(jié)果的區(qū)別。并且找到與前文中實(shí)驗(yàn)者博弈分配方式更公平的結(jié)果。最后通牒博解：a參與人 1 的為p1 = 1 - r ，參與人 2 的為p 2 = max r,0，當(dāng)r = e （其中e 為任意小的）時，參與人 2 選擇接受提案，此時，參與人 1的選擇為：max p1 = 1 - r ，因此參與人 1 選擇r = e ，所以存在唯一的子博弈完美均衡，即 r = e 。r ³0者博弈中，博弈的均衡提案為r = 0 ，此時與最后通牒博弈相比，參與

28、人 2b在的境況變差而參與人 1 的境況變好。c1回應(yīng)人的選擇問題為：max U2 = r2 - a | r2 - (1 - r1 ) |r2 ³0s.t. r2 £ r1r2 = r1 。2提案人的選擇問題為：max U2 = 1 - r1 - a | 1 - r2 - r1 |r2 ³ 0s.t. r2 = r1當(dāng) a < 1/ 2 時， r1 = r2 = 0 ； a ³ 1/ 2 時， r1 = r2 = 1/ 2 ，又因?yàn)榧僭O(shè)了 a < 1/ 2 ，所以 r* = 0 。3在公平偏好下，參與人 1 不僅僅考慮能獲得的金錢，同時要考慮

29、參與人 2 所獲得的金錢對的效用的影響，因此參與人 1 會適當(dāng)?shù)目紤]提案的公平。而在最后通牒博弈和者博弈中，參與人 1 的效用只與所能獲得的金錢有關(guān)，而同參與人 2 所能獲得的金錢無關(guān)，因此參與人 1 只會考慮錢。所能獲得的金錢，而考慮參與人 2 所能獲得的金由前文實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知最后傾向于 50 對 50，因此可知參與人是公平偏好的，并且a ³ 1/ 2 ，當(dāng)r1 = r2 = 1/ 2 ，U1 = U2 = 1/ 2 ，此時分配最公平。10在論家庭中，獎得主提出了著名的壞孩子定理。壞孩子定理是由一個序貫博弈得出，博弈是在一個潛在的壞孩子（參與人 1）和孩子的家長（參與¢收

30、入 Y (r)Y (r) > 0 和父母收入人 2）中進(jìn)行。孩子首先行動，選擇能夠影響他11¢Y (r)Y (r) > 0 的行動 r 。然后，父母行動，決定留給孩子的遺產(chǎn) 。孩子在乎L的效22用U1 (Y1 + L)，不過父母則是最大化U2 (Y2 - L)+ aU1 其中a > 0 反映父母的利他程度。請證明，在子博弈完美均衡中，孩子會選擇合適的 r ，使得Y1 + Y2 取得最大值，即使他沒有利他傾向。提示：運(yùn)用逆向歸納法，首先求解父母的最優(yōu)化問題，由一階條件可以得到均 衡的 L * ;盡管不能得出 L * 的精確值，但是 L * 的微分關(guān)于r 的函數(shù)可以運(yùn)用

31、隱函數(shù)法則得出（在孩子的第一階段最優(yōu)化問題中求解）。解：第二階段中，父母關(guān)于 L 的效用最大化問題為：max U2 (Y2 (r)- L)+ aU1(Y1(r) + L)對 L 求導(dǎo)可得：- U2¢ (Y2 (r)- L)+ aU1¢(Y1(r) + L) = 0U2¢ Y2¢(r ) - aU1¢¢1Y1¢ (r )dL*整理可得=- U ¢ + aU ¢dr21在第一階段，孩子的效用最大化問題為：max U ()Y (r ) -L (r )*1 1一階條件為：¢dL*() +U1 Y1 rd

32、r= æU1¢öéY ¢(r)()(-)(U) ¢ + aU ¢¢ + U Y ¢¢¢rùúûç÷êë- aU Y ¢¢r¢U + aU¢¢¢¢1212 211-è21 øæU1U2¢¢¢öé¢Y ()()ùû¢= ç&

33、#247;+ Y rrè - U2¢¢+ aU1¢¢øë12¢由上述等式可得Y (r)+Y (r) = 0 ，所以，在子博弈完美均衡中，孩子們會選擇合適的¢12r ，使得Y1 + Y2 取得最大值，即使他沒有利他傾向。11假設(shè) 徒困境階段博弈重復(fù)進(jìn)行無限多次。a參與人能否利用以牙還牙策略得到合作的結(jié)果，即在出現(xiàn)背離時只轉(zhuǎn)向階段博弈納什均衡一個回合，在這個回合后就回到合作策略？兩個回合的懲罰夠不夠？b假設(shè)參與人會使用下面的策略，即在出現(xiàn)背離時，會轉(zhuǎn)向階段博弈均衡 10 個回合，然后才回到合作策略。計算能夠?qū)?/p>

34、現(xiàn)合作并且最大化雙方總?cè)≈?。的臨界貼現(xiàn)因子的解：a沿著均衡路徑，每個參與人在每個時期都選擇，則每個人各個時期可21 - d獲得 2 的，其總的貼現(xiàn)值為。如果在出現(xiàn)背離時采取以牙還牙的策略，則在21- d一個回合后回到合作策略的貼現(xiàn)值為3 + d + d 2 ×。因?yàn)樵诒畴x的第一階段，為 3，第二階段為不合作的懲罰，為 2。為 1，第三階段回到合作的策略上，為 2，以后各期均要使參與者在一個回合后回到合作，則要223 + d + d 2 ×>1 - d1 - d化簡有d 2 > -1 ，0 £ d < 1 。如果采取兩個回合的懲罰，則在兩個回合后回到合作策略的貼現(xiàn)值為：21 - d3 + d + d 2 + d 3 ×要使參與者在兩個回合后回到合作，則要223 + d + d 2 + d 3 ×>1- d1- d0 £ d < 0.62 。b如果采取 10