專題4：圓與相似(含答案)

1、專題：圓與相似(1)1如圖，AB是©0的直徑，弦CD丄AB于H點(diǎn)G在OO Jl9過點(diǎn)G作直線EF,交CD延長(zhǎng) 線于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.連接AG交CD于K.且KE = GE(1) 判斷直線EF與C)O的位置關(guān)系，并說明理由;U Q(2) 若 ACEF, = -, FB = 1,求Oo 的半徑AC 52.如圖，PB為C)O的切線，B為切點(diǎn)，直線Po交。于點(diǎn)E, F,過點(diǎn)B作Po的垂線BA,垂 足為點(diǎn)D,交00于點(diǎn)A,延長(zhǎng)Ao與OO交于點(diǎn)C,連接BC, AF.(1) 求證：直線PA為G)O的切線；(2) 試探究線段EF, 0D, OP之間的等量關(guān)系，并加以證明：(3) 若BC =

2、6, t anF=l,求CoSZACB的值和線段PE的長(zhǎng).23.如圖所示，AB是00的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過C作CD丄AB于點(diǎn)D, CD交AE于點(diǎn)F,過C作CGAE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.連 接OC交AE于點(diǎn)H。(1) 求證：GCdOC.(2) 求證：AF=CF.(3) 若ZEAB=30o , CF=2,求 GA 的長(zhǎng).4.如圖.在AABC, AB=AC,以AB為直徑的C)O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng) 5.如圖.QO的弦AB二8,直徑CD丄AB于M, OM : MD =3 : 2, E是劣弧CB上一點(diǎn)，連結(jié) CE并延長(zhǎng)交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.線上，且ZCBF= i

3、 ZCAB.2(1)求證：直線BF是C)O的切線:(2)若 AB=5,SinZCBF=55求BC和BF的長(zhǎng).求：(1) 00的半徑：(2)求CE CF的值.6.如圖，已知在AABP中.C是BP邊上一點(diǎn)，ZPAC=ZPBA, 00是ZkABC的外接圓，AD是 00的直徑，且交BP于點(diǎn)E.(1) 求證：PA是G)O的切線；(2) 過點(diǎn)C作CF丄AD,垂足為點(diǎn)F.延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,若AG7AB=12,求AC的長(zhǎng)；(3) 在滿足(2)的條件下，若AF: FD=1: 2, GF=I,求00的半徑及SinZACE的值.7.如圖，在ZkABC中，ZC=90o , AC=3, BC二為BC邊上一點(diǎn)，以0

4、為圜心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,連 接DE.(1) 當(dāng)BD=3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；(2) 過點(diǎn)E作半圓0的切線，當(dāng)切線與AC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F.求 證：AFAE是等腰三角形ADC D O B8.如圖，在ZABC中，ZC=90o , ZABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作 BE的垂線交AB于點(diǎn)F, 00是ABEF的外接圓.(1) 求證：AC是00的切線；(2) 過點(diǎn)E作EH丄AB,垂足為H,求證：CD二HF;(3) 若CD=1, EH=3,求BF及AF長(zhǎng).9.如圖.BD是C)O的直徑，OA丄OB, M是劣弧 上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作OO的切線MP交OA的延長(zhǎng)線于P弦DE丄A

5、B分別交GlO于E,交P點(diǎn)，MD與OA交于N點(diǎn).(1) 求證：PM=PN;(2) 若BD=4, PA= A0,過點(diǎn)B作BCMP交Oo于C點(diǎn)，求BC的長(zhǎng).10.如圖是一個(gè)量角器和一個(gè)含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖.其中點(diǎn)B在半國0 的直徑DE的延長(zhǎng)線上，AB切半圓0于點(diǎn)F,且BC=OE.(1)求證：DE/7CF;(2) 當(dāng)0E=2時(shí)，若以0, B, F為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似， 求OB的長(zhǎng)；(3) 若0E=2,移動(dòng)三角板ABC且使AB邊始終與半國0相切，直 角頂點(diǎn)B在直徑DE的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，求出點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離.11.如圖，AB. AC分別是00的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧A

6、C上一點(diǎn),AB于H,交AC于F. P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF.(1) 求證：PC是OO的切線：(2) 點(diǎn)D在劣弧AC什么位置吋，才能使AD2=DE7DF,為什么(3) 在(2)的條件下，若0H=1, AH二2,求弦AC的長(zhǎng)12.如圖，在AABC中，ZABC=90° ,以AB的中點(diǎn)0為圓心.OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D, E 是BC的中點(diǎn)，連接DE, OE.(1) 判斷DE與OO的位置關(guān)系，并說明理由:(2) 求證：BC=CD720E;(3) 若 cosZBAD二，BE=6,求 OE 的長(zhǎng).專題：圓與相似答案1. (1)相切，理由見解析；(2) 4.(1)如圖，連接OG.VOA=O

7、G, ZOGA= ZOAG.TCD丄AB, ZAKH+Z0AG=90o VKE = GE, ZKGE=ZGKE= ZAKH. ZKGE+ ZOGA= ZAKH÷ ZOAG=90° AZOGE=90° ,即 OG 丄 EF.51VG在圓0上，EF與圓0相切.(2) VAC/7EF, AZF=ZCAH,RtZkAHCs RtFGO. = AC OFAH 3T 在 RtOAH 中，-一=-,設(shè) AH=3t,則 ACAC 5= 5t, CH=4t.CH 4. OG 4 = . =.AC 5 OF 5VFB=I -2SL = -,解得:0G=4.0G + 15圓0的半徑為4

8、 考點(diǎn)：1等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì).3102. (1)證明見解析；(2) EF2=40D70P,證明見解析；(3)二，一53【解析】試題解析：(1)如圖，連接OB,TPB是00的切線， ZPBO=90°VOA=OB, BA丄PO 于 D, AD=BD, ZPOA=ZPOB.又VPO=PO, PA0PB0 (SAS) ZPAO二ZPBo=90° 直線 PA 為00 的切線.(2) EF2=4OD7OP,證明如下:V ZPAO=ZPDA=90o , ZOAD+ZAOD二90。, ZOPA+ZAOP二90° ,即 OA2=OD?OPO

9、A又 VEF=20A, EF2=40D?OP(3) VOA=OC, AD=BDf Be二6, OD= - BC=32(三角形中位線定理)設(shè) AD=x,) 1VtanZF=-,FD=2x, OA=OF=2x - 3.FD 2在RtAOD中，由勾股定理，得(2x - 3)2=x2+32,解得，xf4, x2=0 (不合題意，舍去)AD=4,0A=2x - 3=5.TAC 是OO 直徑，ZABC二90° RC' 63又 VAC=20A=10, BC=6, AcosZACB=一AC 10 5V0A2=0D70P, 3 (PE+5) =25.-E=T-3.試題解C析：(1 )證明：如圖

10、，連結(jié)oc,VC是劣倂弧AE的中點(diǎn)， OC 丄 T3 AE,V CG /x丿AE, CG 丄OC,CG是GlO的切線;(2) 證明：連結(jié)AC、BC,TAB是0的直徑, ZACB=90° ,Z2÷ZBCD=90o ,而CD丄AB,ZB÷ZBCD=90o ,ZB=Z2,VAC 弧=CE 弧, Z1 = ZB,Z1 = Z2,AF=CF:(3) 解:在 RtADF 中，ZDAF=30o , FA=FC=2, DF=I AF=I,2AD=3DF=3 ,VAFZ/CG,DA: AG=DF: CFf 即 : AG=I: 2,AG=23 4. (1)證明：連接 AE, VAB

11、是C)O 的直徑. ZAEB=90o , Z1 + Z2=90o TAB=AC Z1 = 1 ZCAB. V ZCBF=I ZCABt Zl = Z22C(2)過點(diǎn)C作CG丄ABCBF, Z CBF+Z 2=90° ,即 ZABF=90° , 是00的直徑，直線BF是00的切線.G. VSinZCBF=55Zl = ZCBF,55T 在 RtAEB 中，ZAEB=90o , AB=5,BE=AB?SinZ1 二 J5 VAB=AC, ZAEB二90° , BC=2BE=25 ,在 RtABE 中，由勾股定理得AEdAB-BEJ2屈25焉琴,c°sZ2晉半

12、在RtMBG中,可求得 GC=4 , GB=2 , AG=3 , T GC /7 BF , AGC s ABFCL GC AB 20BF= 一 AG 3.GC AG BFeAB考點(diǎn)：1 切線的判定與性質(zhì)：2.勾股定理；3.圓周角定理：4.相似三角形的判定與性質(zhì):5. 試題解析：(1)如圖，連接A0,VOM : MD=3:2, 可設(shè) 0M=3 k, MD=2 k (k >0),則 OA=OD=5 k. 又T弦AB=8,直徑CD丄AB于M, AM=4.在Rt0AM中，由勾股定理可得：k=1圓0的半徑為5(2)如圖，連接AE,由垂徑定理可知：?AEC=?CAF,A Q?又 V?ACF=?ACF

13、t ACEs?FCA.空_ =上，即 AC2=CE?CFCF AC在RtACM中，由勾股定理可得：ACJAM'+CMJ16+64=80 , CE7CF=80.6.解：(1)證明：連接CD,TAD 是0 的直徑, ZACD=90°。 ZCAD+ZADC=90° 。又/ Z PAC二 ZPBAf Z ADC= Z PBA, ZPAC=ZADCo ZCAD+ZPAC=90o O PAdOAo又TAD是00的直(2)由(1)知，又TCF丄AD, CF 51V ZPAC=ZPBA,5C V ZCAG=ZBACt 2 = AG ,即AB AC徑，PA是00的切線。PA 丄 AD

14、,PA。 ZGCA=ZPACo. ZGCA=ZPBAOCAGBACoAC2=AG?ABoAC=12o AC=23 oY AG7AB=12 ,設(shè)AF=x,VAF: FD=1: 2, FD=2×o AD=AF+FD=3x<> 在 RtACD 中，TCF丄AD, AC2=AF?AD,即 3x2=12o 解得：x=2oAF=2, AD=6。,.OO 半徑為 3。在 RtAFG 中，VAF=2, GF=I,根據(jù)勾股定理得：AG = JaF + GF' = J22 + , J。由(2)AG7AB=12, AB = -sinZADB=5連接BD,TAD 是00 的直徑, ZAB

15、D=90°。AR 在 RtABD 中，VSinZADB=-t AD=6,ADV ZACE=ZACB= ZADB,ASinZACE=7.(1)解:VZC=90o , AC=3, BC二4,AB=5,VDB為直徑， Z DEB= Z 090° ,(2)證法一：連接OE, VEF為半圓0的切線, Z DEO+Z DEF二90° , AZAEF=ZDEOt VDBEABCf ZA=ZEDB, 又 VZEDO=ZDEOf ZAEF=ZA,FAE是等腰三角形; 證法二：連接OEVEF為切線，ZAEF+Z0EB=90o ,V ZC=90o ,ZA+ZB=90a ,VOE=OBf

16、 ZOEB=ZB, ZAEF=ZA,FAE是等腰三角形.8.證明：(1)如圖，連接OE.VBE±EF, ZBEF=90° , BF是圖0的直徑TBE 平分ZABC, ZCBE=ZOBE, VOB=OEt ZOBE=ZOEBt ZOEB=ZCBE,OEBC, Z AEO 二 Z AC是0的切線;(2)如圖，連結(jié)DE.VZCBE=ZOBEt EC丄BC 于 C, EH丄AB 于 H,EC=EH.VZCDE+ZBDE=180o , ZHFE+ZBDEh80° , ZCDE=ZHFE.在ZkCDE 與 ZkHFE 中，CDEHFE (AAS),CD=HF.(3) 由(2)

17、得 CD=HF, 51 CD=I,HF=1,在 RtHFE 中，EF=yV776,TEF 丄 BE, ZBEF=90° , Z EHF=ZBEF二90° ,V ZEFH=ZBFEtEHFBEF,BF=10,0E=BF=5, 0H=5-1=4,RtOHE 中，CosZEOA=,Ot：.R tEOA 中,COS乙 EoA專,25AF=r5=9. (1)證明：連接OM, TMP是圓的切線.0M丄PM,Z0MD+ZDMP=90o ,TOA 丄 OB, Z OND+Z ODM二90° ,T Z MNP二 ZOND, Z ODM= Z OMD, ZDMP=ZMNPtPM=PN

18、.(2)解：設(shè)BC交OM于E,VBD=4, OA=OB=BD=2,PA=3r P0=5:VBC/7MP, OM丄MP,0M 丄 BC, BE=BC:VZBOM+M0P=90o , 在直角三角形OMP中，ZMP0+ZM0P=90° , ZB0M=ZMP0:V ZBEO=ZOMP=90° , ZkOMPs2BEO.解得：BE=, BC=.10. (1)證明：連接OF,TAB切半岡0于點(diǎn)F, OF是半徑, ZOFB=90° ,V ZABC=90° , ZOFB=ZABc.OFBC,VBC=OEf OE=OF,BC=OF, 四邊形OBCF是平行四邊形,DECF:

19、(2)解：若厶 9OT AbOBFSAACB,AOB=V ZA=30o , ZABC=90o . BC=OE=2,AC=4, AB=2J51 VOF=OE=2,4X2°B= 23 = :若厶 BoFSAACB,.OBAC 9affctTZA二30° , Z4X2.0B= A 二4；綜上，OB=或4：(3)解：畫出移 由圖知：點(diǎn)B移動(dòng)C動(dòng)過程中的兩個(gè)極值圖. 的最大距離是線段BE的長(zhǎng)，ABO二30° , B0=4, BE=2,點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長(zhǎng)為211. (1)證明：連接0C.VPC=PF, OA=OC, ZPCA= ZPFC, ZOCA= ZOAC,VZPFC=ZAFHf DE 丄 A