信號以及答案

1、信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB南京郵電大學(xué)南京郵電大學(xué)信號分析與信息處理教學(xué)中心信號分析與信息處理教學(xué)中心2007.1SIGNALS AND SYSTEMS信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)第二章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB第二章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的分析方法概述2.1 沖激函數(shù)及其性質(zhì)2.2 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.3 信號的時域分解和卷積積分2.4 卷積的圖解和卷積積分限的確定2.5 卷積積分的性質(zhì)本章要點作業(yè)返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的分析方法概述連續(xù)信號與系

2、統(tǒng)的時域分析：信號和系統(tǒng)的整個分析過程都在連續(xù)時間域內(nèi)進(jìn)行信號和系統(tǒng)的整個分析過程都在連續(xù)時間域內(nèi)進(jìn)行時域分析法（直接法）： 計算零輸入響應(yīng)（求解齊次微分方程）計算零輸入響應(yīng)（求解齊次微分方程） 計算零狀態(tài)響應(yīng)計算零狀態(tài)響應(yīng)直接法：直接法：求解非齊次微分方程求解非齊次微分方程間接法：間接法：首先把任意激勵信號分解為連續(xù)出現(xiàn)的沖激信首先把任意激勵信號分解為連續(xù)出現(xiàn)的沖激信號之和；再求解單位沖激信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)；然后號之和；再求解單位沖激信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)；然后利用系統(tǒng)的線性和時不變性把每一個沖激信號引起的零狀利用系統(tǒng)的線性和時不變性把每一個沖激信號引起的零狀態(tài)響應(yīng)疊加起來。態(tài)響應(yīng)疊加起

3、來。卷積分析法卷積分析法變換域分析法： 傅里葉變換分析法、拉普拉斯變換分析法傅里葉變換分析法、拉普拉斯變換分析法返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.1 沖激函數(shù)及其性質(zhì)2.1.1 沖激函數(shù)的三種常用定義 1.1.工程定義：工程定義：000)(ttt和和1)( dtt)(lim)(0tftcc2.2.單位沖激信號可以看成是某些普通函數(shù)的極限單位沖激信號可以看成是某些普通函數(shù)的極限: :3.3.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義：0000)0()()0()()()()(dttdtttdttt 作為一個廣義函數(shù)作為一個廣義函數(shù) ，單位沖激函數(shù)，單位沖激函數(shù) 作用于任意在作用于任

4、意在)(t)(t)(t0t 時連續(xù)的普通函數(shù)時連續(xù)的普通函數(shù) 的效果是對的效果是對 （測試函數(shù)或（測試函數(shù)或賦值函數(shù)）賦于下面的值：賦值函數(shù)）賦于下面的值：廣義函數(shù)的等價性或沖激函數(shù)的篩選性廣義函數(shù)的等價性或沖激函數(shù)的篩選性返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.1.2 沖激函數(shù)的性質(zhì)1.1.篩選特性：篩選特性：)()()(00tdtttt證明：證明：)()()()()(0000tdxxtxdttttttx例如：例如：0sin)(sin0ttdttt22sin)41(sin41ttdttt0)(21dtteat在積分區(qū)間（在積分區(qū)間（1，2）內(nèi)，被積函數(shù)為）內(nèi)，被積函數(shù)為

5、0。216sin)6(sin0dttt注意：注意：返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.2.加權(quán)特性：加權(quán)特性：)()()()(000tttftttf證明：證明：)()()()()()()()(0000ttfdtttfttdtttttf )()()()()()()()(000000ttfdtttfttdtttttf 兩個廣義函數(shù)對測試函數(shù)兩個廣義函數(shù)對測試函數(shù) 有相同的賦值效果，有相同的賦值效果，故它們二者等價。故它們二者等價。 )(t特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) ，有，有00t)()0()()(tfttf00 )(sin)(sinttttt)()(sin)(sin412241

6、4141 tttttt例如：例如：返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.3.單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù): :)0()0()()()()()()()()()()(0tdtdtttdtdttdt證明：證明：)()(tdttd故此結(jié)論解決了不連續(xù)函數(shù)在間斷點處的求導(dǎo)問題此結(jié)論解決了不連續(xù)函數(shù)在間斷點處的求導(dǎo)問題ttttd)(0001)()(另外，返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-1-1 2-1-1 已知已知 的波形如圖所示，試求的波形如圖所示，試求 ，并畫出，并畫出其波形圖。其波形圖。)2()()(tttt

7、f解：)2(2)2()()2()()2()()( tttttttttf波形如下圖波形如下圖:)(tf0t220t(2)1)( tf2)(tf)( tf信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.4.單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)單位沖激函數(shù)為偶函數(shù): :)()(tt)0()0()()()( )()()()( dddtttt證明：返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB5.5.尺度變換尺度變換: :0,)(1)()(1)(000ataattatattaat為常數(shù)且和)0(1)()(1)()(,0,adxaxxadttataxat時當(dāng)證明：令)0(1)0(1)()(1)()(

8、)()()(,0aadxxaxaaxdaxxdttata時當(dāng))(1)(taat故)(1):00attatat（同理可證返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.1.3 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì) 單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)單位沖激函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 稱為單位二次沖激函數(shù)稱為單位二次沖激函數(shù)或沖激偶，圖形符號如下：或沖激偶，圖形符號如下：)( t0t)( t可以證明：可以證明：)( )()( )0( )()( 00tdttttdttt)()( )( )()( )()()0( )( )0()( )(00000tttftttftttftftfttf1.1.篩選特性：篩選特性：2.2.加權(quán)特性

9、：加權(quán)特性：返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB22cossin)41( cossin)( 410ttttdttttdtt例如：)41(22)41( 22)41(cos)41( sin)41( sin4141tttttttttt)()(cos)( sin)( sin00ttttttttt此外，還可以定義此外，還可以定義 的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù))(t)()(tn)0()1()()()1()()()()()()()(nnnnndtttdttt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.2 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.2.1 沖激響應(yīng)的定義 零狀態(tài)系統(tǒng)在單位沖激信號作用下的

10、響應(yīng)。零狀態(tài)系統(tǒng)在單位沖激信號作用下的響應(yīng)。1.1.對于簡單電路，直接列微分方程求解：對于簡單電路，直接列微分方程求解：)(t)(th0)0(nqS2.2.2 沖激響應(yīng)的求解 )()()(tvdttdiLtRisLL)()()()(, 0)0(thtittviLsL時，則當(dāng))()()(tdttdiLtRiLL即：+-)(tvsRL)(tiL返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB對上式從對上式從 到到 取積分，得取積分，得 0t 0t001)0()0()(LLLLiLidttiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00，且是有限的，故（電感電流在沖激信號作用下

11、，（電感電流在沖激信號作用下，從零躍變到從零躍變到 )L1零輸入響應(yīng)，此時電路是一個特殊的時，當(dāng), 0)(0tt由三要素公式得由三要素公式得)()(1)(thteLtitLRL與與RL電路相對電路相對偶，可得偶，可得RC電電路的沖激響應(yīng)：路的沖激響應(yīng)：)(tRC+_)(tvc)()(1)()()()(1thteCtvtdttdvCRtvtRCCCC信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.2.沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)沖激響應(yīng)是階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)設(shè)線性時不變系統(tǒng)的激勵為設(shè)線性時不變系統(tǒng)的激勵為 ，其零狀態(tài)響應(yīng)為，其零狀態(tài)響應(yīng)為 ，)(tx)(ty)( )( )()(tytxtytx則

12、即)( )()()( )()()()(tythttxtytsttx則若)()()( )(tdtdststh即RiiiLLL1)(, 0)0()0(RLteRtst),()1 (1)()(1)()1 (1)()(teLteRdttdsthtt+-)(tvsRL)(tiL例如：例如：0)()1 (1),()0()()(teRtfttft故由于)(1)(teLthLRt返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：試求試求如圖所示電路的沖激響應(yīng)，已知如圖所示電路的沖激響應(yīng)，已知 。)(tv+-)(tvs1R2RC解：先用三要素法求階躍響應(yīng)解：先用三要素法求階躍響應(yīng)0)0(),()

13、(Cvttvs此時sRCVvVvvvCC21)(21)0(0)0()0()(41)(21)( )()()211 ()()(22tettsthtetvtsttFCRR1,121)(t注意：注意：階躍響應(yīng)中的階躍響應(yīng)中的后綴后綴 不能不寫，不能不寫，否則求導(dǎo)時會漏掉一否則求導(dǎo)時會漏掉一項。項。信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.3.從微分方程求解從微分方程求解設(shè)描述設(shè)描述n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為)()()( )()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn即則若)()(),()(0thtyttx)()()( )()(0001)1(01)(0t

14、thathathathannnn微分方程就可以了。個初始條件，求解齊次只要找出該系統(tǒng)的應(yīng)，是一個特殊的零輸入響即沖激響應(yīng)時，當(dāng)nthtt)(, 0)(00處連續(xù)）。冪函數(shù)項（在的正項中含有處不連續(xù)），在其余各含有階躍函數(shù)項（在中中含有沖激函數(shù)項，在中。即包含在激函數(shù)項，并且只能，等式的左邊應(yīng)含有沖其次：為了使方程平衡，所以首先：因為是因果系統(tǒng)00)()(:)(0)0()0( )0() 1(0)(0)(0) 1(000tttthththhhhnnnn返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0(),0()0()2(0)2(0) 1

15、(0) 1(0hhhhhhhhnnnn即：對微分方程兩邊取積分對微分方程兩邊取積分1)()()()(0000000000) 1(01)(0dttdtthadtthadtthannnn上式左邊只有第一項不為零，其余各項都為零，即：上式左邊只有第一項不為零，其余各項都為零，即：1)0()0()1(0)1(0nnnhhannah1)0() 1(0因此得到在因此得到在 t = 0+ 時的時的 n 個初始條件為：個初始條件為：nnnnahhhh1)0(0)0()0()0()1(00)3(0)2(0 代入初始條件，求解齊次微分方程，即可得到系統(tǒng)代入初始條件，求解齊次微分方程，即可得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。的沖激

16、響應(yīng)。信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知系統(tǒng)的微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)。例：已知系統(tǒng)的微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)。)()(2)( 3)(000tththth解：解：2, 102300)(2)( 3)(212解得：特征方程：即：tththth)()(2)( 3)(txtytyty)()()(:221tekekthtt齊次微分方程的通解為代入初始條件：代入初始條件：0)0(1)0( hh解得：解得：1202121kkkk有：有：1121kk)()()(2teethtt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB當(dāng)微分方程右邊當(dāng)微分方程右邊含有 x( t

17、) 的各階導(dǎo)數(shù)項時的各階導(dǎo)數(shù)項時（間接法）（間接法）)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn此時，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)所應(yīng)當(dāng)滿足的微分方程為：此時，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)所應(yīng)當(dāng)滿足的微分方程為：)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(tbtbtbtbthathathathammmmnnnn為此，可假設(shè)一個新的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)時的方程為：為此，可假設(shè)一個新的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)時的方程為：)()()( )()(0001) 1(01)(0tthathathathannnn根據(jù)系統(tǒng)的線性和時

18、不變根據(jù)系統(tǒng)的線性和時不變性，有：性，有：mjjjmjjjjjjjthbtbthbtbthbtb0)(00)()(0)(000)()()()()()(以此與原系統(tǒng)沖激響應(yīng)以此與原系統(tǒng)沖激響應(yīng)時的方程相對比，得：時的方程相對比，得：mjjjthbth0)(0)()(返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-2-5 2-2-5 已知描述某系統(tǒng)的微分方程如下，試求其沖激已知描述某系統(tǒng)的微分方程如下，試求其沖激響應(yīng)響應(yīng) )()( 2)(4)( 4)(2)(txtxtytytyth。j121，其特征根為)()cossin()(210ttektekthtt則解：設(shè)解：設(shè))()(4)

19、( 4)(2000tththth代入初始條件：0)0(21)0( hh21)0 ( 0)0 (21020kkhkh有：有：解得：解得：02121kk)(sin21)(0ttetht故)(sin21)(cos)(sin21)(cos)(sin)()(2)(00ttettettettettethththttttt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB對于一般的微分方程也可以直接求解沖激響應(yīng)對于一般的微分方程也可以直接求解沖激響應(yīng)（直接法）（直接法）3, 221其特征根為)()()(3221tekekthtt則解：解：)(2)( 3)(6)( 5)(ttththth22332121k

20、kkk則有7421kk解得)(2)( 3)()23()( )(2121tttkktkk：代入原方程，經(jīng)整理得)()47()(23teethtt)(2)( 3)(6)( 5)(txtxtytyty例：例：)()94()()32()( )()()()32()()()( )( 32212121322121tekektkktkkthtekektkkththtttt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB時，有均為單根，則當(dāng)若方程的特征根mni)()()(1tecthtniii)()()()(, 1tectcthmnnitii時當(dāng)數(shù)中會包含沖激函數(shù)的導(dǎo)時，當(dāng))(thmn )()( )()(

21、)()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn 若微分方程的特征根中有重根，則解的形式要作相應(yīng)改變。tkkttetctececk1111211階重根，相應(yīng)項為為如tectecjttsincos,212 , 1相應(yīng)項為如方程有共軛復(fù)根，信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB 與直接法相比，間接法的優(yōu)點是：求與直接法相比，間接法的優(yōu)點是：求 時，只可時，只可能能 ，不需要考慮其它情況，并且其，不需要考慮其它情況，并且其 個初始條件個初始條件是固定不變的，從而給計算帶來了方便。是固定不變的，從而給計算帶來了方便。

22、)(0thmn n 其它求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法還有：其它求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法還有： 變換域的方法：變換域的方法：傅立葉變換法、拉普拉斯變換法傅立葉變換法、拉普拉斯變換法 實驗法：實驗法：觀察、記錄系統(tǒng)在窄脈沖信號激勵下的響觀察、記錄系統(tǒng)在窄脈沖信號激勵下的響應(yīng)曲線或單位階躍響應(yīng)曲線。應(yīng)曲線或單位階躍響應(yīng)曲線。信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3 信號的時域分解和卷積積分2.3.1 信號的時域分解 如圖所示，任意波形的信號都可以用沿橫向等間隔的折線來如圖所示，任意波形的信號都可以用沿橫向等間隔的折線來近似，近似，)(tx0tt10)(tgt10)(tg)()(ntgnx

23、0tn ) 1(nnntgnxtx)()()( nt)( nx其中在其中在 時刻出現(xiàn)的矩形脈沖高度為時刻出現(xiàn)的矩形脈沖高度為 寬度為寬度為 。折線中的每一條橫向線段都可以看作一個矩形脈沖。折線中的每一條橫向線段都可以看作一個矩形脈沖。n2)0(x)2( x)( nx折線可以看作是矩形脈沖的疊加折線可以看作是矩形脈沖的疊加為討論方便起見，為討論方便起見，此處此處 的定的定義與前面不同。義與前面不同。)(tg返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZBnntgnxtx)()(lim)(0解釋： ,),()(,0的積分求和變成對連續(xù)變量成為，成為新的連續(xù)變量記作時，當(dāng)tntgnddtx

24、tx)()()(即疊加起來構(gòu)成的。沖激信號分量連續(xù)出現(xiàn)的可以看成是由無窮多個說明任意波形的信號)()()(. 1tdxtx疊加起來構(gòu)成的。形脈沖信號分量個連續(xù)出現(xiàn)的矩也可以看成是由無窮多任意波形的信號)()()(. 2dtxtx的取樣特性得到。以直接從單位沖激函數(shù)因此，該積分公式也可過程中可視為常數(shù)），是積分參變量（在積分是積分變量，t. 3信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB 任意波形的信號也可以近似表示為無窮多個階躍信任意波形的信號也可以近似表示為無窮多個階躍信號之和（分解過程略）：號之和（分解過程略）：)(tx)0(x)( xt)()()()(21)()(21)()()

25、()(21)(txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxoe 任意波形的信號也可以分解為偶分量與奇分量之和：任意波形的信號也可以分解為偶分量與奇分量之和：dtxtx)()( )( 利用后面將要介紹的卷積性利用后面將要介紹的卷積性質(zhì)，可以很方便地證明這一結(jié)論。質(zhì)，可以很方便地證明這一結(jié)論。信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3.2 零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分 對于線性時不變系統(tǒng)，設(shè)對于線性時不變系統(tǒng)，設(shè))(tx)(ty0)0(nqS)()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht則當(dāng)?shù)木矸e積分與稱為記作)()()()()()

26、()(thtxdthxthtxty過程：過程：首先把任意信號分解為基本單元信號（這里是指沖激信號）；首先把任意信號分解為基本單元信號（這里是指沖激信號）； 然后研究系統(tǒng)對基本單元信號的零狀態(tài)響應(yīng)（這里是指沖激響應(yīng)）然后研究系統(tǒng)對基本單元信號的零狀態(tài)響應(yīng)（這里是指沖激響應(yīng)） ； 再根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的根本規(guī)律，把這些基本單元信號單獨(dú)作用于再根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的根本規(guī)律，把這些基本單元信號單獨(dú)作用于 系統(tǒng)時所引起的零狀態(tài)響應(yīng)迭加起來。系統(tǒng)時所引起的零狀態(tài)響應(yīng)迭加起來。信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZBdthxthtxty)()()()()(解釋：)()(),()(. 1thth

27、xtx換成換成計算卷積時，將）連續(xù)變化。，（在信號出現(xiàn)的時刻，可以是積分變量，表示沖激. 2要考察的響應(yīng)時刻。示所過程中可視為定值，表是積分參變量，在積分t. 3化。的變化，卷積值也在變的響應(yīng)時刻的函數(shù)，即隨著要考察是時間卷積值tty )(. 4。作用下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵其在任意即可用卷積分析法求得（系統(tǒng)特性的表征），一旦求得其沖激響應(yīng)對任意線性時不變系統(tǒng))()()(. 5tytxth返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB卷積積分限的確定卷積積分限的確定都是有始函數(shù)時，設(shè)和當(dāng))()(thtx)()()(),()()(2211tttfthtttftxdtttftfthtxty)

28、()()()()()()(2211則，于是有果乘以。或者說應(yīng)當(dāng)將卷積結(jié)出現(xiàn)的最早時刻為響應(yīng)時間才能出現(xiàn)，即：再延遲勵分量所引起的響應(yīng)要時刻（最早）出現(xiàn)的激義是：能不為零。其物理意，積分出來的結(jié)果才可來說，應(yīng)當(dāng)滿足而對于用所引起的。期間所有分量的共同作），是由激勵在（。其物理意義是：響應(yīng)，上限應(yīng)當(dāng)為應(yīng)當(dāng)為為零。因此，積分下限時，被積函數(shù)才可能不也就是說只有當(dāng)）時，（即以及）時，（即考慮到)()()(0)(00)(021212121212121222111ttttttyttttttttttyttttttttttttttt)()()()()()(212121tttdtffthtxtyttt返回信號與

29、系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB。試求零狀態(tài)響應(yīng)電路如圖，已知例：)(,21,1),()(tvFCRtetvRCcts)(2)(1)(21teteRCthttRC響應(yīng)為解：可求得電路的沖激)(2)()()()()()(20tdeedthvthtvtvttssc)(tvc+)(tvsRC)()(2)() 1(2)(22202teeteetdeetttttt)3()3()3()3()2() 1(12)(21tettetdeetetettttttt解：原式例：試計算卷積：信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB狀態(tài)響應(yīng)。試用卷積分析法求其零系統(tǒng)的沖激響應(yīng)例：已知激勵信號

30、),()(, 1)(tethtxtdtedthxthtxtyt)()()()()()()(解：tttteedettt10)()(0)(原式時，即detdetttdtffthtxtytttttxttttttt)()(212111)(1)()()()()()()(1)(11)(21則，其中或者：信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.4 卷積的圖解和卷積積分限的確定 圖形卷積能夠直觀地理解卷積積分的計算過程，有圖形卷積能夠直觀地理解卷積積分的計算過程，有助于確定積分的上下限。助于確定積分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：將)()(. 4thx歸納起來

31、，卷積的圖解過程有五個步驟：歸納起來，卷積的圖解過程有五個步驟：)()(),()(:.1hthxtxt換元)()(:. 2hh折疊值；平移一個把位移th)(:. 3時刻的卷積值。即為的面積乘積曲線與時間軸之間和積分：tthx)()(. 5返回返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()()2()(21)(),1()21()(142thtxtytttthtttx求卷積波形分別如圖所示，試，：已知例1 21)(th011t0)(tx21t解：解： (1) 換元換元110)(x211 21)(h0信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB1)(h0 -2t1)(t

32、h0 -2t110t -2t211121 -2tt (2) 折疊折疊 (3) 位移位移 (4)相乘、積分相乘、積分0)(,21tyt當(dāng)16144)(211)(, 121221ttdttytt當(dāng)信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB110t -2t2116343)(211)(,231121tdttyt當(dāng)4324)(211)(, 323221ttdttytt當(dāng)0)(, 3tyt當(dāng)110t -2t2111t -2t213t2111615)(ty2169的曲線)(ty信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB本例采用確定卷積積分限的公式計算較為簡便本例采用確定卷積積分限的公

33、式計算較為簡便: :)2()(2) 1()21()()()(tttttthtxty由于卷積運(yùn)算像乘法運(yùn)算一樣滿足分配定律由于卷積運(yùn)算像乘法運(yùn)算一樣滿足分配定律,因此因此)()()()()()()()()()()()(),()()(21212211221121tttdtffdtttftfthtxtttfthtttftxttt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB必須注意，在書寫中以上各項的延遲階躍函數(shù)不能丟失。必須注意，在書寫中以上各項的延遲階躍函數(shù)不能丟失。 粗略看來上述結(jié)果似乎與例粗略看來上述結(jié)果似乎與例2-4-1的結(jié)果不一致，但若將上述的結(jié)果不一致，但若將上述結(jié)果改寫成分段

34、定義的函數(shù)，不難驗證，結(jié)果是相同的。結(jié)果改寫成分段定義的函數(shù)，不難驗證，結(jié)果是相同的。)3()4324()23()161544()1()4124()21()16144()3(21)23(21)1(21)21(21)2(2)1()2(2)21()(2)1()(2)21()(222222212111tttttttttttttdttdttdttdttttttttttttttytttt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5 卷積積分的性質(zhì)(1)交換律交換律)()()()(txththtx)()()()()()()()()()(,txthdtxhdhtxdthxthtxt有證明：令

35、2.5.1 卷積代數(shù)返回返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2)分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx證明：利用卷積的定義比較容易得到證明：利用卷積的定義比較容易得到)()()()()()()()()()()()()()(21212121thtxthtxdthxdthxdththxththtx例如：兩個子系統(tǒng)并聯(lián)例如：兩個子系統(tǒng)并聯(lián))()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx等效為：等效為：信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS Z

36、B這里，兩次卷積運(yùn)算是一個二重積分，只要改變積分次這里，兩次卷積運(yùn)算是一個二重積分，只要改變積分次序即可證明此定律。（證明過程略）序即可證明此定律。（證明過程略）)()()()()()(2121ththtxththtx(3)結(jié)合律結(jié)合律例如：兩個子系統(tǒng)級聯(lián)例如：兩個子系統(tǒng)級聯(lián))(2th)()()()(21ththtxty)(tx)(1th)()(1thtx等效為：等效為：)()(21thth)(tx)()()()(21ththtxty信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5.2 卷積的微分與積分，有設(shè))()()(thtxty(1)卷積的微分性質(zhì)卷積的微分性質(zhì))( )()(

37、)()()()( thtxdthxdthxdtdty)()( )( :thtxty同理可證(2)卷積的積分性質(zhì)卷積的積分性質(zhì)（證明略）（證明略）)()()()()()1()1()1(thtxthtxty返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB(3)卷積的微積分性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì))( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththtxthxdxthtxtyt)()()()()()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()

38、1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交換位置，可得和同理，則，或者只要證明：條件：條件：應(yīng)用微積分性質(zhì)時，被求導(dǎo)的函數(shù)在應(yīng)用微積分性質(zhì)時，被求導(dǎo)的函數(shù)在 處處應(yīng)為零值，或者被積分的函數(shù)在應(yīng)為零值，或者被積分的函數(shù)在 區(qū)間的積分值區(qū)間的積分值（即函數(shù)波形的凈面積）為零值。（即函數(shù)波形的凈面積）為零值。t),(信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB表示重積分的次數(shù)。的階數(shù)，為負(fù)整數(shù)時，為正整數(shù)時，表示求導(dǎo)和式中，為整數(shù)以進(jìn)一步推廣為：卷積的微積分性質(zhì)還可jijijithtxtyjiji,)()()()()()(dfKdKfKtftfKtfK)()()()()(

39、152義，可得解：直接應(yīng)用卷積的定的卷積積分。與函數(shù)計算常數(shù)例杜阿密爾積分即例如：)()( )()()( )()( )()()() 1(tstxtytstxthtxthtxty為整數(shù)此性質(zhì)可以推廣為：ithtxtyii)()()()()(當(dāng) i 為正整數(shù)時，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，當(dāng) i 為負(fù)整數(shù)時，表示求重積分的次數(shù)。注意：注意： 此例不滿此例不滿足卷積微足卷積微積分性質(zhì)積分性質(zhì)的條件。的條件。信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5.3 含有沖激函數(shù)的卷積)()()()()(ttxdtxtx)()()()()()()()(0txtxdtxtxtttx)()()()()(111

40、ttxdttxtttx根據(jù)信號的時域分解以及卷積的定義，有根據(jù)信號的時域分解以及卷積的定義，有或者利用卷積的交換律及沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)，有或者利用卷積的交換律及沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)，有沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)沖激函數(shù)的重現(xiàn)性質(zhì)以及以及返回信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用微積分性質(zhì)還可以得到利用微積分性質(zhì)還可以得到tdxttxtxttx)()()()( )( )(推廣到一般情況，有推廣到一般情況，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii2.5.4 卷積的時移)()()(thtxty若若)()()()()(000ttythttxtthtx則則

41、為實常數(shù)0t)()()()()()()()()()()(00000ttytttyttthtxttthtxtthtx證明：同理同理)()()()()(211221tttytthttxtthttx信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(tfT)(1tf22tA22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T20利用卷積的重現(xiàn)性質(zhì)可以通過卷積運(yùn)算產(chǎn)生周期信號：利用卷積的重現(xiàn)性質(zhì)可以通過卷積運(yùn)算產(chǎn)生周期信號：nTnTtt)()(nnnTTnTtfnTttfnTttfttftf)( )()()()()()()(1111信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用卷積的性質(zhì)能

42、大大簡化卷積計算)()(cos1 )(cos)(sin)(sin)(sin)()(sin)( )(sin)()( )(sin)()(0ttttttttdttdtdttttttttttthtxt解：)()(),()( )(),(sin)(252thtxttthtttx試求：已知例信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-5-32-5-3： 。試求，已知)()()2()()(),()(thtxttthtetxt)2()()2()()()( )()()()1()1()1()1(txtxtttxthtxthtx解：( 1)00( )( )( )( )(1) ( )ttttxtede

43、dtetet )2(1 )()1 ()2()()()()2()1()1(tetetxtxthtxtt信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-5-42-5-4： 0)()(thtx23-1-2At-221A)(tx0)(th(1)(1)tt0。試求如圖所示，沖激響應(yīng)已知系統(tǒng)輸入)()()(),(thtxthtx解：解： 信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-5-52-5-5： 。試求如圖所示，沖激響應(yīng)已知系統(tǒng)輸入)()()(),(thtxthtx解：解： 12)(txt020)(tht11(2)( txt0(2)20)()1(th2t) 1(2)(2)()( )()()()1()1()1(thththtxthtxty-4420)(ty-2t213 4)(2) 1(th) 1(2) 1(th信號與系統(tǒng)SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：x(t)和和h(t)分別分別如圖所示，試求如圖所示，試求 x(t)*h(t) 。)()(Tttx-2T0At02