線性方程組求解參考模板

1、第三章 線性方程組§1 消元法一、線性方程組的初等變換現(xiàn)在討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為 (1)的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為線性方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng).方程組中未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不一定相等.系數(shù)的第一個(gè)指標(biāo)表示它在第個(gè)方程，第二個(gè)指標(biāo)表示它是的系數(shù).所謂方程組(1)的一個(gè)解就是指由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組，當(dāng)分別用代入后，(1)中每個(gè)等式都變成恒等式. 方程組(1)的解的全體稱為它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它全部的解，或者說(shuō)，求出它的解集合.如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.顯然，如果知道了一個(gè)線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那

2、么這個(gè)線性方程組就基本上確定了.確切地說(shuō)，線性方程組(1)可以用下面的矩陣 (2)來(lái)表示.實(shí)際上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外線性方程組(1)就確定了，而采用什么文字來(lái)代表未知量當(dāng)然不是實(shí)質(zhì)性的.在中學(xué)所學(xué)代數(shù)里學(xué)過(guò)用加減消元法和代入消元法解二元、三元線性方程組.實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解線性方程組更有普遍性.下面就來(lái)介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.例如，解方程組1 / 32第二個(gè)方程組減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，就變成第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程的2倍，把第二第三兩個(gè)方程的次序互換，即得這樣，就容易求出方程組的解為（9，-1，-6）.分析一下消元法，不難看出

3、，它實(shí)際上是反復(fù)地對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所用的變換也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1. 用一非零數(shù)乘某一方程；2. 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程；3. 互換兩個(gè)方程的位置.定義1 變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.二、線性方程組的解的情形消元的過(guò)程就是反復(fù)施行初等變換的過(guò)程.下面證明，初等變換總是把方程組變成同解的方程組.下面我們來(lái)說(shuō)明，如何利用初等變換來(lái)解一般的線性方程組.對(duì)于方程組(1)，首先檢查的系數(shù).如果的系數(shù)全為零，那么方程組(1)對(duì)沒(méi)有任何限制，就可以取任何值，而方程組(1)可以看作的方程組來(lái)解.如果的系數(shù)不全為零，那么利用初等變換3，可以設(shè).利用初等變換2，分別把第一個(gè)方

4、程的倍加到第個(gè)方程().于是方程組(1)就變成 (3)其中這樣，解方程組(1)的問(wèn)題就歸結(jié)為解方程組 (4)的問(wèn)題.顯然(4)的一個(gè)解，代入(3)的第一個(gè)方程就定出的值，這就得出(3)的一個(gè)解；(3)的解顯然都是(4)的解.這就是說(shuō)，方程組(3)有解的充要條件為方程組(4)有解，而(3)與(1)是同解的，因之，方程組(1)有解的充要條件為方程組(4)有解.對(duì)(4)再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步步作下去，最后就得到一個(gè)階梯形方程組.為了討論起來(lái)方便，不妨設(shè)所得的方程組為 (5)其中.方程組(5)中的“0=0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)，這時(shí)去掉它們也不影響(5)的解.而且(1)與

5、(5)是同解的.現(xiàn)在考慮(5)的解的情況.如(5)中有方程，而.這時(shí)不管取什么值都不能使它成為等式.故(5)無(wú)解，因而(1)無(wú)解.當(dāng)是零或(5)中根本沒(méi)有“0=0”的方程時(shí)，分兩種情況：1）.這時(shí)階梯形方程組為 (6)其中.由最后一個(gè)方程開(kāi)始，的值就可以逐個(gè)地唯一決定了.在這個(gè)情形，方程組(6)也就是方程組(1)有唯一的解.例1 解線性方程組2）.這時(shí)階梯形方程組為其中.把它改寫(xiě)成 (7)由此可見(jiàn)，任給一組值，就唯一地定出的值，也就是定出方程組(7)的一個(gè)解.一般地，由(7)我們可以把通過(guò)表示出來(lái)，這樣一組表達(dá)式稱為方程組(1)的一般解，而稱為一組自由未知量.例2 解線性方程組從這個(gè)例子看出，

6、一般線性方程組化成階梯形，不一定就是(5)的樣子，但是只要把方程組中的某些項(xiàng)調(diào)動(dòng)一下，總可以化成(5)的樣子.以上就是用消元法解線性方程組的整個(gè)過(guò)程.總起來(lái)說(shuō)就是，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現(xiàn)的話)去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后的一個(gè)等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無(wú)解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯一的解；如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無(wú)窮多個(gè)解.定理1 在齊次線性方程組中，如果，那么它必有非零解.矩陣 (10)稱為線性方程組(1)的增廣矩陣.顯然，用初等

7、變換化方程組(1)成階梯形就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣(10)成階梯形矩陣.因此，解線性方程組的第一步工作可以通過(guò)矩陣來(lái)進(jìn)行，而從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組有解還是無(wú)解，在有解的情形，回到階梯形方程組去解.例3 解線性方程組§2 維向量空間定義2 所謂數(shù)域上一個(gè)維向量就是由數(shù)域中個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 (1)稱為向量(1)的分量.用小寫(xiě)希臘字母來(lái)代表向量.定義3 如果維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即.就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.維向量之間的基本關(guān)系是用向量的加法和數(shù)量乘法表達(dá)的.定義4 向量稱為向量的和，記為由定義立即推出：交換律： . (2)結(jié)合律： . (3)定義5 分量全為零的

8、向量稱為零向量，記為0;向量稱為向量的負(fù)向量，記為.顯然對(duì)于所有的，都有. (4) . (5)(2)(5)是向量加法的四條基本運(yùn)算規(guī)律.定義6 定義7 設(shè)為數(shù)域中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為由定義立即推出：, (6), (7), (8). (9)(6)(9)是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)則.由(6)(9)或由定義不難推出：, (10), (11). (12)如果，那么. (13)定義8 以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間.在時(shí)，3維實(shí)向量空間可以認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間.以上已把數(shù)域上全體維向量的集合組成一

9、個(gè)有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即數(shù)域上維向量空間.向量通常是寫(xiě)成一行：.有時(shí)也可以寫(xiě)成一列：.為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫(xiě)法上的不同.§3 線性相關(guān)性一般向量空間除只有一個(gè)零向量構(gòu)成的零空間外，都含有無(wú)窮多個(gè)向量，這些向量之間有怎樣的關(guān)系，對(duì)于弄清向量空間的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。一、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)兩個(gè)向量之間最簡(jiǎn)單的關(guān)系是成比例.所謂向量與成比例就是說(shuō)有一數(shù)使.定義9 向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)域中的數(shù)，使,其中叫做這個(gè)線性組合的系數(shù).例如，任一個(gè)維向量都是向量組 （1）的一個(gè)線性組合.向量稱為維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.當(dāng)向量是向

10、量組的一個(gè)線性組合時(shí)，也說(shuō)可以經(jīng)向量組線性表出.定義10 如果向量組中每一個(gè)向量都可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組就稱為可以經(jīng)向量組線性表出.如果兩個(gè)向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià).由定義有，每一個(gè)向量組都可以經(jīng)它自身線性表出.同時(shí)，如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，向量組可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組可以經(jīng)向量組線性表出.向量組之間等價(jià)具有以下性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià).2）對(duì)稱性：如果向量組與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).3）傳遞性：如果向量組與等價(jià)，與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).定義11 如果向量組中有一個(gè)向量是可以由其余的向量的線性表出，那么向量組線性相關(guān). 從定義可以

11、看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組線性相關(guān)就表示或者(這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立).在為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí)，就表示向量與共線.三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義就是它們共面.定義11向量組稱為線性相關(guān)的，如果有數(shù)域中不全為零的數(shù)，使這兩個(gè)定義在的時(shí)候是一致的.定義12 一向量組不線性相關(guān)，即沒(méi)有不全為零的數(shù)，使就稱為線性無(wú)關(guān)；或者說(shuō)，一向量組稱為線性無(wú)關(guān)，如果由可以推出由定義有，如果一向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān).換句話說(shuō)，如果一向量組線性無(wú)關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無(wú)關(guān).特別地，由于兩個(gè)成比例的向量是線性相關(guān)的，所以，線性無(wú)關(guān)的向量組中一定不能

12、包含兩個(gè)成比例的向量. 定義11包含了由一個(gè)向量組構(gòu)成的向量組的情形. 單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).不難看出，由維單位向量組成的向量組是線性無(wú)關(guān)的.具體判斷一個(gè)向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)的問(wèn)題可以歸結(jié)為解方程組的問(wèn)題.要判斷一個(gè)向量組 (2)是否線性相關(guān)，根據(jù)定義11，就是看方程 (3)有無(wú)非零解.(3)式按分量寫(xiě)出來(lái)就是 (4)因之，向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是齊次線性方程組(4)只有零解.例1 判斷的向量是否線性相關(guān)。例2 在向量空間里，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)線性無(wú)關(guān).例3 若向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組也線性無(wú)關(guān).從而，如果向量組(2)線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所

13、得到的維的向量組 (5)也線性無(wú)關(guān).定理2 設(shè)與是兩個(gè)向量組.如果1）向量組可以經(jīng)線性表出，2） ，那么向量組必線性相關(guān).推論1 如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，且線性無(wú)關(guān)，那么.推論2 任意個(gè)維向量必線性相關(guān).推論3 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理2的幾何意義是清楚的：在三維向量的情形，如果，那么可以由向量線性表出的向量當(dāng)然都在所在的平面上，因而這些向量是共面的，也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，這些向量線性相關(guān).兩個(gè)向量組與等價(jià)，就意味著它們?cè)谕黄矫嫔?二、極大線性無(wú)關(guān)組定義13 一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線性無(wú)關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一

14、個(gè)向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關(guān).一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.極大線性無(wú)關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià).例4 看的向量組在這里線性無(wú)關(guān)，而，所以是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.另一方面，也都是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組.由上面的例子可以看出，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組不是唯一的.但是每一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的.定理3 一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理3表明，極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無(wú)關(guān)組的選擇無(wú)關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì).因此有定義14

15、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.一向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組也等價(jià).所以，等價(jià)的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無(wú)關(guān)組，且任一個(gè)線性無(wú)關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無(wú)關(guān)組.全部由零向量組成的向量組沒(méi)有極大線性無(wú)關(guān)組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零.現(xiàn)在把上面的概念與方程組的解的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系，給定一個(gè)方程組各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的向量分別是.設(shè)有另一個(gè)方程它對(duì)應(yīng)的向量為.則是的線性組合，當(dāng)且僅當(dāng)，即方程(B)是方程 的線性組合.容易驗(yàn)證，方程

16、組的解一定滿足(B).進(jìn)一步設(shè)方程組它的方程所對(duì)應(yīng)的向量為.若可經(jīng)線性表出，則方程組的解是方程組的解.再進(jìn)一步，當(dāng)與等價(jià)時(shí)，兩個(gè)方程組同解.例5 （1）設(shè)線性無(wú)關(guān)，證明也線性無(wú)關(guān)；對(duì)個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組，以上命題是否成立？（2）當(dāng)線性無(wú)關(guān)，證明也線性無(wú)關(guān)，當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，是否也線性無(wú)關(guān)？例6 設(shè)在向量組中，且每個(gè)都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無(wú)關(guān).§4 矩陣的秩一、矩陣的秩如果把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以認(rèn)為是由這些向量組成的.同樣，如果把每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣也可以認(rèn)為是由列向量組成的.定義15 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的

17、列向量組的秩.例如，矩陣的行向量組是它的秩是3.它的列向量組是它的秩也是3.矩陣的行秩等于列秩，這點(diǎn)不是偶然的.引理 如果齊次線性方程組 （1）的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解.定理4 矩陣的行秩與列秩相等.因?yàn)樾兄鹊扔诹兄?，所以下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩.二、矩陣的秩與行列式的聯(lián)系定理5 矩陣的行列式為零的充要條件是的秩小于.推論 齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.定義16 在一個(gè)矩陣中任意選定行和列，位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按原來(lái)的次序所組成的級(jí)行列式，稱為的一個(gè)級(jí)子式.在定義中，當(dāng)然有，這里表示中較小的一個(gè).定理6 一矩陣的秩是的充要條件為矩陣中有一個(gè)級(jí)

18、子式不為零，同時(shí)所有級(jí)子式全為零.從定理的證明可以看出，這個(gè)定理實(shí)際上包含兩部分，一部分是，矩陣的秩的充要條件為有一個(gè)級(jí)子式不為零；另一部分是，矩陣的秩的充要條件為的所有級(jí)子式全為零.從定理的證明還可以看出，在秩為的矩陣中，不為零的級(jí)子式所在的行正是它行向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，所在的列正是它列向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.三、矩陣的秩的計(jì)算在前面，作為解線性方程組的一個(gè)方法，對(duì)矩陣作行的初等變換，把矩陣化成階梯形.實(shí)際上，這也是計(jì)算矩陣的秩的一個(gè)方法.首先，矩陣的初等行變換是把行向量組變成一個(gè)與之等價(jià)的向量組.等價(jià)的向量組有相同的秩，因此，初等行變換不改變矩陣的秩.同樣初等列變換也不改變矩陣的

19、秩.其次，階梯形矩陣的秩就等于其中非零的行的數(shù)目.上面的討論說(shuō)明，為了計(jì)算一個(gè)矩陣的秩，只要用初等行變換把它變成階梯形，這個(gè)階梯形矩陣中非零的行的個(gè)數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩.以上的討論還說(shuō)明，用初等變換化一個(gè)線性方程組成階梯形，最后留下來(lái)的方程的個(gè)數(shù)與變換的過(guò)程無(wú)關(guān)，因?yàn)樗偷扔谠鰪V矩陣的秩.例 利用初等變換求下面矩陣的秩：.§5 線性方程組有解判別定理設(shè)線性方程組為 (1)引入向量. (2)于是線性方程組(1)可以改寫(xiě)成向量方程. (3)顯然，線性方程組(1)有解的充要條件為向量可以表成向量組的線性組合.用秩的概念，線性方程組(1)有解的條件可以敘述如下：定理7(線性方程組有解判別定理)

20、 線性方程組(1)有解的充要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.應(yīng)該指出，這個(gè)判別條件與以前的消元法是一致的.用消元法解線性方程組(1)的第一步就是用初等行變換把增廣矩陣化成階梯形.這個(gè)階梯形矩陣在適當(dāng)調(diào)動(dòng)前列的順序之后可能有兩種情形：或者其中.在前一種情形，原方程組無(wú)解，而在后一種情形方程組有解.實(shí)際上，把這個(gè)階梯形矩陣最后一列去掉，那就是線性方程組(1)的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換所化成的階梯形.這就是說(shuō)，當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等時(shí)，方程組有解；當(dāng)增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩加1時(shí)，方程組無(wú)解.以上的說(shuō)明可以認(rèn)為是判別定理的另一個(gè)證明.根據(jù)克拉默法則，也可以給出一般線性方程組的一個(gè)解法

21、.設(shè)線性方程組(1)有解，矩陣與的秩都等于，而是矩陣的一個(gè)不為零的級(jí)子式(當(dāng)然它也是的一個(gè)不為零的子式)，為了方便起見(jiàn)，不妨設(shè)位于的左上角.顯然，在這種情況下，的前行就是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，第行都可以經(jīng)它們線性表出.因此，線性方程組(1)與 (4)同解.當(dāng)時(shí)，由克拉默法則，線性方程組(4)有唯一解，也就是線性方程組(1)有唯一解.當(dāng)時(shí)，將線性方程組(4)改寫(xiě)為 (5)(5)作為的一個(gè)方程組，它的系數(shù)行列式.由克拉默法則，對(duì)于的任意一組值，線性方程組(5)，也就是線性方程組(1)，都有唯一的解. 就是線性方程組(1)的一組自由未知量.對(duì)(5)用克拉默法則，可以解出： (6)(6)就是線性方程組(

22、1)的一般解.例 取怎樣的數(shù)值時(shí)，線性方程組有唯一解，沒(méi)有解，有無(wú)窮多解？§6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)在解決線性方程組有解的判別條件之后，進(jìn)一步來(lái)討論線性方程組解的結(jié)構(gòu).所謂解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題就是解與解之間的關(guān)系問(wèn)題.一、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè) (1)是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：1. 兩個(gè)解的和還是方程組的解.2. 一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.從幾何上看，這兩個(gè)性質(zhì)是清楚的.在時(shí)，每個(gè)齊次方程表示一個(gè)過(guò)得點(diǎn)的平面.于是方程組的解，也就是這些平面的交點(diǎn)，如果不只是原點(diǎn)的話，就是一條過(guò)原點(diǎn)的直線或一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的平面.以原點(diǎn)為起點(diǎn)，而端點(diǎn)在這樣的直線或平面上的向量顯然

23、具有上述的性質(zhì).對(duì)于齊次線性方程組，綜合以上兩點(diǎn)即得，解的線性組合還是方程組的解.這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明了，如果方程組有幾個(gè)解，那么這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基于這個(gè)事實(shí)，我們要問(wèn)：齊次線性方程組的全部解是否能夠通過(guò)它的有限的幾個(gè)解的線性組合給出？定義17 齊次線性方程組(1)的一組解稱為(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果1）(1)的任一個(gè)解都能表成的線性組合；2）線性無(wú)關(guān).應(yīng)該注意，定義中的條件2)是為了保證基礎(chǔ)解系中沒(méi)有多余的解.定理8 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于，這里表示系數(shù)矩陣的秩(以下將看到，也就是自由未知量的個(gè)數(shù)).定理的證明事實(shí)上

24、就是一個(gè)具體找基礎(chǔ)解系的方法.由定義容易看出，任何一個(gè)線性無(wú)關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系.二、一般線性方程組的解的結(jié)構(gòu)如果把一般線性方程組 (9)的常數(shù)項(xiàng)換成0，就得到齊次線性方程組(1). 齊次線性方程組(1)稱為方程組(9)的導(dǎo)出組.方程組(9)的解與它的導(dǎo)出組(1)的之間有密切的關(guān)系：1. 線性方程組(9)的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組(1)的解.2. 線性方程組(9)的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解之和還是這個(gè)線性方程組的一個(gè)解.定理9 如果是線性方程組(9)的一個(gè)特解，那么線性方程組(9)的任一個(gè)解都可以表成其中是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解.因此，對(duì)于線性方程組(9)的任一個(gè)特

25、解，當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，(10)就給出(9)的全部解.定理9說(shuō)明了，為了找出一線性方程組的全部解，只要找出它的一個(gè)特殊的解以及它的導(dǎo)出組的全部解就行了.導(dǎo)出組是一個(gè)齊次線性方程組，在上面已經(jīng)看到，一個(gè)齊次線性方程組的解的全體可以用基礎(chǔ)解系來(lái)表示.因此，根據(jù)定理我們可以用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系來(lái)表出一般線性方程組的一般解；如果是線性方程組(9)的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么(9)的任一個(gè)解都可以表成推論 在線性方程組(9)有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出組(1)只有零解.線性方程組的理論與解析幾何中關(guān)于平面與直線的討論有密切的關(guān)系.來(lái)看線性方程組 (11)(11)中每一個(gè)

26、方程表示一個(gè)平面，線性方程組(11)有沒(méi)有解的問(wèn)題就相當(dāng)于這兩個(gè)平面有沒(méi)有交點(diǎn)的問(wèn)題.我們知道，兩個(gè)平面只有在平行而不重合的情形沒(méi)有交點(diǎn).(11)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別是與,它們的秩可能是1或者2.有三個(gè)可能的情形：1. 秩=秩=1.這就是的兩行成比例，因而這兩個(gè)平面平行.又因?yàn)榈膬尚幸渤杀壤?，所以這兩個(gè)平面重合.方程組有解.2. 秩=1，秩=2.這就是說(shuō)，這兩個(gè)平面平行而不重合. 方程組無(wú)解.3. 秩=2.這時(shí)的秩一定也是2.在幾何上就是這兩個(gè)平面不平行，因而一定相交. 方程組有解.下面再來(lái)看看線性方程組的解的幾何意義.設(shè)矩陣的秩為2，這時(shí)一般解中有一個(gè)自由未知量，譬如說(shuō)是，一般解的形式為

27、 (12)從幾何上看，兩個(gè)不平行的平面相交在一條直線.把(12)改寫(xiě)一下就是直線的點(diǎn)向式方程.如果引入?yún)?shù)，令，(12)就成為 (13)這就是直線的參數(shù)方程.(11)的導(dǎo)出方程組是 (14)從幾何上看，這是兩個(gè)分別與(11)中平面平行的且過(guò)原點(diǎn)的平面，因而它們的交線過(guò)原點(diǎn)且與直線(12)平行.既然與直線(12)平行，也就是有相同的方向，所以這條直線的參數(shù)方程就是 (15)(13)與(15)正說(shuō)明了線性方程組(11)與它的導(dǎo)出組(14)的解之間的關(guān)系.例1 求線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例2 設(shè)線性方程組用它的導(dǎo)出齊次方程組的基礎(chǔ)解系表示它的全部解.§7 二元高次方程組一、結(jié)式的概念引理

28、 設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)非零的多項(xiàng)式，它們的系數(shù)不全為零.于是與在中有非常數(shù)的公因式在中存在非零的次數(shù)小于的多項(xiàng)式與次數(shù)小于的多項(xiàng)式，使下面把引理中的條件改變一下.令由多項(xiàng)式相等的定義，等式 (5)就是左右兩端對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即 (6)如果把(6)看成一個(gè)關(guān)于未知量的方程組，那么它是一個(gè)含個(gè)未知量，個(gè)方程的齊次線性方程組.顯然，引理中的條件：“在中存在非零的次數(shù)小于的多項(xiàng)式與次數(shù)小于的多項(xiàng)式，使(5)成立”就相當(dāng)于說(shuō)，齊次線性方程組(6)有非零解.我們知道，齊次線性方程組(6)有非零解的充要條件為它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.把線性方程組(6)的系數(shù)矩陣的行列式的行列互換，再把后邊的行反號(hào)，取行列式就得.對(duì)任意多項(xiàng)式(它們可以為零多項(xiàng)式)，我們稱上面的行列式為它們的結(jié)式，記為.綜合以上分析，就可以證明定理10 設(shè)是中兩個(gè)非零的多項(xiàng)式，于是它們的結(jié)式的充要條件是與在中有非常數(shù)的公因式或者它們的第一個(gè)系數(shù)全為零.當(dāng)是復(fù)數(shù)域時(shí)，兩個(gè)多項(xiàng)式有非常數(shù)公因式與有公共根是一致的.因此對(duì)復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式，的充要條件為，在復(fù)數(shù)域中有公共根或者它們的