理論力學(xué)第三版周衍柏習(xí)題答案解析

1、第一章 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)第一章習(xí)題解答由題可知示意圖如題1.1.1 圖 :設(shè)開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為, 由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為.則有 :由以上兩式得再由此式得證明完畢.解 由題可知 , 以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)如題1.2.1 圖 .設(shè)船經(jīng)過(guò)小時(shí)向東經(jīng)過(guò)燈塔, 則向北行駛的船經(jīng)過(guò)小時(shí)經(jīng)過(guò)燈塔任意時(shí)刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對(duì)時(shí)間求導(dǎo)船相距最近，即，所以即午后 45 分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離km解 如題 1.3.2 圖由題分析可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以 聯(lián)立以上各式運(yùn)用由此可得得得化簡(jiǎn)整理可得此即為點(diǎn)的軌道方程.（ 2）要求點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)其中又因?yàn)閷?duì)兩

2、邊分別求導(dǎo)故有所以如題 1.4.1 圖所示，解繞點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在上滑動(dòng)，因此點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分量點(diǎn)速度又因?yàn)樗渣c(diǎn)加速度由題可知，變加速度表示為解由加速度的微分形式我們可知代入得對(duì)等式兩邊同時(shí)積分：可得（為常數(shù)），故代入初始條件：時(shí)，即又因?yàn)樗詫?duì)等式兩邊同時(shí)積分，可得：解 由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度 沿垂直于位矢速度即又因?yàn)椋ㄈ∥皇阜较?，垂直位矢方向）所以故即沿位矢方向加速度垂直位矢方向加速度?duì)求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)把代入式中可得由題可知解對(duì)求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)對(duì)于加速度，我們有如下關(guān)系見(jiàn)題1.7.1圖即-對(duì)倆式分別作如下處理：，即得-+得（11）把代入（11）得同理可得解 以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)

3、如題1.8.1圖所示則點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)兩式分別求導(dǎo)故如圖所小的橢圓的極坐標(biāo)表不法為對(duì)求導(dǎo)可得（利用）又因?yàn)?即所以故有即（其中為橢圓的半短軸）證 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度表達(dá)式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以 又因?yàn)樗俾时３譃槌?shù)，即為常數(shù)對(duì)等式兩邊求導(dǎo)所以即速度矢量與加速度矢量正交.解 由題可知運(yùn)動(dòng)軌跡如題1.10.1 圖所示，則質(zhì)點(diǎn)切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式又因?yàn)樗?聯(lián)立 又 把兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得又因?yàn)?所以把代入既可化為對(duì)等式兩邊積分所以解 由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖1.11.1 所示兩式相比得即對(duì)等式兩邊分別積分即此即質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律.證 由題可知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)系式所以，

4、聯(lián)立，有又因?yàn)樗?，對(duì)等式兩邊分別積分，利用初始條件時(shí)，證（）當(dāng)，即空氣相對(duì)地面上靜止的，有. 式中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止參考系的絕對(duì)速度，指向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參考系的速度，指運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)靜止參考系的速度.可知飛機(jī)相對(duì)地面參考系速度：=， 即飛機(jī)在艦作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng). 所以飛機(jī)來(lái)回飛行的總時(shí)間.（）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)速度飛行時(shí)間當(dāng)飛機(jī)向西飛行時(shí)速度 飛行時(shí)間故來(lái)回飛行時(shí)間即同理可證，當(dāng)空氣速度向西時(shí)，來(lái)回飛行時(shí)間(c)假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題1.13.1圖所以來(lái)回飛行的總時(shí)間同理可證空氣速度向南時(shí)，來(lái)回飛行總時(shí)間仍為解 正方形如題1.14.1 圖。由題可知設(shè)風(fēng)速, 當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿

5、此邊長(zhǎng)6 正方形飛行一周所需總時(shí)間解 船停止時(shí)，干濕分界線(xiàn)在蓬前3，由題畫(huà)出速度示意圖如題. 圖故又因?yàn)?，所以由圖可知所以=8解 以一岸邊為軸，垂直岸的方向?yàn)檩S. 建立如題1.16.1 圖所示坐標(biāo)系.所以水流速度 又因?yàn)楹恿髦行奶幩魉俣葹樗?。?dāng)時(shí)，即 - 得，兩邊積分 聯(lián)立，得同理，當(dāng)時(shí)，即由知，當(dāng)時(shí)，代入得有，所以船的軌跡船在對(duì)岸的了；靠攏地點(diǎn)，即時(shí)有解 以為極點(diǎn)，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題. 圖 .船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 - / 得 ，對(duì)兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時(shí)，. 設(shè)有得解 如題 1.18.1 圖質(zhì)點(diǎn)沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點(diǎn)

6、下滑的加速度為. 設(shè)豎直線(xiàn)，斜槽， 易知，由正弦定理即又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿光滑面下滑，即質(zhì)點(diǎn)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).所以 有欲使質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對(duì)求導(dǎo)極大值時(shí)，故有由于是斜面的夾角，即所以解 質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降階段. 取向上為正各力示意圖如題1.19.1 圖，上升時(shí)下降時(shí)題1.19.1 圖則兩個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程為：上升下降：對(duì)上升階段:即對(duì)兩邊積分所以即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度對(duì)下降階段：即由二可得解 作子彈運(yùn)動(dòng)示意圖如題1.20.1 圖所示 .題 1.20.1 圖水平方向不受外力，作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)有豎直方向作上拋運(yùn)動(dòng)，有由得代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樽訌椀倪\(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射時(shí)仰角

7、有關(guān)，即是的函數(shù)，所以要求的最大值. 把對(duì)求導(dǎo)，求出極值點(diǎn).即 所以，代入的表達(dá)式中可得：此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離的最大值解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道上沒(méi)點(diǎn)切線(xiàn)所在的直線(xiàn)方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線(xiàn)方向上有：軌道的法線(xiàn)方向上有：由于角是在減小的，故由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來(lái)確定，故我們要想法使變成關(guān)于的等式由 即 把代入可得 用可得即，兩邊積分得代入初始條件時(shí)，即可得 代入式，得又因?yàn)樗园汛敕e分后可得各量方向如題1.22.1 圖 .電子受力則電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為 - -由，即代入整理可得對(duì)于齊次方程的通解非齊次方

8、程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時(shí)，得故 , 時(shí)，得同理，把代入可以解由把代入代入初條件時(shí)，得 . 所以）證（a）在題中，時(shí)，則電子運(yùn)動(dòng)受力電子的運(yùn)動(dòng)微分方程 - -對(duì)積分對(duì)再積分又故（為一常數(shù)）此即為拋物線(xiàn)方程當(dāng)時(shí)則電子受力 則電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為 - -同題的解法，聯(lián)立-解之，得于是及電子軌道為半徑的圓.解以豎直向下為正方向，建立如題1.24.2 圖所示坐標(biāo)，3 個(gè)物體運(yùn)動(dòng)題 1.24.1 圖題圖以開(kāi)始所在位置為原點(diǎn).設(shè)-處物體所處坐標(biāo)分別為,微分方程為： - -由于與、之間是，即不可伸長(zhǎng)輕繩連接，所以有，即之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有由得由得代入，有代入，有.此即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

9、運(yùn)動(dòng)方程.角頻率所以周期解得以初始時(shí)為原點(diǎn)，時(shí)，.所以代入得聯(lián)立 - 得解， 選向下為正方向，滑輪剛停時(shí)物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn). 建立如題 . 圖所示坐標(biāo)系.題 2.15.1 圖原點(diǎn)的重力勢(shì)能設(shè)為0. 設(shè)彈簧最大伸長(zhǎng). 整個(gè)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒： -聯(lián)立得彈簧的最大張力即為彈簧伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的彈力，為最大張力，即解 以繩頂端為坐標(biāo)原點(diǎn). 建立如題1.26.1 圖所示坐標(biāo)系.題 1.26.1 圖則有 , 設(shè)繩的彈性系數(shù)為當(dāng) 脫離下墜前，與系統(tǒng)平衡. 當(dāng)脫離下墜前，在拉力作用下上升，之后作簡(jiǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)微分方程為聯(lián)立得齊次方程通解非齊次方程的特解所以的通解代入初始條件：時(shí)，得；故有 即為在任

10、一時(shí)刻離上端的距離解對(duì)于圓柱凸面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖1-24.運(yùn)動(dòng)的軌跡的切線(xiàn)方向上有:法線(xiàn)方向上有：對(duì)于有（為運(yùn)動(dòng)路程，亦即半圓柱周?chē)￠L(zhǎng)）即又因?yàn)榧丛O(shè)質(zhì)點(diǎn)剛離開(kāi)圓柱面時(shí)速度，離開(kāi)點(diǎn)與豎直方向夾角，對(duì)式兩邊積分剛離開(kāi)圓柱面時(shí)即聯(lián)立得即為剛離開(kāi)圓柱面時(shí)與豎直方向夾角.解 建立如題1.28.1 圖所示直角坐標(biāo).橢圓方程從滑到最低點(diǎn)，只有重力做功. 機(jī)械能守恒. 即設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對(duì)它的支持力為則有：為點(diǎn)的曲率半徑.的軌跡：得；又因?yàn)樗怨矢鶕?jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對(duì)橢圓壓力為方向垂直軌道向下.解質(zhì)點(diǎn)作平面直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為 -由曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力分析，我們可

11、以得到： -因?yàn)榍€(xiàn)上每點(diǎn)的曲率所以把代入曲率公式中 所以 由 即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以把代入證當(dāng)題所述運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線(xiàn)不光滑時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:由題可知由數(shù)學(xué)知識(shí)知把代入這是一個(gè)非齊次二階微分方程.解為當(dāng)時(shí)，得即當(dāng)，時(shí)，即故有證：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)受力分析如圖1.31.1圖所示。因?yàn)榧此杂謫螖[擺角很小，有=上式即化為：此即為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動(dòng)方程。設(shè)為固有頻率，又由于，即阻力很小的情況。方程的解為所以單擺振動(dòng)周期結(jié)論得證。1.32 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)，如圖1.32.1 圖。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來(lái)分析此題，則質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)大小為的非慣性力，方向與相反。質(zhì)點(diǎn)

12、在楔子這個(gè)非慣性系中沿斜面下滑，沿斜面的受力分析：垂直斜面受力平衡：聯(lián)立得此即楔子相對(duì)斜面的加速度。對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)的支持力等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的和楔子對(duì)斜面的壓力為綜上所述可得解 設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運(yùn)動(dòng)如題1.33.1 圖，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個(gè)非慣性系里來(lái)分析此題。圓圈上的小環(huán)會(huì)受到一個(gè)大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓圈上某點(diǎn)，切線(xiàn)方向受力分析：法線(xiàn)方向受力分析有：對(duì) 兩邊同乘以即 兩邊同時(shí)積分 把代入可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)的相對(duì)速度綜上所述，小環(huán)的相對(duì)速度圈對(duì)小環(huán)的反作用力證

13、： （ 1）當(dāng)火車(chē)所受阻力為常數(shù)時(shí)，因?yàn)楣β逝c牽引力有如下關(guān)系：所以即對(duì)兩邊積分（ 2）當(dāng)阻力和速度成正比時(shí)，設(shè)=，為常數(shù)。同理由（1）可知即對(duì)兩邊積分解 錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得， 所以， 即故兩邊同時(shí)積分得又因?yàn)楫?dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時(shí)有為常數(shù)，所以即由得整個(gè)過(guò)程壓力所做功又因?yàn)榧磳?duì)上式兩邊分段積分得1 36，代入上式）保守力滿(mǎn)足條件對(duì)題中所給的力的表達(dá)式a（ 解即所以此力是保守力，其勢(shì)為（b） 同（a） ，由所以此力是保守力，則其勢(shì)能為解（a）因?yàn)橘|(zhì)子與中子之間引力勢(shì)能表達(dá)式為故質(zhì)子與中子之間的引力（b）質(zhì)量為的粒子作半徑為的圓運(yùn)動(dòng)。動(dòng)量矩由（a）知

14、提供粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向是沿著徑向， 故當(dāng)半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)兩式兩邊同乘以 即又因?yàn)橛凶鰣A周運(yùn)動(dòng)的粒子的能量等于粒子的動(dòng)能和勢(shì)能之和。 所以解 要滿(mǎn)足勢(shì)能的存在，即力場(chǎng)必須是無(wú)旋場(chǎng)，亦即力為保守力，所以 即得為常數(shù)滿(mǎn)足上式關(guān)系，才有勢(shì)能存在。勢(shì)能為：證 質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的力的作用。設(shè)此力為又因?yàn)榧串?dāng)質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)處到達(dá)時(shí)，對(duì)式兩邊分別積分:當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)，對(duì)式兩邊分別積分：得所以質(zhì)點(diǎn)自無(wú)窮遠(yuǎn)到達(dá)時(shí)的速率和自靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)的速率相同。1.40 解由題可知（因?yàn)槭且?，方向與徑向相反所以要有負(fù)號(hào)）由運(yùn)動(dòng)微分方程即 對(duì)上式兩邊積分 故又因?yàn)榕c的方向相反，故取負(fù)號(hào)。 即證 畫(huà)出有心力場(chǎng)

15、中圖示如題. 圖，我們采用的是極坐標(biāo)。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動(dòng)能定理沿方向得證 （）依據(jù)上題結(jié)論，我們?nèi)匀蝗O坐標(biāo)如題1.42.1 圖。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓周，則其極坐標(biāo)方程為由得即故即力與距離5 次方成正比，負(fù)號(hào)表示力的方向與徑向相反。（） 質(zhì)點(diǎn)走一對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)，極點(diǎn)為力心，我們?nèi)圆捎脴O坐標(biāo)。對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)為常數(shù)。有根據(jù)題，常數(shù)，有故得證。證由畢耐公式質(zhì)點(diǎn)所受有心力做雙紐線(xiàn)運(yùn)動(dòng)故故由畢耐公式證.將力帶入此式因?yàn)樗约瓷鲜交癁檫@是一個(gè)二階常系數(shù)廢氣次方程。解之得微積分常數(shù)，取，故有令所以證 由題意可知，質(zhì)點(diǎn)是以太陽(yáng)為力心的圓錐曲線(xiàn)，太陽(yáng)在焦點(diǎn)上 軌跡方程為在近日點(diǎn)處在遠(yuǎn)日點(diǎn)處由角動(dòng)

16、量守恒有所以解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)速率所以又由于即又因?yàn)樗詢(xún)蛇叿e分即證（）設(shè)地球軌道半徑為。則彗星的近日點(diǎn)距離為。圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為彗星軌道為拋物線(xiàn)，即。近日點(diǎn)時(shí)。故近日點(diǎn)有即又因?yàn)?所以（彗星在單位時(shí)間內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積）掃過(guò)扇形面積的速度又因?yàn)楣蕛蛇叿e分從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點(diǎn)為地球軌道半徑處。即即又因?yàn)樗园汛耄ㄊ酱霑r(shí)取“ +”即可）故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間為 設(shè)地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為。 因?yàn)榧俣ǖ厍蜻\(yùn)動(dòng)軌道為圓形，所以又由于，有 地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積。 掃過(guò)扇形速度（）由證明（）知 彗星在地球軌道內(nèi)停留時(shí)間對(duì)此式求極大值，即對(duì)求導(dǎo)，使 即即得驗(yàn)證故為極大值

17、，代入式可知解由§給出的條件：人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點(diǎn)距離分別為地球半徑有橢圓運(yùn)動(dòng)中的能量方程可知：為衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道的長(zhǎng)軸把代入有近地點(diǎn)速率遠(yuǎn)地點(diǎn)速率運(yùn)動(dòng)周期（參見(jiàn)）其中為運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸所以由行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)的能量方程為 證為橢圓的半長(zhǎng)軸。令又因?yàn)?，上式化為：因?yàn)榧此杂忠驗(yàn)樾行菣E圓軌道運(yùn)動(dòng)周期即常數(shù)，故又因?yàn)闉檎瓜业囊话胨杂深}意可知即把代入可得化簡(jiǎn)可得即兩邊積分，由題設(shè)即質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能量和角動(dòng)量均守恒。無(wú)窮遠(yuǎn)解處勢(shì)能為零。所以任意一處由代入.所以第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)第二章習(xí)題解答解 均勻扇形薄片，取對(duì)稱(chēng)軸為軸，由對(duì)稱(chēng)性可知質(zhì)心一定在軸上有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為

18、，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有解 建立如圖2.2.1 圖所示的球坐標(biāo)系把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。設(shè)均勻球體的密度為。則 由對(duì)稱(chēng)性可知，此球帽的質(zhì)心一定在軸上。 代入質(zhì)心計(jì)算公式，即解 建立如題2.3.1 圖所示的直角坐標(biāo)，原來(lái)與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的（因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運(yùn)動(dòng)：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地，水平距離

19、第二次運(yùn)動(dòng): 在最高點(diǎn)人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動(dòng)量守恒，有可知道水平距離跳的距離增加了2.4 解 建立如圖2.4.1 圖所示的水平坐標(biāo)。以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有對(duì)分析；因?yàn)樵谂舷禄?，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。如圖2.4.2 圖所示。所以相對(duì)下滑。由牛頓第二定律有所以水平方向的絕對(duì)加速度由可知聯(lián)立，得把代入，得負(fù)號(hào)表示方向與軸正方向相反。求劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)反作用力。用隔離法。單獨(dú)考察質(zhì)點(diǎn)的受力情況。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)垂直斜劈運(yùn)動(dòng)的加速度為0，所以把代入得，水平面對(duì)劈的反作用力。仍用隔離法。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o(wú)加速度，所以于是2.5 解

20、 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。如圖 2.5.1 圖所示薄圓盤(pán)，任取一微質(zhì)量元，所以圓盤(pán)繞此軸的動(dòng)量矩解炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個(gè)部分，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻模⒁淮怂俣确謩e作平拋運(yùn)動(dòng)。由前面的知識(shí)可知，同一高處平拋運(yùn)動(dòng)的物體落地時(shí)的水平距離之差主要由初速度之差決定。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無(wú)外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒：以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過(guò)程中能量守恒：聯(lián)立解之，得 所以落地時(shí)水平距離之差解 建立如題2.7.1 圖所示的直角坐標(biāo)系。當(dāng)沿半圓球下

21、滑時(shí)，將以向所示正方向的反向運(yùn)動(dòng)。以、組成系統(tǒng)為研究對(duì)象,系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，即 相對(duì)于地固連的坐標(biāo)系的絕對(duì)速度為相對(duì)的運(yùn)動(dòng)速度 故水平方向 豎直方向 在下滑過(guò)程中，只有保守力（重力）做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒： （以地面為重力零勢(shì)能面）把代入二把代入2.8 證 以連線(xiàn)為軸建立如題2.8.1 圖所示的坐標(biāo)。設(shè)初始速度為與軸正向夾角碰撞后，設(shè)、 運(yùn)動(dòng)如題2.8.2 圖所示。 、 速度分別為、，與軸正向夾角分別為、。以、為研究對(duì)象，系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒。方向：垂直軸方向有：可知整個(gè)碰撞過(guò)程只有系統(tǒng)內(nèi)力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：由得 即兩球碰撞后速度相互垂直，結(jié)論得證解 類(lèi)似的碰撞問(wèn)題，我們一般

22、要抓住動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理得運(yùn)用，依次來(lái)分析條件求出未知量。設(shè)相同小球?yàn)?，初始時(shí)小球速度，碰撞后球的速度圖所示的坐標(biāo)2.9.1 球的速度以碰撞后球速度所在的方向?yàn)檩S正向建立如題為，（ 這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡(jiǎn)化表達(dá)式） 。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。方向上有：方向上有：又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù)即二用-用代入得求在各種值下角的最大值，即為求極致的問(wèn)題。我們有得即 =0所以即由因?yàn)楣仕砸詾檠芯繉?duì)象。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，隨即在不可伸長(zhǎng)的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。以的連線(xiàn)為軸建立如題2.10.1 圖所示。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒：隨即在的約束下方向變?yōu)檠?/p>

23、軸的正向，速度變?yōu)楣?方向上有故恢復(fù)系數(shù)定義有：即聯(lián)立得解 如圖所示，有兩質(zhì)點(diǎn)，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開(kāi)始時(shí)靜止?，F(xiàn)在有一沖量作用與，則作用后，得到速度，仍靜止不動(dòng)：。它們的質(zhì)心位于原點(diǎn)，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因?yàn)橄到y(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)心系是慣性系，且無(wú)外力，所以， 分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)時(shí)間后，如圖所示：于是在系中的速度的速度： 因此解 對(duì)于質(zhì)心系的問(wèn)題，我們一般要求求出相對(duì)固定參考點(diǎn)的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，由此去計(jì)算物體相對(duì)或絕對(duì)物理量及其間的關(guān)系。由

24、題可知，碰前速度為，速度。碰后速度，分別設(shè)為。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒。有恢復(fù)系數(shù)聯(lián)立得 再由質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對(duì)固定點(diǎn)位矢，分別為，對(duì)同一固定點(diǎn)的位矢所以（質(zhì)點(diǎn)組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。）設(shè)兩球碰撞后相對(duì)質(zhì)心的速度，。（負(fù)號(hào)表示與相反）同理，碰撞前兩球相對(duì)質(zhì)心的速度（負(fù)號(hào)表示方向與相反）所以開(kāi)始時(shí)兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能：2.13 用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過(guò)程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。有此類(lèi)題為變質(zhì)量問(wèn)題，我們一般研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系以豎直向上我軸正向建立如題2.14.1 圖所示坐標(biāo)。繩索離地面還剩長(zhǎng)時(shí)受重力則所以求

25、地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對(duì)繩索的支持力即可，它們是一對(duì)作用力與反作用力。這是我們以快要落地的一小微元作為研究對(duì)象。它的速度由變?yōu)?。用動(dòng)量守恒，有又因?yàn)榻?這是一道變質(zhì)量的問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，我們由書(shū)上的（2.7.2 ）式來(lái)分析。以機(jī)槍后退方向作為軸爭(zhēng)先，建立如題2.15.1 圖的坐標(biāo)。豎直方向上支持力與重力是一對(duì)平衡力。水平方向上所受合外力F 即為摩擦力單位時(shí)間質(zhì)量的變化由式所以解 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問(wèn)題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書(shū)上的（2.7.4 ）式分析雨滴的質(zhì)量變化是一類(lèi)比較特殊的變質(zhì)量問(wèn)題。我們知道處理這類(lèi)問(wèn)題常常理想化模型的幾何形狀。對(duì)于雨

26、滴我們?？闯汕蛐?，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即為常數(shù)。我們對(duì)式兩邊求導(dǎo)由于二，所以對(duì)式兩邊積分以雨滴下降方向?yàn)檎较?，?duì)式分析（為常數(shù)），所以證 這是變質(zhì)量問(wèn)題中的減質(zhì)量問(wèn)題，我們?nèi)杂脮?shū)上（2.7.2） 式來(lái)分析。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。以向上為正方向，則火箭任一時(shí)刻的質(zhì)量噴氣速度2074是指相對(duì)火箭的速度，即。有式化簡(jiǎn)對(duì)兩邊積分In此既火箭速度與時(shí)間的關(guān)系。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知代入可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。又當(dāng)時(shí)，而要用此火箭發(fā)射人造太陽(yáng)行星

27、需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。故所攜帶燃料重量至少是空火箭重量的300 倍。證 要使火箭上升，必須有發(fā)動(dòng)機(jī)推力火箭的重量，即即火箭才能上升，結(jié)論得證。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線(xiàn)性規(guī)律火箭飛行速度又因?yàn)槿剂先紵龝r(shí)間代入得火箭最大速度又因?yàn)槭接挚梢詫?xiě)成積分可得從開(kāi)始到燃燒盡這一段時(shí)間內(nèi)火箭上升高度。把代入得之后火箭作初速度為的豎直上拋運(yùn)動(dòng)。可達(dá)高度故火箭能達(dá)到的最大高度證 假設(shè)該行星做橢圓運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為，周期為。某一時(shí)刻位置為，速度為，則又因?yàn)橛谑堑谌?剛體力學(xué)第三章習(xí)題解答解 如題 3.1.1 圖。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒與水平方向的夾角為。設(shè)棒的長(zhǎng)度

28、為。由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。沿過(guò)點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。即： 由式得： 又由于即 將代入得：解 如題 3.2.1 圖所示，均質(zhì)棒分別受到光滑墻的彈力，光滑棱角的彈力，及重力。 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以沿方向的合力矩為零。即由式得：所以解 如題 3.3.1 圖所示。棒受到重力。棒受到的重力。設(shè)均質(zhì)棒的線(xiàn)密度為。由題意可知，整個(gè)均質(zhì)棒沿軸方向的合力矩為零。解 如題 3.4.1 圖。軸豎直向下，相同的球、 互切， 、 切于點(diǎn)。 設(shè)球的重力大小為，半徑為， 則對(duì)、 、三個(gè)球構(gòu)成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在軸方向的合力應(yīng)為零。即：對(duì)于球，它相對(duì)于過(guò)點(diǎn)與軸平行的軸的合力矩等于零。即：由式得：解

29、 如題 3.5.1 圖。梯子受到地面和墻的彈力分別為， 受地面和墻的摩擦力分別為，。 梯子和人的重力分別為，且。設(shè)梯長(zhǎng)為，與地面夾角為。由于梯子處于平衡，所以且梯子沿過(guò)點(diǎn)平行于軸的合力矩為零。即：又因梯子是一個(gè)剛體。當(dāng)一端滑動(dòng)時(shí)，另一端也滑動(dòng)，所以當(dāng)梯與地面的傾角達(dá)到最小時(shí)，由得：所以解（a）取二原子的連線(xiàn)為軸，而軸與軸通過(guò)質(zhì)心。為質(zhì)心，則，軸即為中心 慣量主軸。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（如題3.6.2 圖）故且由得所以中心慣量主軸：（b）如題3.6.3圖所示，該原子由、三個(gè)原子構(gòu)成。為三個(gè)原子分子的質(zhì)心。由對(duì)稱(chēng)性可知，圖中、軸即為中心慣量主軸。設(shè)、三原子的坐標(biāo)分別為，因?yàn)闉榉肿拥馁|(zhì)心。所以二

30、又由于由得: 故該分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 如題 3.7.1 圖所示。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，則該橢圓方程為：可求該切面的面積故積分同理可求故中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：又由于橢球體積故將代入得：解 設(shè)表示距球心為的一薄球殼的質(zhì)量，則所以該球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量在對(duì)稱(chēng)球中，繞直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又球的質(zhì)量又繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑 由得解 如題 3.9.1 圖所示坐標(biāo)系。為正方體中心。、 、 分別與正方體的邊平行。由對(duì)稱(chēng)性可知，、 、 軸就是正方體的中心慣量主軸。設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為。設(shè)為平行于軸的一小方條的體積，則正方體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得易求正方體的對(duì)角線(xiàn)與、軸的夾角都為。且故正方體繞對(duì)角線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又

31、由于繞對(duì)角線(xiàn)的回轉(zhuǎn)半徑由得解 如題 3.10.1 圖。軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。均質(zhì)圓盤(pán)的密度為。設(shè)盤(pán)沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則沿的方向有即為轉(zhuǎn)盤(pán)繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（為盤(pán)的質(zhì)量），（為盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率，負(fù)號(hào)因?yàn)橐?guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）二由得又因?yàn)楣仕缘媒?如題 3.11.1 圖所示，設(shè)軸通過(guò)點(diǎn)垂直紙面指向外。則對(duì)軸有：設(shè)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為，由于通風(fēng)機(jī)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。所以， 將代入上式得：又由于，解得：（為通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）故當(dāng)時(shí)，ln0又由于 設(shè)，,時(shí)間內(nèi)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)數(shù)故當(dāng)為時(shí),3.12.1 圖，解 如題3.12.1 第圖 且 坐標(biāo)與薄片固連，則沿軸方向有： 現(xiàn)取如圖陰影部分的小區(qū)域，該區(qū)域受到的阻力對(duì)軸的力矩所以

32、又薄片對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由得：當(dāng)時(shí)， 解 如題 3.13.1 圖所示，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于圓弧最頂點(diǎn)。設(shè)圓弧平衡時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿(mǎn)足微分方程為圓弧相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)很小時(shí)，代入上式得：圓弧上對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線(xiàn)密度其中，將代入得解式得通解 微振動(dòng)周期解 如題 3.14.1 圖所示坐標(biāo)系。由動(dòng)量定理及動(dòng)量矩定理得:又根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：由解得：解 如題 3.15.1 圖所示坐標(biāo)系。由于球作無(wú)滑滾動(dòng)，球與地面的接觸的速度與地面一致，等于零， 所以點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。以為基點(diǎn)。設(shè)球的角速度，則設(shè)輪緣上任意一點(diǎn)，與軸交角為，則故當(dāng)時(shí)，

33、得最高點(diǎn)的速度當(dāng)和時(shí)分別得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度解 如題 3.16.1 圖所示，由題意知該時(shí)刻瞬心一定處在的垂線(xiàn)中。設(shè)瞬心為。則易知的方向如圖，在中即為與邊的夾角大小。解 如題 3.17.1 圖所示，點(diǎn)為極軸的原點(diǎn)，極軸過(guò)點(diǎn)，所以在桿上任意一點(diǎn)。設(shè)。設(shè)的坐標(biāo)為再來(lái)求瞬心的軌跡。由于點(diǎn)速度沿弧面，點(diǎn)的速度沿桿?，F(xiàn)分別作與的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則即為瞬心（見(jiàn)題3.17.1 圖） 。當(dāng)點(diǎn)的極角為時(shí)，易知點(diǎn)的極角，故點(diǎn)的極徑易證明為等腰三角形。有<<00所以點(diǎn)軌跡位于軸上方，半徑為的半圓，如圖虛線(xiàn)所示。又因?yàn)?，所以解 如題 3.18.1 圖所示。由于圓盤(pán)作無(wú)滑滾動(dòng)，所以為圓盤(pán)的瞬心，故，設(shè)圓盤(pán)

34、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則因?yàn)辄c(diǎn)的速度沿地面水平向右，分別作和的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為桿的瞬心。且得由幾何知識(shí)可知與豎直方向夾角為，又知又，所以又。即：得解 如題 3.19.1 圖，固定坐標(biāo)系。桿從水平位置擺到豎直位置過(guò)程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒。設(shè)此時(shí)的角速度為，則右邊第一項(xiàng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，第二項(xiàng)為桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。解上式得：在桿脫離懸點(diǎn)后，根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理： 式中為桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為沿過(guò)質(zhì)心平行于軸的合力矩，易知，又，代入 式得即桿將作勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 解得所以質(zhì)心的軌跡為一拋物線(xiàn)。故當(dāng)時(shí)，桿的質(zhì)心下降，代入式得故時(shí)間內(nèi)桿的轉(zhuǎn)數(shù)解 如題 3.20.1 圖，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，設(shè)它受

35、到地面的摩擦力為，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理知： 對(duì)于滑塊。由動(dòng)量定理知：以為基點(diǎn)：假設(shè)純不可拉伸。則。故由解得：解 （ 1）如題 3.21.1 圖。設(shè)軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。繩子上的彈力為。對(duì)于飛輪，根據(jù)動(dòng)量矩定理，在軸方向：為物塊下落的加速度。因?yàn)槲飰K的加速度應(yīng)與點(diǎn)加速度一樣大小，故由解得：（ 2）假若飛輪受到的阻尼力矩為的話(huà)，由（1）問(wèn)知，飛輪的角加速度?，F(xiàn)在來(lái)求繩子脫落以后飛輪的角加速度。同樣根據(jù)動(dòng)量矩，在軸方向： 可以證明：類(lèi)似于位移、加速度、初速度和末速度之間的關(guān)系式。角位移、角加 速度、角初速度、角末速度之間也有類(lèi)似的關(guān)系：對(duì)于繩子脫落到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程有：式中指繩子脫落時(shí)飛輪的角加速度，

36、由解得:解 如題 3.22.1 圖。軸與速度方向一致，軸垂直紙面向外。設(shè)球的半徑為，則球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理可知：設(shè)球與板的接觸點(diǎn)為，則時(shí)刻點(diǎn)的速度為：球由滑動(dòng)變?yōu)闈L動(dòng)的條件是： 由解得：解 如題 3.23.1 圖所示。設(shè)圓柱的半徑為，與木板之間的摩擦力為，彈力為，木板受地面的摩擦力為，彈力為，對(duì)木板由動(dòng)量定理得：對(duì)圓柱，由角動(dòng)量定理和動(dòng)量定理得：其中為圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以無(wú)滑滾動(dòng)的條件： 由式解得解 如題 3.24.1 圖，>,所以圓柱與斜面接觸的邊緣有相對(duì)坐標(biāo)不與圓柱固連，是固定坐標(biāo)系。由于與斜面向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，所以斜面對(duì)圓柱的摩擦力沿斜面向下。對(duì)圓柱

37、： 由式得設(shè)從到的過(guò)程中，圓柱的速度從變到，角速度從變到，所以解 如題 3.25.1 圖。設(shè)大球和小球的半徑分別為，。分別為大球和小球的球心，為方向豎直向下的定線(xiàn)，為小球上的一動(dòng)線(xiàn)。當(dāng)小球位于大球頂端時(shí)，與重合。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無(wú)滑條件：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖示位置過(guò)程中，機(jī)械能守恒，即由解得3.26 如題 3.26.1 圖所示坐標(biāo)系。設(shè)桿的長(zhǎng)度為，質(zhì)量為。受到墻和地面的作用力分別為，當(dāng)桿與地面的傾斜角為時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為：對(duì)上兩式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，的質(zhì)心的速度和加速度：由得對(duì)式求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得又由動(dòng)量定理當(dāng)桿脫離墻時(shí)，有由得.所以解如題3.27.1圖, 設(shè)為桿與地面的傾角，為桿脫離墻時(shí)的值。設(shè)桿脫離墻時(shí)，桿的角速度為橫縱速度分別為當(dāng)桿落地時(shí)，質(zhì)心的橫縱速度分別為桿的角速度為。 當(dāng)由變?yōu)?的過(guò)程 中，機(jī)械能守恒：又因?yàn)榇诉^(guò)程中桿已離開(kāi)墻，所以桿在水平方向受力為零，故質(zhì)心水平方向勻速， 即又點(diǎn)只有水平方向的速度，根據(jù)，知當(dāng)桿落地時(shí)，與有如下關(guān)系：且由題式得：將代入得：由題式得將代入得解如題3.28.1圖。對(duì)圓柱有如下基本運(yùn)動(dòng)微分方程:.由得 將代入得解 如題 3.2