最全圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、注意：若PFiPF2F動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形.2 X(1)橢圓：焦點(diǎn)在X軸上時(shí)六 a2為參數(shù))，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)-yy a2.橢圓的幾何性質(zhì)：22(1)橢圓(以x2冬 1( a b兩個(gè)焦點(diǎn)(c,0)；對(duì)稱(chēng)性：訪(fǎng)：2 ,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段2-y- 1 (a2 b2 c2) b2x2-v= 1 ( a b 0)。bb 0)為例)：范圍：棄對(duì)稱(chēng)軸x 0, y 0 ,高中數(shù)學(xué)橢圓的知識(shí)總結(jié)1.橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(PF1 PF2 2a F1F2)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距F1F2；若 PF1 |PF2F1

2、F2I，則x acos (參數(shù)方程，其中 y bsina x a, b y b ;焦點(diǎn)：一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(0,0 ),四個(gè)頂點(diǎn)(a,0),(0, b),其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b；離心率：e c,橢圓 0 e 1, e a越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。22(2).點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓外x2 y 1；a b2222點(diǎn)P(X0,y°)在橢圓上笠咚=1;點(diǎn)P(X0,y°)在橢圓內(nèi)多 寫(xiě)1aba b3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 ：(1)相交： 0直線(xiàn)與橢圓相交；(2)相切： 0直線(xiàn)與橢圓相切；(3)相離：0直線(xiàn)與橢圓相離；22如：直線(xiàn)ykx 1=0與橢圓

3、 上 1恒有公共點(diǎn)，則 m的取值范圍是 ;5 m4 .焦點(diǎn)三角形(橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)5 .弦長(zhǎng)公式：若直線(xiàn)y kx b與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn) A、B,且x1,x2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則AB =J1 k2|x x2 ,若y1，y2分別為A、B的縱坐標(biāo)，則 AB = Jy ,若弦ABk k所在直線(xiàn)方程設(shè)為 x ky b ,則|AB = V1 k21y1 y2 。6 .圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法” 求解。在橢圓222xyb x021中，以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的斜率 k=工；aba y0x2 y如(1)如果橢圓 一 匚 1弦被點(diǎn)A (

4、4, 2)平分，那么這條弦所在的直線(xiàn)方程是 ;36922(2)已知直線(xiàn)y=x+1與橢圓 4 1(a b 0)相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段 AB的中點(diǎn)在直 a b線(xiàn)L: x2y=0上，則此橢圓的離心率為 ;22(3)試確定m的取值范圍，使得橢圓 上 1上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn) y 4x m對(duì)稱(chēng)；43特別提醒：因?yàn)?是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)0!橢圓知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用1 .如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，兩條對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是 坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a,b； 一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型。2 .橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量 a,b,c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：一 222(a b 0), (a c 0),且(a b c )?？山柚覉D理解記憶：a,b,c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3 .如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪個(gè)分母

6、大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件方程Ax2By2Ax2C可化為CBy2C21,即三 cBy2 c1,所以只后A、B、C同號(hào),ABC CC C且A B時(shí)，方程表本橢圓。當(dāng)一 一時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)一 一時(shí) 橢圓的焦點(diǎn)在 y A BA B軸上。5 .求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6 .共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異22

7、共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓與 1 (a b 0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為 a2 b222xv 一 .2、一 一 一 、一. -y- 1(m b ),此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。a m b m7 .判斷曲線(xiàn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的依據(jù)： 若把曲線(xiàn)方程中的x換成x,方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)； 若把曲線(xiàn)方程中的y換成y,方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)； 若把曲線(xiàn)方程中的x、y同時(shí)換成 x、 y,方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。8 .如何求解與焦點(diǎn)三角形 PF1F2 (P為橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題思路分析：與焦點(diǎn)三角形 PFF2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦、一 一一 、一 1定理(或勾

8、股定理)、三角形面積公式 S pFiF2 - PFi PF2 sin F1PF2相結(jié)合的 1 22方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線(xiàn)段|pf1、pf2、F1F2| ,有關(guān)角 F1PF2( F1PF2F1BF2)結(jié)合起來(lái)，建立PF1I 匹卜|PFj IPF2之間的關(guān)系.9 .如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系22xyoo例3.已知P為橢圓 1 1上的一點(diǎn)，M , N分別為圓(x 3)2 y2 1和圓 2516(x 3)2 y2 4上的點(diǎn)，則PM |PN的最小值為題型2:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、求滿(mǎn)足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) A(V3, 2), B( 2后)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, - 3)

9、且與橢圓9x2 4y2 36具有共同的焦點(diǎn)；(3) 一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為472 -4.題型3:求橢圓的離心率例1、 ABC中， A 30o, AB 2, Svabc J3,若以A, B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ,則橢圓的離心率為.例2、過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于 P,若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用(范圍、對(duì)稱(chēng)性等)22例1.已知實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足上L421,貝U x2 y2 x的范圍為c長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e -(0 e 1),因?yàn)?a22例2.已知點(diǎn)A,

10、 B是橢圓上萬(wàn)豈21m nuuum 0, n 0 )上兩點(diǎn)，且AOuurBO ,則=22,2c a b , a c 0,用a、b表小為e1 (b)2(0ae 1)。題型5:焦點(diǎn)三角形問(wèn)題22例1.已知F1,F2為橢圓941的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn),已知P,F1,F2為一個(gè)直角三顯然：當(dāng)b越小時(shí)，e(0 a橢圓形狀越趨近于圓。題型1：橢圓定義的運(yùn)用e 1)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，e(0 e 1)越小, a角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且 PF1IpfJpf2，求一1的值.PF22 x 例1.已知F1,F為橢圓 252y-1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) F1的直線(xiàn)交橢圓于 A、B兩點(diǎn)若F2A EB 12,則 AB 2

11、2例2.已知后下2為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，在C上滿(mǎn)足PF1PF2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.841 一一例3.已知橢圓的焦點(diǎn)是F)(Q 1),F2(Q1),且離心率e - 求橢圓的方程； 設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且 PF1PF2 1,求 cos F1PF2.例2.如果方程x2 ky2 2表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，那么實(shí)數(shù) k的取值范圍是 2y 1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍;m題型6:三角代換的應(yīng)用x2y2 .、, 一 .例1.橢圓一 匚 1上的點(diǎn)到直線(xiàn)l: x y 9 0的距離的最小值為169x2 y2 .一例2.橢圓一 U i的內(nèi)接矩形的面積的最大值為169題型7:直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的判斷22例1.當(dāng)m為何值

12、時(shí)，直線(xiàn) y x m與橢圓 1相交相切相離1692x例2.若直線(xiàn)y kx 1(k R)與橢圓一 5題型8:弦長(zhǎng)問(wèn)題223.橢圓上工 1的一條弦被 A 4,2平分，那么這條弦所在的直線(xiàn)方程是3694 .若F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,則此橢圓的離心率為x2 y2_.、一.一 5 .在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 一2 七 1(a b 0)的焦距為2c,以。為圓心，a為半徑的圓， a b2過(guò)點(diǎn)(,0)作圓的兩切線(xiàn)互相垂直，則離心率 e=.c，雙曲線(xiàn)基本知識(shí)點(diǎn)例3.橢圓mx2OC的斜率為22ny(O為原點(diǎn))，求橢圓的方程.雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程

13、(焦點(diǎn)在x軸)22與 4 1(a 0,b 0) a b標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在 y軸)22當(dāng)3 1(a 0,b 0) a b定義定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 , F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于 F1F)的點(diǎn)的軌跡叫 雙曲線(xiàn)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。M MF1 MF2 2a 2a "眉pyxF1F2yF1范圍x a, y Ry a, x R對(duì)稱(chēng)軸x軸，y軸；實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)O(0,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)F1( c,0) F2(c,0)F1(0, c)F2(0,c)4x2 y2,例1.求直線(xiàn)y 2x 4被橢圓 ，1所截得的弦長(zhǎng)992例2.已知橢圓 y2 1

14、的左右焦點(diǎn)分別為 F1,F2,若過(guò)點(diǎn)P (0, -2 )及F1的直線(xiàn)交橢圓于 A,B 2兩點(diǎn)，求ABE的面積；題型9:中點(diǎn)弦問(wèn)題22例1.求以橢圓 1內(nèi)的點(diǎn)A (2,-1)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程。85例2.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1 (0,450)的橢圓截直線(xiàn)y 3x 2所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 j ,求橢圓的方程.1與直線(xiàn)x y 1相交于A(yíng) B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn).若AB鞏固訓(xùn)練1 .如圖，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線(xiàn)AB1與BF交于D,且 BDB1=90o,則橢圓的離心率為x2_uuu uuu2 .設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓 y2 1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng) F1PF2面積為1時(shí)，PF1 PF

15、2的值為4焦點(diǎn)在實(shí)軸上，c Ja2 b2 ；焦距：F1F2 2c頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)( a,0)(0, a,)(0, a)離心率e a JHF,(e 1)漸近線(xiàn)方程b y -x aay bx共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程22、k (k 0)a2 b222與0 k (k 0)a2b2直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置22雙曲線(xiàn) 二 1 1與直線(xiàn)y kx b的位置關(guān)系： a b221-利用 a2 b21轉(zhuǎn)化為一兀二次方程用判別式確定。y kx b二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為零直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行。相交弦 AB的弦長(zhǎng) |ab J1 k2>/（x1 x2）2 4x（x2補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn):22c. - -y- 1(y > 3)169同

16、步練習(xí)一：如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為例2、A.2 x 763 一x , 42y9 1(y0 3)則離心率為（已知雙曲線(xiàn)12 k 1542 y_kD. ,31的離心率為D. 12 kk的范圍為（等軸雙曲線(xiàn)的主要性質(zhì)有：（1）半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)（一般而言是 a=b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是 a,b這兩 個(gè)字母）；(2)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2C ,其中 C 0 ；(3)離心率e 、, 2 ；(4)漸近線(xiàn)：兩條漸近線(xiàn)y=±x互相垂直;例題分析:例1、動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F1（0,5）與點(diǎn)F2（0, 5）滿(mǎn)足PF1PF26,則點(diǎn)P的軌跡方程為（A.22x _y_ d一 191622B .- y

17、11692同步練習(xí)二：雙曲線(xiàn)與a2例3、設(shè)P是雙曲線(xiàn)與 ay_b22 y91的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則雙曲線(xiàn)的離心率為1上一點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為3x 2y 0, F1, F2分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若 PF13 ,則PF2的值為同步練習(xí)三：若雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0, 2）,（Q2）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2 J15）,則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例4、下列各對(duì)曲線(xiàn)中，即有相同的離心率又有相同漸近線(xiàn)的是（x22(A) - -y =1(C)y 2-二=13同步練習(xí)四上且PF12A.和x2-2 x =13y-=13(B)(D)2 -y 2=1 和 y2- 土 =133：已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),PF2 ,且PF

18、1F2的面積為例5、與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離是(A) 8同步練習(xí)五：以22-y 2=1和工39兩個(gè)焦點(diǎn)Fi, F2分別為（J5,。）和（50,0），點(diǎn)p在雙曲線(xiàn)1,則雙曲線(xiàn)的方程為（2 x C .42 工16(B)1有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(C) 2J3x為漸近線(xiàn)，一個(gè)焦點(diǎn)是 F （0,A（2)3,2/3的雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條(D) 1的雙曲線(xiàn)方程為例6、下列方程中，以x± 2y=0為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程是2x5.12012局考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若雙曲線(xiàn)一m2(A)162(B)x-4_21 (D)x則m的值為同步練習(xí)六：雙曲線(xiàn)8kx2-ky 2=8的一個(gè)焦點(diǎn)是（

19、0 , 3）,那么k的值是拋物線(xiàn)例7、經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)x221的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為330 °的弦AB,(1)求 |AB|.（2） F1是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，求 F1AB的周長(zhǎng).2同步練習(xí)七過(guò)點(diǎn)（0, 3）的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn) 42 1只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn) l的方程。3高考真題分析1.12012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線(xiàn)y2 16x的準(zhǔn)線(xiàn)交于A(yíng), B兩點(diǎn),AB 4J3 ;則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（(A) 2(B) 2 2(C)(D)2.12012高考山東文11】已知雙曲線(xiàn)C1 :2 y b21(a0,b 0）的離心率為2.若拋物線(xiàn)C22:x 2py(p0）的焦點(diǎn)到

20、雙曲線(xiàn) C1的漸近線(xiàn)的距離為2,則拋物線(xiàn)C2的方程為(A)28.3x y3(B)216 32x y (C) x 8y3(D)2x 16y3.12012高考全國(guó)文10】已知F1、52為雙曲線(xiàn)C:x22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上,| PE | 2 | PF2 |,則 cosF1PF2(B)44. （2011年高考湖南卷文科(C) 346）設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為則的值為（拋 物 線(xiàn)ly2 2px(P 0)4y(y2P2px0)x(1：22pyp 0)Jx (1 y2 2pyp 0)LlF定義平向內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的跑離相等的點(diǎn)的軌跡叫 做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。m|mf|=

21、M到直線(xiàn)l的距離做拋物線(xiàn)，點(diǎn)F叫范圍x0,Y Rx 0, Y RxR,Y 0x R, Y 0對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)隹百八、八、4,0)(-r0)。爭(zhēng)焦點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上頂點(diǎn)O(0,0)離心率e=1準(zhǔn)線(xiàn) 方程xIpx_p2Y 1準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的跑離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線(xiàn)的距離_p2焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線(xiàn)的距離P焦半徑A(Xi, Yi)AF x1 2AFx p x1 2AF Y1 wAFY11焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB(x1 x2) p(x1 x2) p(yy2) p(y y) p焦點(diǎn)弦AB的幾 條性質(zhì) A(x1,y)B(x2,y2)1J - oy<£xxxB2,y2以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)l相切若AB的傾斜角為,則|AB| 百一sin若AB的傾斜角為 ，則| AB 的p- cos2p2x1x2VlV2p411 AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線(xiàn) 方程y°y p(x %)y°yp(x x°)x°x p(y y°)x°xp(y y°)1、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系y1 y2 kx1b kx2 b k(x1 x2) 2by1y2 (kx1 b)(kx2 b) k2x1x2 kb(x1 x2) b2在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，