電子科技大學(xué)量子力學(xué)典型考題

1、電子科技大學(xué)量子力學(xué)典型考題Prepared on 24 November 2020電子科技大學(xué)二零零七至二零零學(xué)年第_L學(xué)期期先考試量子力學(xué)課程考試題A卷(120分鐘)考試形式：閉卷 考試曰期200 8年 月 日課程成績(jī)構(gòu)成：平時(shí)20分 期中10分、實(shí)驗(yàn). 0 分、期末70分四五六七A九十合計(jì)一、填空(每空2分，共30分)1、德布羅意關(guān)系為： E = ko 。=疝。(沒有寫為矢量也算正確)2、量子力學(xué)的狀態(tài)由波函數(shù) 描述,在體系空間r點(diǎn)處小體積元di內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率與波函數(shù)模的平方(呼F)成正比。3、非簡(jiǎn)并狀態(tài)加上微擾后，能級(jí)會(huì)發(fā)生移動(dòng)；而簡(jiǎn)并狀態(tài)加上微擾后,能級(jí)會(huì)發(fā)生也 一4、任意兩個(gè)力學(xué)

2、量A和B有共同的本征函數(shù)，則囪=Q,表明/和后對(duì)易 5、力學(xué)量F的算符是厄密算符,其本征函數(shù)系組成正交歸一完備系(答對(duì)1或2個(gè)給16、費(fèi)米子組成的多粒子體系的波函數(shù)的特征是一交換反對(duì)稱，玻色子組成的多粒子體系的波函數(shù)的特征是交換對(duì)稱 O7、泡利不相容原理指任何兩個(gè)全同費(fèi)米子不能處于完全相同的狀態(tài) o8、一維線性諧振子的量子數(shù)取n的波函數(shù)為w(x),其定態(tài)薛定渭方程為 .221(一 7- J(x) = E-匕(x),與 Yn(x)相對(duì)應(yīng)的能量為( +1 / 2)方0。2m dx 29、粒子處于三維無限深勢(shì)阱中，能量為石=三（：+；+；），能量最低的三個(gè)能態(tài)的簡(jiǎn) 2ma 并度分別為1. 3. 3。

3、（答對(duì)1或2個(gè)給1分，3個(gè)全對(duì)給2分）二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共20分）1、寫出至少五個(gè)力學(xué)量的算符。x = x,y = y,z = zj- =r,p = -ihV （任意 5個(gè)，正確一個(gè) 1 分）2、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)原理及其意義。測(cè)不準(zhǔn)原理：粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量。Ar - A/?v 7/2（3分）（更一般意義上，對(duì)于力學(xué)量A和B.若和月不可對(duì)易，且以石上弋，則存在測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：AA ABC/2 ）意義：波粒二象性的反映；反映了把經(jīng)典概念用于微觀世界所受到的限制。（2分）3、什么是斯塔克（Stark）效應(yīng)試用微擾理論解釋斯塔克效應(yīng)。斯塔克（Stark）效應(yīng)是指：原子在外電場(chǎng)作用下，它所發(fā)

4、射的光譜譜線會(huì)發(fā)生分裂，（2分）解釋：不考慮自旋時(shí)，氫原子n = 2的能級(jí)4度簡(jiǎn)并，電子從E?能級(jí)躍遷到Ei能級(jí)只產(chǎn)生一條譜線。當(dāng)受到外加電場(chǎng)作用后，4度簡(jiǎn)并的員能級(jí)發(fā)生分裂形成3個(gè)能級(jí)，從而形成3條光譜譜線。（3分）4、計(jì)算對(duì)易子x,*。假設(shè)W為任意一個(gè)波函數(shù)，（2分）= X；（X） = 一 （2 分） ax dx ax所以比%=一1 （1分）三、計(jì)算題（1, 2, 3題每題15分，4題5分，共50分）1、氫原子處于狀態(tài)必匕仇9） = &）%.0（“。）+序21（11（仇。），試求:（1）能量算符后，角動(dòng)量平方算符不和角動(dòng)量Z分量算符Zz的可能取值；（2）上述三個(gè)力學(xué)量取各可能值的幾率；（3

5、）上述三個(gè)力學(xué)量的平均值。該波函數(shù)未歸一化，首先歸一化。假設(shè)歸一化波函數(shù)為，（r,夕。）=4&0什）幾0（夕8）+舊為1（夕夕）則有：A2 （1+3） =1,所以 A=l/2歸一化波函數(shù)為。出版累。幾。+噂仆中一夕）（2分）乙乙（1）能量算符的可能取值：?jiǎn)T （1分）角動(dòng)量平方算符的可能取值：0, 2力2（2分，每個(gè)1分）角動(dòng)量z分量算符的可能取值：0, -h （2分，每個(gè)1分）（2）能量算符取E2的幾率：1（1分）角動(dòng)量平方算符取。的幾率：1/4 （1分）取2方2的幾率：3/4（1分）角動(dòng)量z分量算符取0的幾率：1/4 （1分）取一方的幾率：3/4 （1分）（3）能量平均值：E2 （1分）角動(dòng)

6、量平方平均值：-fl1 （1分）3角動(dòng)量z分量平均值：不 （1分）4% （x 0）2、粒子在勢(shì)能為I。）二的勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，粒子的能量Ea）域的定態(tài)薛定調(diào)方程和波函數(shù)的通解C對(duì)于圖中的三個(gè)區(qū)域,各個(gè)區(qū)域的定態(tài)薛定造方程分別為:方2 4 2區(qū)間：一藐不%+匕%=可（2分）區(qū)間：二二匕=七匕（2分）2m dx3區(qū)間：一僵尸+V卅一外（2分）分別求解各個(gè)區(qū)間的定態(tài)薛定謂方程，可以得到：弘=維一外+兒田% =小一修+為川”ycL + c* （每個(gè)2分） 其中 Zr； =2w(V0-)/?- k2=2mE/hi 根據(jù)波函數(shù)有限的條件可以得到各個(gè)區(qū)間波函數(shù)的通解:% = BL + B2eik2X（每個(gè)1分）3

7、、運(yùn)動(dòng)的粒子處于材=AxexpC-) xAO所描述的狀態(tài)，其中心。求：（1）歸一化常數(shù)A ；（2）在何處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率最大；（3）動(dòng)量的平均值。（1）歸一化：J A2x2e2Axdx = 1（3 分） A = 2心2（2 分）o（2）粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度為：W（x）=I*2=4才小小 已分）lLw（X）=O 解得為=0，M =8,當(dāng)=!（2 分）axX根據(jù)物理意義，粒子出現(xiàn)幾率最大位置：與=;（1分）（3）動(dòng)量的平均值： = （, 一法;獷）dx （2 分）+00=JAi（-訪）4產(chǎn) - Axedx o=一話A? flxe - Ax2exdx = -/M2 - 2-（2 2（22）3=0（中間過程，2分）（答案1分）4、粒子處于狀態(tài)：y/（x） = Acos（kx）f求粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。ikx -rtx 4 iiy/（x） = AcosRx） = A（-） = 2疝（+ 22石、病A ,=不、，2就（% +。. 軟） 乙其中，%和次泯是動(dòng)量的本