1以知識(shí)為依托發(fā)展學(xué)生的推理能力

1、對推理能力的理解及培養(yǎng)策略推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位。標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出，“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！痹诳偰繕?biāo)中指出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法?！睂W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)的演繹推理演繹最基本的形式是三段論，它是一個(gè)包含大前提、小前提和結(jié)論部分的論證形式。三段論又有很多種形式，其中最典型的是全稱肯定型。比較有代表性的例子是亞里士多德給出的“凡人皆有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死”。這

2、句話中分為三個(gè)短句，依次是大前提、小前提和結(jié)論。 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有很多地方都涉及演繹推理，比如加法運(yùn)算的規(guī)則，乘法運(yùn)算的規(guī)則、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的規(guī)則、基本平面圖形的面積公式和三角形內(nèi)角和公式等。從本質(zhì)上講，自然數(shù)的加減法都是數(shù)數(shù)，都是+1的復(fù)合，不同的是，加法是順著數(shù)，減法是倒著數(shù)。從這種意義上講，a+b 就表示在a的后面依次順著數(shù)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)到幾，結(jié)果就是幾；a-b就表示a的前面順著依次倒著數(shù)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)到幾，結(jié)果就是幾。但是，當(dāng)數(shù)字很大時(shí)，我們一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)數(shù)，需要花很長時(shí)間，于是人們便發(fā)明了筆算加減法，其本質(zhì)是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的“位置原理”。當(dāng)加數(shù)和被加數(shù)的同位數(shù)字相加不超過10時(shí)，其結(jié)果是同位數(shù)

3、字上的數(shù)分別相加的結(jié)果。比如35+23（3105）（2103）=（310+210）+（5+3）=（3+2）10+（5+3）=510+8=58。同理可以得到，當(dāng)減數(shù)同數(shù)位上的數(shù)字小于等于被減數(shù)時(shí)，其差是同位數(shù)字上的數(shù)分別相減的結(jié)果。當(dāng)情況與上述情形相反時(shí)，問題就顯得復(fù)雜了，這就是所說的進(jìn)退位加減法。對于加法，要遵守“滿十進(jìn)一”的原則，當(dāng)同位數(shù)字之和大于10時(shí)，結(jié)果向前進(jìn)位（前一位相當(dāng)于加上一），而把余下的數(shù)字作為同位數(shù)字相加的結(jié)果。比如，35+28=（310+5）+（210+8）=（310+210）+（5+8）=（3+2）10+13=510+13=510+110+3=（5+1）10+3=610+

4、3=63?，F(xiàn)代乘法豎式的計(jì)算規(guī)則是利用乘法分配律來完成的。比如，要計(jì)算bcxyz,根據(jù)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，可改寫bc（100x+10y+z）；根據(jù)乘法分配律，等于（bcx）100+（bcy）10+bcz。此外，幾何中的演繹思想同樣有體現(xiàn)。平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，可以采用演繹的方式得到。在教學(xué)中可以這樣操作，教師發(fā)給學(xué)生一個(gè)平行四邊形和一把剪刀，然后提問：怎樣推導(dǎo)平行四邊形面積的公式呢？現(xiàn)在做個(gè)實(shí)驗(yàn)：把平行四邊形剪一刀，拼成一個(gè)長方形。等學(xué)生操作結(jié)束后，教師繼續(xù)提問：你是沿著哪條線把平行四邊形剪開的？剪 開后，你是怎樣拼成長方形的？平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，什么變了，什么沒變？長方形的長與平行四邊形

5、的底有什么關(guān)系？長方形的寬與平行四邊形的高有什么關(guān)系？根據(jù)這些條件，你能推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式嗎？小學(xué)數(shù)學(xué)的歸納推理歸納推理，是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，是一種基于推斷的推理。歸納推理包括歸納法、類比法、簡單枚舉法、數(shù)據(jù)分析等，因此，通過歸納推理得到的結(jié)論是或然的。人們借助歸納推理，從經(jīng)驗(yàn)過的東西出發(fā)推斷未曾經(jīng)驗(yàn)過的東西，通過事物的現(xiàn)在推測它的將來或者過去，或者根據(jù)事物的過去和現(xiàn)在推斷它的將來。很多數(shù)學(xué)結(jié)論，都是通過歸納推理先得到的結(jié)果，再輔以演繹推理加以證明。比如，費(fèi)馬達(dá)定理、龐加萊猜想等，幾百年前就被發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，到20世紀(jì)末21世紀(jì)初才被數(shù)學(xué)界證明了。因此，

6、很多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為，數(shù)學(xué)結(jié)論是看出來的，而不是證出來的，看出的數(shù)學(xué)結(jié)果不一定是正確的，但指引了數(shù)學(xué)研究的方向；而且，看的過程表現(xiàn)出很大的創(chuàng)造性，這正是數(shù)學(xué)不斷創(chuàng)造新成果的一種重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們使用最多的歸納推理是簡單枚舉推理（也叫做不完全歸納推理），即從一些個(gè)別或者特殊事物出發(fā)，概括出一般性概念、原則或結(jié)論的思維方法。從某種程度上講，小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)都建立在簡單枚舉推理的基礎(chǔ)之上，因此，我們在教學(xué)中要重視簡單枚舉推理的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分想象與聯(lián)想，根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的新結(jié)論、新方法。比如，對于“雞兔同籠”的教學(xué)，就可以采用簡單枚舉的形式，讓學(xué)生體驗(yàn)歸納推理的全過程 。首先

7、，教師呈現(xiàn)問題，“雞和兔同在一個(gè)籠子里，數(shù)一數(shù)一共有35個(gè)頭、94只腳，問雞和兔名有多少只？”然后引導(dǎo)學(xué)生分析題目隱含的條件，一只雞有一個(gè)頭、兩只腳，一只兔子有一個(gè)頭、四只腳。如何解決這個(gè)問題呢？我們可以用列表的方法進(jìn)行嘗試。通過列表，學(xué)生可以歸納出，每增加一只兔子（用一只兔子換一只雞），腳的數(shù)目增加2，怎么才能從70增加到94呢？比較自然的方法有兩種；一種是沿用剛才的思路一直寫下去，當(dāng)雞的數(shù)目為23而兔子的數(shù)目為12時(shí)，剛好232+124=94；另一種是70只腳到94只腳還差24只腳，需要將其中的12只雞換成12只兔子，這樣23只雞和12只兔子，剛好有94只腳。如果老師們想讓學(xué)生用列方程的方

8、法解決雞兔同籠問題，也可以順著列表的方法進(jìn)行教學(xué)。如果我們用a表示雞的數(shù)目，那么兔子的數(shù)目為35-a，上面的表格自然變成這樣的形式，這樣學(xué)生就逐漸歸納出合適的方程為a2+（35-a）4=94。又如，在學(xué)習(xí)“長方形的面積公式”時(shí)，老師可以讓學(xué)生在方格紙上觀察一些典型的長方形，然后寫出它們的面積，就很容易歸納出“長方形的面積等于長乘寬”。其實(shí)，運(yùn)用歸納的形式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生很感興趣，因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生都可以用自己的思維方式看數(shù)學(xué)問題，都能有自己獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)，都能體會(huì)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣，都能經(jīng)歷數(shù)學(xué)家的過程?？v觀千余年的歷史，除法豎式經(jīng)歷了若干次演變，才到了今天的形式。它表現(xiàn)為程序性的運(yùn)算形式，如果不理解

9、其實(shí)質(zhì)，僅靠死記硬背和機(jī)械運(yùn)算，就容易出現(xiàn)差錯(cuò)。因此，“除法豎式”的數(shù)學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物操作到數(shù)學(xué)計(jì)算的過程，弄清“要分層書寫”“除到哪位商到哪位”和“不夠除補(bǔ)零”等形式中隱藏的道理，并在此基礎(chǔ)上領(lǐng)悟除法豎式的數(shù)學(xué)本質(zhì)。下面我們通過一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)例，來看看怎么運(yùn)用歸納推理的方法進(jìn)行除法豎式的數(shù)學(xué)，來看一看這種抽象化、形式化的數(shù)學(xué)內(nèi)容是怎么被學(xué)生生動(dòng)活潑地創(chuàng)造出來的。第一步，探索除法豎式的表達(dá)形式師：老師為每個(gè)學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了42根小棒，請動(dòng)手把它平均分給兩個(gè)小朋友。分完后，請告訴老師，你是分幾步完成的？第一步對應(yīng)的數(shù)學(xué)算式是什么？生：我分兩步來分的。第一步，把4捆平均分給兩個(gè)人，每人兩捆，對應(yīng)算

10、式42=2；第二步，把兩根平均分給兩個(gè)人，每人1根，對應(yīng)算式22=1（老師把一兩個(gè)算式寫在黑板上）。最后結(jié)果為，每人21根。師：很好。如果我讓大家用除法豎式表示，你怎么表示？（學(xué)生給出三種表達(dá)方式，并簡單解釋各數(shù)的含義。）師：好，非常好。請把同學(xué)們把小棒放回上課前的樣子。老師要提新問題了：把這42根小棒平均分給3個(gè)小朋友，你怎么分？請你分一分，分完后請告訴老師，你是分幾步完成的？每一步對應(yīng)數(shù)學(xué)算式是什么？生：我分三步來分的。第一步，把4捆平均分給3個(gè)人，每人1捆，還余下1捆，對應(yīng)算式43=11；第二步，把余下一捆打開，和2根放在一起，得到12根，對應(yīng)算式10+2=12；第三步，把12根平均分給

11、3個(gè)人，每人4根，對應(yīng)算式123=4（老師把三個(gè)算式寫在黑板上）。最后結(jié)果為，每人14根。師：很好。如果我讓大家用除法豎式表示，你怎么表示？學(xué)生給出三種表達(dá)方式，并簡單解釋各數(shù)的含義。評(píng)析：從實(shí)物操作到算式表達(dá)，溝通了除法算式從直觀到抽象的聯(lián)系，并為下一階段的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。同時(shí)，讓學(xué)生用自己的方法書寫除法豎式，不但能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。第二步，體會(huì)現(xiàn)代除法豎式的優(yōu)點(diǎn)師：這三種表示方法可以看作三種計(jì)算除法的方法。假如我讓大家用除法豎式計(jì)算423，你覺得哪種計(jì)算方法好？為什么？生：第一種好，因?yàn)樗从沉藙偛欧中“舻娜齻€(gè)步驟，并且隱藏了每一步所對應(yīng)的算式。生：第一種方

12、法應(yīng)該具有代表性，剛才422也可以用它來算。它把除法這種比較復(fù)雜的運(yùn)算，分解為一些按順序計(jì)算的簡單計(jì)算，并適當(dāng)記錄了中間計(jì)算的過程和最后的結(jié)果。師：你的見解真深刻！大家對另外兩種方法怎么看？生：第二種雖然簡單，但體現(xiàn)不出過程，數(shù)字大了看不出結(jié)果。生：第三種用了兩個(gè)算式，比較浪費(fèi)，還是一個(gè)豎式對應(yīng)一個(gè)問題好。還有一個(gè)問題是，分4捆的算式43=11在第三種方法里變成了403=1010，違反余數(shù)要小于除數(shù)的原則。師：用豎式計(jì)算422，我們以后選擇哪一種？生：第三種，其實(shí)，第三種方法就包括了前兩種所表達(dá)的意義（解釋略）。評(píng)析：通過辨析，讓學(xué)生領(lǐng)悟現(xiàn)代除法豎式的優(yōu)點(diǎn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)表達(dá)的簡約性與計(jì)算方法的程序

13、性，讓學(xué)生領(lǐng)悟一種深層次的數(shù)學(xué)美，進(jìn)而進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛和積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。第三步，體會(huì)除法豎式的算法師：請同學(xué)們再次把小棒放回上課前的樣子。老師又要提新問題了：把這42根小棒平均分給4個(gè)人，請你用剛才的第一種方法分一分，分完后請告訴老師，你是分幾步完成的？第一步的數(shù)學(xué)算式是什么？生：分三步來分的：第一步，把4捆平均分給4個(gè)人，每人1捆，對應(yīng)算式44=1；第二步，把第一步余下的和2根放在一起，得到2根，對應(yīng)算式0+2=2；第三步，把2根平均分給4個(gè)人，每人0根，余下2根，對應(yīng)算式24=02（教師把三個(gè)算式寫在黑板上）。最后結(jié)果為，每人10根余下2根。師：你能用除法豎式表示嗎？生：能（寫除法豎式，并找出隱藏在其