極限知識點總結

1、極限知識點總結【篇一：極限知識點總結】極限計算方法總結高等數(shù)學是理工科院校最重要的基礎課之一，極限是高等數(shù)學的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學員的學習帶來較大困難，而極限學的好壞直接關系到高等數(shù)學后面內(nèi)容的學習。下面先對極限概念和一些結果進行總結，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學員更好地掌握這部分知識。一、極限定義、運算法則和一些結果1( 定義 :( 各種類型的極限的嚴格定義參見高等數(shù)學函授教材，這里不一一敘述)。說明:(1)一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的極限嚴格定義證,0，當|q|1 時 ,bn,limqlim(3x,1),5lim,

2、0(a,b 為常數(shù)且a,0); 等等 明，例如 :,nx,2n, 不存在，當|q|,1 時 an,(2)在后面求極限時，(1)中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。2(極限運算法則定理1已知，都存在，極限值分別為a, b,則下面極限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x)limf(x),g(x),a,b(2) limf(x),g(x),a,bf(x)a(3) lim,( 此時需 b,0 成立 )g(x)b說明:極限號下面的極限過程是一致的;同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3(兩個重要極限xsinlim,1(1) x,0x11xxlim(1 ，

3、 ),elim(1 ， x),e(2) ; x,0xx說明:不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，作者簡介:靳一東，男，(1964 )，副教授。1xxsin333,2xlim(1 ， ),elim(1,2x),elim,1 例如 :，;等等。x,x,0xx,0x34(等價無窮小定理 2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小(即極限是0)。定理 3 當時，下列函數(shù)都是無窮小(即極限是0)，且相互等價，即有:x,0xxtanxarctanxln(1 ， x)sinxarcsinxe,1, 。g(x)g(x),0 說明 :當上面每個函數(shù)中的自變量x 換成時()，仍有上面的等

4、價23x2,xe,13xln(1,x) 關系成立，例如:當時， , ; , 。x,011/5 頁x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理 4 如果函數(shù)都是時的無窮小，且,， ,，則當f(x)g(x)f(x)g(x)01111f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim 存在時，也存在且等于，即=f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115( 洛比達法則定理 5 假設當自變量x 趨近于某一定值(或無窮大)時，函數(shù)和滿足 :(1) 和的 f(x)g(x)f(x)g(x)極限都是0 或都是無窮大;(2)和都

5、可導，且的導數(shù)不為0; f(x)g(x)g(x),f(x)lim (3) 存在(或是無窮大); ,g(x),f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 則極限也一定存在，且等于，即= 。,g(x)g(x)g(x)g(x) 說明:定理5 稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達0, 法則就不能應用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗證所求極限是否為 “” 型或 “” 型 ;0,條件(2)一般都滿足，而條件(3)則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6(連續(xù)性x 定理 6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義

6、去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點，則有f(x)0limf(x),f(x) 。0x,x07(極限存在準則定理 7(準則 1) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。x,y,z 為三個數(shù)列，且滿足: 定理 8(準則 2) 已知 nnny,x,z,(n,1,2,3, ？ )(1) nnnlimy,alimz,a (2) ， nnn,n,limxlimx,a 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。nnn,n,二、求極限方法舉例1( 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限3x， 1,2lim 例 1 x,1x,122xx(31)2333 ， ,limlim, 解 :原式 = 。x,1x,14xxx

7、x(1)(312)(1)(312),，,，注 : 本題也可以用洛比達法則。limn(n ， 2,n,1) 例 2 n,分子分母同除以nnnn( ， 2),(,1)33lim,lim, 解 :原式= 。n,n,2nn ， 2， ,1211 ， 1,nnnn(,1) ， 3lim 例 3 nn,n2 ， 322/5 頁1n(,) ， 1n 上下同除以33,lim,1 解 :原式。n,2n() ， 132( 利用函數(shù)的連續(xù)性(定理6)求極限12xlimxe 例 4 ,x212xf(x),xex,2 解 :因為是函數(shù)的一個連續(xù)點，01222e,4e 所以 原式 = 。3( 利用兩個重要極限求極限1co

8、sx,lim 例 5 2x,03xxx222sin2sin122limlim, 解 : 原式 = 。200x,x,x63x212(),2注 : 本題也可以用洛比達法則。2xlim(1,3sinx) 例 6 ,x01,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim(1,3sinx),e。解 : 原式 =,0,0xxn,2nlim() 例 7 ,nn ， 1,3n， 1,3， 1nnn,3,3n ， 1,3， 1n,3,3lim(1 ， ),lim(1 ， ),e 解 :原式 =,nnn ， 1n， 14( 利用定理2 求極限12xlimsin 例 8

9、x,0x解 : 原式 =0 (定理 2 的結果)。5( 利用等價無窮小代換(定理4)求極限xln(13x) ， lim 例 9 2x,0arctan(x)22arctan(x) ？ x,0 時， ln(1 ， 3x) 解 :, ， ,， x3xxx,3 ？ 原式 = 。lim,32x,0xxsinxe,elim 例 10 ,x0x,sinx,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1 解 : 原式 = 。,x0x0xxxx,sin,sin 注 :下面的解法是錯誤的:33/5 頁xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式 = 。x,0x,

10、0xxxx,sin,sin正如下面例題解法錯誤一樣:xxxxtan,sin,lim,lim,0 。33x,x,00xx12tan(xsin)xlim 例 11 x,0sinx111222 解 :，？當 x,0 時， xsin 是無窮小，？tan(xsin) 與 xsin 等價xxx12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式 = 。 (最后一步用到定理2)x,0x,0xx6( 利用洛比達法則求極限說明: 當所求極限中的函數(shù)比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續(xù)使用。1cosx,lim 例 12 (例 4) 2x,03xsinx1lim

11、, 解 :原式 = 。 (最后一步用到了重要極限) x,06x6,xcos2lim 例 13 x,1x,1,x,sin,22,lim 解 :原式 = 。x,1123x,0x1cosxsinx1,limlim, 解 :原式 = 。 (連續(xù)用洛比達法則，最后用重要極限 ) 2x,x,006x63xsinxxcosx,lim 例 15 2x,0xsinx解:sinxxcosxcosx（cosxxsinx）,limlim, 原式 22x,x,00xx3x,xsinx1lim,2x,033x11,lim 例 18 x,0x ， xln（1）11lim,0 解 :錯誤解法:原式 = 。x,0xx正確解法:

12、44/5 頁ln（1 ， x）,xln（1 ， x）,x 原式 ,lim,limx,0xln（1 ， x）x,xx,01 ,1x11 ， x,lim,lim, 。 x,0x,02x2x（1 ， x）2應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。x,2sinxlim 例 19 x,3x ， cosx1,2cosx0lim 解 :易見 :該極限是“” 型，但用洛比達法則后得到:，此極限 x,3,sinx0不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下:x2sin1,xlim 原式 = （分子、分母同時除以x） x,xcos3 ， x1 = （利用定理1 和定理 2） 37（ 利用極限存在準則求極限limxx,2,x,2 ， x,（n,1,2, ？ ）例20 已知，求n1n ， 1n,nxlimxlimx,ax 解 :易證 :數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（0），由準則1 極限存在，設 。對已 nnnn,nnx,2， x 知的遞推公式兩邊求極限，得: n ， 1na,2， aa,2a,1 ，解得 :或 （不合題意，舍去）limx,2 所以 。nn,111lim（ ？ ），例21 222n,n ， 1n ， 2n ， nn111n, ，？，,解 : 易見 : 22222n ， nn ， 1n ， 2n ， nn ， 1nnlim,1lim,1因為