正方形的性質(zhì)與判定講義匯編

1、學習-好資料正方形的性質(zhì)及判定一、知識點歸納（一）正方形的概念：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有通性；1、因為ABC虛正方形（2）四個邊都相等，四個 角都是直角;（3）對角線相等垂直且平 分對角.正方形是軸對稱圖形，對稱軸有4條，也是中心對稱二、例題講解考點正方形與等腰三角形（等邊三角形）結合1 .如圖，E是正方形 ABCD的對角線 BD上一點，且 BE=BC,則/ ACE=°2 .如圖，四邊形 ABCD是正方形，延長 CD到E,使CE=CB,則/ DBE =:3 .如圖，正方形 ABCD中，點E在BC的延長線上，AE平分/ DAC,則下列

2、結論：（1） / E=22.5°（2） /AFC=112.5° （3） /ACE=135° ; （4） AC=CE; （5） AD : CE=1 ：事.其中正確的有（）A . 5個B.4個C.3個D.2個4 .如圖，等邊 EDC在正方形 ABCD內(nèi)，連結 EA、EB,則/ AEB =° / ACE =°更多精品文檔考點正方形與旋轉結合1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，E是邊CD上一點，若4AFB經(jīng)過逆時針旋轉角 。后與4AED重合， 則。的取值可能為（）A.90 °B.60°C.45°D.30 °2

3、.已知正方形 ABCD中，點E在邊DC上，DE = 2, EC = 1 （如圖2所示） 把線段AE繞點A旋轉，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為 .3.如圖3,在正方形 ABCD中，點E, F分別為DC, BC邊上的點，且滿足/ EAF=45°,連接EF,求證: DE+BF=EF.考點正方形對角線的對稱性1.如圖：正方形 ABCD中，AC=10, P是AB上任意一點，PEL AC于E, PFBD于F,則PE+PF= .可以用一句話概括：正方形邊上的任意一點到兩對角線的距離之 和等于.思考：如若P在AB的延長線時，上述結論是否成立？若不成立，請寫出你的結論，并 加以說明

4、.2.如圖，點P是正方形 ABCD的對角線 BD上一點，PELBC于點E, PFLCD于點F,連接EF給出下列五 個結論：AP =EF;APEF; APD 一定是等腰三角形；/ PFE = Z BAP;PD= V2EC.其中正確結論的序號是 .思考：當點P在DB的長延長線上時，請將備用圖補充完整，并思考（直接寫出結論；若不成立，請寫出相應的結論1）正確結論是否依舊成立？若成立,考點正方形的折疊1 .如圖1,將邊長為8cm的正方形紙片 ABCD折疊，使點D 為MN ,則線段 CN的長是.2 .如圖2,四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿 對應點為 A ,且BC=3,則AM的長是.落在BC

5、邊中點E處，點A落在點F處，折痕MN折疊，使點B落在CD邊上的B處，點A3如圖3,正方形 ABCD中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3DE,將4ADE沿AE對折至 AFE,延長EF交邊BC于點G,連結AG、CF.下列結論： ABGA AFG;BG=GC;AG/CF;&fgc=3.其中正確結論的個數(shù)是 課后練習1、已知：如圖，正方形 ABCD3, CMCD MNL AC 連結 CN 則/DCN=Z B, Z MND:2 .在正方形 ABC珅，AB=12 cm,對角線 AC BDB交于 Q 則 ABO勺周長是（）A.12+12. 2B.12+62 C.12+2D.24+6213 .正方

6、形的面積是-，則其對角線長是. 34 .如圖，在正方形 ABCD中，PBC、AQCD是兩個等邊三角形， PB與DQ交于M, BP與CQ交于 巳 CP與DQ交于F.求證：PM = QM.5 .如圖4,正方形ABCD的對角線 AC、BD相交于點 O,正方形 ABCD'的頂點A與點O重合，A'B'交BC 于點E, A'D'交CD于點F,若正方形ABCD繞點。旋轉某個角度后，OE=OF嗎？兩正方形重合部分的面 積怎樣變化？為什么？6 .如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB .試判斷PE與PB的關

7、系.7 .如圖，正方形 ABCD的面積為12, AADE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線 AC上有點P,使PB + PE的和最小，則這個最小值為 .上,DC8 .如圖，將邊長為 4cm的正方形紙片 ABCD沿EF折 E、F分別在邊 AB、CD上），使點B落在AD邊上的點 處，點C落在點N處，MN與CD交于點P,連接EP.（1）如圖，若M為AD邊的中點，AEM的周長=cm ;求證：EP=AE+DP;（2）隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置（點M不與 重合），APDM的周長是否發(fā)生變化 ？請說明理由.（三）正方形的判定：（1）平行四邊形一組鄰邊等一個直角（2）菱形 一個直角四邊形A

8、BC虛正方形（3）矩形一組鄰邊等1、判斷：（1）四條邊都相等的四邊形是正方形。（）（2）兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形。（）（3）兩條對角線分別平分一組對角的四邊形是正方形。（）（4）兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。（）2.不能判定四邊形是正方形的是（）A.對角線互相垂直且相等的四邊形B .對角線互相垂直的矩形C.對角線相等的菱形D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形3、四邊形ABCD勺對角線相交于點 O,能判定它是正方形的條件是（）A. AB=BC=CD=DA B . AO=CO BO=DO AC± BDC. AC=BD AC± BD且 AG BD互相平分D ,

9、 AB=BC CD=DA4、如圖，已知四邊形 ABCD是菱形，則只須補充條件： （用字母表示）就可以判定四邊形 ABCD是正方形.精講精練例1、已知RtVABC中， C 90 , CD平分 ACB,交AB于D, DF/BC,DE/AC ,求證：四邊形 DECF為正萬形。例2、已知：如圖，在 ABC, AB=AC ADL BC,垂足為點 D, AN是 ABC7卜角/ CAM勺平分線，CEL AN 垂足為點E, （1）求證：四邊形 ADC時矩形；（2）當 ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCE1一個正方形？ 并給出證明.例3如圖，已知平行四邊形 ABCD中，對角線AC, BD交于點O, E是BD延

10、長線上的點，且4ACE是 等邊三角形.(1)求證：四邊形 ABCD是菱形；(2)若 AED 2 EAD ,求證：四邊形 ABCD是正方形.例4、如圖， ABC3,點 O是AC邊上一個動點，過點 O作直線 MN BC設M皎/ BCA的平分線于 E,交 / BCA勺外角平分線于點 F.求證：EGFO(2)當點O1動到何處時，四邊形 AEC喔矩形？并證明你的結論(3)當點O運動到何處時，四邊形 AECF!有可能是正方形？并證明你的結論拓展探究(平行四邊形與特殊平行四邊形的綜合運用)1、如圖，正方形 ABC邛，E、F、G分別是AR AR BC上的點，且 AE=FB=GC試判斷VEFG的形狀，并說明理由

11、。2、如圖，在正方形 ABCD中，P為BC上一點，Q為CD上一點，(1)若PQ=BP+DQ ,求 PAQ。(2)若 PAQ 45，求證：PQ=BP+DQ.3、如圖，菱形 ABCD的邊長為2,對角線BD=2 , E、F分別是AD、CD上的動點，且滿足 AE+CF=2. (1)求證：VBDE VBCF .(2)判斷VBEF的形狀。4以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為 E、F、G、H,順次連結這四個點，得四邊形 EFGH .(1)如圖1,當四邊形 ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形 EFGH是正方形；如圖2,當四邊形 ABCD為 矩形時，請判斷

12、：四邊形 EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖3,當四邊形 ABCD為一般平行四邊形時，設/ ADC= (0°<<90°), 試用含 的代數(shù)式表本/ HAE ;求證：HE=HG; 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由.XFHFF卜組1圖？S3例1、在正方形 ABCM邊BC的延長線上取一點 E,使CE=CA連接AE交CDT F,求 AFD的度數(shù)。變式：1、已知如下圖，正方形 ABC由，E是CD力上的一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，CE=CF 求證： BE挈 DFC (2)若/ BEC60° ,求/ EFD的度數(shù).例2：如圖，E為正方形 ABCD勺BC邊

13、上的一點，CG平分/ DCF連結AE,并在CG上取一點 G使EGAE求證：AE1 EG例3、P為正方形 ABC吶一點，PA=1, PB=2, PC=3,求/ APB勺度數(shù).例4如圖，P是邊長為1的正方形ABCD寸角線AC上一動點 小與八、C不重合)，點E在射線BC上，且PE=PB (1)求證： PE=PD; PE! PD1、如圖，四邊形ABCDmE方形，以AB為邊向正方形外作等邊三角形 ABE CE與DB相交于點F,則 AFD =E2、若正方形 ABCD的邊長為4, E為BC邊上一點，BE=3 , M為線段AE上一點，射線 BM交正方形的一 邊于點F,且BF=AE ,則BM的長為。4. E為正

14、方形 ABCDJ一點，且 EBC等邊三角形，求/ EAD勺度數(shù).5、如圖，正方形 ABCD與正方形 OMNP的邊長均為10,點。是正方形 ABCD的中心，正方形 OMNP繞。點旋轉，證明：無論正方形 OMNP旋轉到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求 這個定值.6、如圖1,四邊形 ABC虛正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C D不重合)，以CG為一邊在正方形 ABC0卜作正方形CEFG連結BG DE我們探究下列圖中線段 BG線段DE的長度關系及所在直線的位置關 系：(1)猜想如圖1中線段BG線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；將圖1中的正方形CEFGg著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3