行列式試題庫(kù)

1、.判斷題（易）1、&1&2ana21a22a2nan1an2annn階行列式是由n2個(gè)數(shù)構(gòu)成的n行n列的數(shù)表（）答案：x（較容易）2、答案：X（較容易）3、答案:（較容易）答案:二.填空題（中等）1.設(shè)A答案：0, 0（中等）2.卜84.若方陣k2k10A的各行元素之和為零，則 A 0 （）, A31A32A33, A34A35, 求 A11A21A31A41 =答案：0（較容易）3. 5階行列式D的第2列元素依次為1,1,0,2,1它們對(duì)應(yīng)的余子式分別為一1,3,2,0,1 ,則 D答案：3（較容易）4.acca答案：12x2yxx y（較容易）5.2x3yx yx2x3yx

2、y答案:2464273276.1014543443342721621（較容易）答案：294 105（中等）7.已知三階行列式D1 2 34 5 6，它的元素a。的代數(shù)余子式為Aj (i 1,2,3, j 1,2,3),7 8 9則與aA21bA22 cA23對(duì)應(yīng)的三階行列式為123答案：abc7893040（中等）8.設(shè)行列式D222207005322答案：-28則第四行各元素余子式之和的值為x x 00（較容易）9.11x11_0 0yy111 1 y答案：x2y2（較容易）11.當(dāng) =或時(shí)，齊次方程組x1 x2 x30x1 x2 x3 0有非零解.111x 1（中等）10.行列式11x 1

3、11x 111x 1111答案：x,答案：3, 0x12 x2x30（較容易）2.設(shè)D答案：（d（較容易）2a3ac)(d b)(d13.為 1,2, 2, -1, 答案：-1b2b3a)(c已知四階行列式則行列式D2c3cd2dd3，則D=b)(c a)(b a)D的第二行元素分別為3, 1, -1,2,他們對(duì)應(yīng)的余子式分別答案：1（較容易）14.設(shè)A是三階方陣，且|A| 3,則|（2A）1| =入1答案：24答案：1或-1（較容易）16.已知四階行列式（容易）15. A為正交矩陣，則|A|D的第3列元素分別為1,3,-2,2,他們對(duì)應(yīng)的余子式分別為3,-2,1,1,則行列式答案：D=5（容

4、易）17.行列式中元素a的代數(shù)余子式答案：4（較容易）18.四階行列式的第二行的元素都是2,且第二行元素的代數(shù)余子式都是3,則D=1,則 A 2A _ 一.一 ，一 * *2 ,則其伴隨矩陣 A的行列式 A2301 ,則第3行第2列元素的代數(shù)余子式52答案：0（較容易）19.設(shè)A是三階行列式，且 A答案：512（較容易）20.設(shè)五階矩陣A的行列式A答案：161（容易）21.已知三階行列式D 21A32 = 答案：7（容易）22.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)順序，排列4132的逆序數(shù)為 （容易）23.當(dāng)i k 時(shí)排列1274i 56 k 9為偶排列.答案：8, 3（容易）24.排列1 3（2n 1）

5、2 4（2n ）的逆序數(shù)為 .答案：皿二2（容易）25.在五階行列式中項(xiàng)a13a24a32a41a55前面應(yīng)冠以 號(hào)（填正或負(fù)）答案：負(fù)（容易）26.四階行列式中含有因子 a11a23且?guī)ж?fù)號(hào)的項(xiàng)為 答案:a11 a23 a32 a44（容易）27.設(shè)A為n階矩陣，且ATA E,則必有|A 答案：1或1 .一*（容易）28.設(shè)A為n階可逆矩陣，如果 A 2 ,則A 答案：2n 1（容易）29.設(shè)A為n階可逆矩陣，如果 | A|2，則A 答案：（2）n 1（容易）30.設(shè)A為n階矩陣，且ATA E,則必有|AT 答案：1或1*a,則|A | =*（容易）31.設(shè)A是n階萬(wàn)陣，A為其伴隨矩陣，若|

6、 A |答案：an1（容易）32.若 |A44|則|A |答案：821（容易）33.設(shè)D31 1341答案：0x a a（較容易）34.若a x a11 , 則 A31A32A330答案：2a或0x y z（較容易）35.已知3 0 211 11,則答案：2（較容易）36.設(shè) D2a4a30a20答案：24（容易）37.答案：-18（容易）38.答案：32（較容易）39.答案：0（較容易）40.若齊次線性方程組3xD1x yx 3y3zy 3y , 22a203z3a304a4D200有非零解，則答案:（容易）41.行列式a中元素兩的代數(shù)余子式Aj與余子式Mj之間的關(guān)系答案：Aj （1）ijM

7、j（較容易）42.若n階方陣A的秩為n-1,在A 答案:0（較容易）43.設(shè)A,B是兩個(gè)三階的方陣，且A 1, |B 2,那么3（ATB1）3答案:27"8（容易）44.設(shè)三階方陣A的不同特征值為-1,2,4 ,則A答案：-8（較容易）45.若A,B為n階方陣，且|A 1,|B3,則 2AB答案：（1）n 1（容易）為三階方陣2,則1a 2（較容易）47.設(shè)行列式,則 2A414A426A438A44答案：0（較容易）x y z4133 0 22,則x 1 y 1 z1 1111148.若答案：6答案：2（較容易）827641254916252345111149.答案：12aiia1

8、2a13aii3ai2a13（較容易）50.如果Da21a22a233,則2 a216 a222a23a3ia32a33a313a32a33答案：-18（較容易）51.aiia12a132aii2a122a13a21a22a233,則2 a212a222 a23a31a32a332 a312 a322 a33如果D答案：24（容易）52.已知三階方陣A的三個(gè)特征值為1, - 2, 3（容易）53.Dn答案：（1)n1n!（容易）54.答案：0（容易）55.已知答案：（容易）abacaebdcddebfcfef56.答案：4abcdef（較容易）57.答案：1（較容易）行列式答案：9三.選擇題（

9、容易）1.如果A.1b10011 b1b20011 b2b30011 1D(k2x11)Xi (k2x21)X20， 僅有零解，則（）.01, B.3, C.k 3, D. k 1 且k3.答案：D（較容易）2.,分別表示行列式 D的三個(gè)列，則 D （）A.B.答案：DC.D.（較容易）3.四階行列式D=a10A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.C. (a1a2 b1b2)(a3a4答案:（容易）A. 2 B.答案:D（較容易）b4a2b30b2a30為a2a3 a4b10b3b4) D.(a2a3的值等于（）b2b3)(a1a4 bh)a11a12a132a112a122a13a21

10、a22a232,則2a212a22 2a23()a31 a32a332a312 a322a334.如果16C.12 D.5.已知4階方陣A其第三列元素分別為1 , 3, - 2, 2,它們的余子式的值分別為3,-2,1,1則行列式A. 5 B. -5答案:AC. -3D.（中等）6.設(shè)f(x)x2x3x，則方程f（x）0的三個(gè)根分別為（）A. 1,-1,2 B.答案：A1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8（較容易）7.行列式a1a1a2a2二()a3a3A. 0B.b c C.(c b)(a2 a1) D.b(a2 a1)（容易）8.行列式D中元素a32的代數(shù)余子式為（）A. 0答案:

11、BB. -10C.10 D.（容易）9.行列式D中元素a32的代數(shù)余子式為（）A. 4答案:AB.-4 C.D. 2（較容易）10.若ana!2a21a31a13a31a32a33a231則2a212 a222aa333aii3a123a1a2223a323A. -5 B.答案：B6 C.-1D. 1（較容易）11.設(shè)f(x)，則方程f(x)0的根分別為（）A. 1,1,3,3答案： （較容易）B. -1,-1,3,3DC.-1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-312.已知a11a12a133 a313a323a33a21a22a23d,則行列式a31a32出32a21a113aii2

12、a22a123a122a23a133a)3A. 6d答案：AB.6dC.3dD.3d（較容易）13. 3A.3alb1a2a33a1 3a2 3a33a13 a2 3 a33b2b3B.3 bl 3b2 3b3C.bib2b3C23c33ci 3c2 3c3C1C2C3Cic2c3Ga1b1a3b3a2b2a13a2a3D.b,3b2b3Ci3c2C3答案:D3 00000()0002000001(較容易)14.行列式D 020100000A. -12 B. 12 C. -6 D. 6答案：A0的充分必要條件是（）(較容易)15.設(shè) Dn det(aj),則 DnA. Dn中有兩行（歹U）元素

13、對(duì)應(yīng)成比例B. Dn中有一行（歹U）的元素均為零C. aiAj1ai2 Aj 2ain Ajn0(ij)D. ai1 Aj1ai2 Aj2ainAjn0(ij)答案：C（中等）16f(x)10是（）次多項(xiàng)式A. 4 B. 3答案：CC. 2 D. 1（較容易）17.四階行列式D的某行元素依次為-1,0,k,6,它們的代數(shù)余子式分別為3,4,-2,0,且D 9 ,則kA. 0 B. 3答案：B()C. 1D.-1A. 5 B. -5 C. 20a11a12a13a)34a11a125a11a21a22 a231,則a234a21a225a21a31a32 a33a334a31a325a31（較容

14、易）18.若D. -20()答案：A（容易）19.A. abc答案：C（較容易）A.答案:C（較容易）A. 5答案:CabacB. 120.B.21.B.ab b2acbcbc2cC. 0D.2, 2 2a b c設(shè)A*, A 1分別為n階方陣A的伴隨矩陣和逆矩陣n 1n 2n 3AC. A D. A已知A為三階矩陣，其第三行元素分別為-5 C. 7 D.-7，則A A1,3,-2,它們的余子式分別為3,-2,1,a1142a134a112a113a12a13（較容易）22.如果a21a22a231,則4 a212a213a22a23a31a32a334 a312 a313a32a33-12

15、C. 24 D.-24()A. 8 B.答案：B（較容易）23.行列式103100204199200395301300600A. 1000 B. -1000 C. 2000答案：C（較容易）24.行列式D4的值為（）A. -12 B.-24 C. -36 D. -72答案：D（較容易）25.設(shè)A為n階方陣，且AA.B.C.D.A中必有兩行A中任意一行A中必有一行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例；（列）向量是其余行（列）向量的線性組合（列）向量是其余行（列）向量的線性組合A中至少有一行（列）向量為零向量 答案：C（較容易）26.已知三階矩陣 A的特征值為1, 2, 3,則行列式 A2 =（）A. 0 B.

16、 1答案：DC. 6D. 36ana12a133a313a323a33（較容易）27.如果Da21a22a23m, D13a213a223a23a31a32a333a113a123a13那么Di().A. 3m; B. 3m; C. 9m; D.27m .答案：D0001000100（較容易）28.已知D,則D010001000000001n(n 1)(n 1)(n 2)A. 1 B. -1 C.(1) 2 D. ( 1)2答案：D29.行列式D非零的充要條件是（）的所有元素都不為零至少有n2 n個(gè)元素不為零的任意兩列元素之間不成比例D.以D為系數(shù)行列式的線性方程組有惟一解答案：D四.解答題1

17、111(a 0,i 1,2,L,n)1ali1L 111 a21L 1(較難)1.111a3 L 1M M M M解:1 L L' u L L IL00110 uu 01 u o 乙7« u)u i")10 010 01 L u I，11LL1LL(L u)u1 L L u o 乙 7 77« u)u1 LL01 LL0一 1 乙 u 1111乙199uL19£uu1£乙uu1乙 L u一 1乙1111乙199L1 9£u1 £乙1 Z L11乙L1乙L1乙L一1乙111Z19L19u1£12Lu11111

18、 9 9 £ :搦1 9£乙1 2 LL u1 1P £ N (郡幽)£ Z乙 L01 !e乙0記!十 L !(0. p .UB 1 01101汩010Iz Iz 1 Iz七乙！% .ue o 1 0 0 l l/l l/l l/l l/l l/l 0 0 1 ee o 00 010至0ueo100也Al IAI IAI IAI IAI l/l 001汩0心0010電L L 1 L L ke i，ueo100七Al IAI IAI IAI IAI l/l 001eeo七0010他LL1LLLL l/l l/l l/l l/lL L 1 eB i， i，

19、I，L L 1 L 2e i， 1L L 1 L L t=(1)n1 n(n 1)(1)nn(n21)n1( 1)n( 1)n 1L1)（較難）3- Dn解：Dn=(x a)Dn由遞推關(guān)系有（較難）4.解：Dn=(1)(n 1)(n 4)1)n(n 1)2DnDn(xa)Dn1a(x a)n 1(xn a)(xn a)1)nn10L01)( 1)n1(1)n(n 1)1)( 1)n1(1)n(1)n 1L1)2(7 1)2 n n=(n 1)n（中等）5.寫出四階行列式值.解:1)2 3（中等）解:(1)3(2)100a23 A236.1 ( 1)120.a33 A33計(jì)算行列式1019101

20、)3(1)nn21)一5n 42(n1)n 11)1021019(n1)n中元素a231,a334的代數(shù)余子式，并求其十(-5)96.2)9634(1)220)176.1010131235(7 69) 5 62 310.7371323713010 00 0L L0 aa00L0a0L(中等)7.計(jì)算n(n 2)階行列式D 0 0aL LLLL100L解：按第一行展開，得 D a0 0 La0a0L000aL00L L L L L00L0a0a0L00aL1 1 n L L L L000L100L再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開，則可得到n Jn jn 11n 2 n n 2 n 22

21、.D a 11 a a a a a 1abbLbbabLb（中等）8 .計(jì)算行列式DbbaLbLLLLLbbbLaaa解：D aan1bbn1ban1bbL Ln1bbbLbbLbaLbLLLbLa1bbL1abLa (n 1)b1baLL L L Lb = a (n 1)bLb b La b a bO2315097508144378968（較容易）9.計(jì)算行列式 D00210000340 0102解:2315097508211（較容易）10.4311(47896812)11(83)16176.k取何值時(shí)，下列齊次線性方程組有非零解:0,0,0.x1 x2 kx3x1 kx2 x3X1 x2

22、2x3解：方程組有非零解的必要條件是系數(shù)行列式等于零紙十1）(k1)(k 1)(k1)(4 k).即(k1)(4k)0.所以當(dāng)k4時(shí),齊次線性方程組可能有非零解(中等)11.計(jì)算行列式解：D101610115)21115)5)31155xaa（中等）12.計(jì)算行列式Dnri“2解:Dnrn)x(n（中等）13.解:1 11111a xa0 x a0x (n 1)aa ax00xax1)a1nax(n 1)a(x計(jì)算行列式的值a)（難）4.計(jì)算1719n階行列式的值382111057815121017(9口530 .00253 .00025 .00 0 0. .0 . .5.3000 .25Dn

23、解按第一行展開,得:2Dn 5Dn1按第一列展開5Dn1 6Dn 2得到遞推式:寫作Dn寫作Dn而D1DnDn（中等）15.Dn2Dn13Dn 15, D22Dn3Dn計(jì)算解按照第一列展開5Dn16Dn 23( Dn2( Dn3n2n2Dn 2)Dn2Dn 13n 2(D22D。3Dn 2）,可得19解之得階行列式Dn3n 1Dn2n3Dn2n 2(D23Di)的值(1)11)n(1)(1)nnyx1x2x3（較容易）16.問取何值時(shí)，齊次線性方程組x1x1x22 x2x300有非零解?解：齊次方程組有非零解的必要條件是系數(shù)行列式等于零，故x30(11齊次線性方程組有非零解。（較容易）17.問

24、取何值時(shí)，齊次線性方程組(12X1)X1 (3解:(11 2)20,2或3.X1X2（較容易）18.已知齊次線性方程組X1X2（中等）19.解：D（較難）2)(計(jì)算行列式D=101020.計(jì)算行列式X1X2X1X2(12x2 4x3 0)X2 X3 0有非零解?)x30X3X3X32)(3) =000有非零解，求1)2200101011122 11 . 111 1 . 11 2 1 . 11 2 1 . 1解：D1 1 2 . 1(n 1)11 2 . 1n 1.111.2.111.2（較難）21.設(shè)D是一個(gè)3階行列式，1, 2, 3分別是其第1,2,3歹U.已知D = 2,求3 22 3,

25、1解：D 1, 2, 32則有3 22 3, 1, 2 22 3, 1, 2（中等）23.用克拉默法則解下列方程組XX2X3X45X12X2X34X422x13x2X35x423x1X22X311x4043,1 ,241 ,2 ,351112214231GJ01211142, D1142 ,1111121 423153 12 11151111511214D31224d22842221523253021131011426D41123112131125220142D1.D2X11, X2DDX4D4D（中等）24.計(jì)算行列式4 12 412 0 210 5 2 00 117解:411001 2 4

26、2 0 25 2 01 1 712 0 24 12 410 5 2 00 11712 0 20 11710 5 2 04 12 412 020 117 0 .0 0 17 850 0 9 45（較容易）25.計(jì)算行列式a100100b101c101 d解:ab 110100口b101c101 da 0 r1c 11 da20 ab 11b0100a 010c 11 d(ab 1)r2 0 a (ab 1)c ab 11 c1= abcd ad ab cd 101 d（較難）26.計(jì)算n（n 2）階行列式Dn1xm2乂佻Lnxy1X2%2X2y2LnX2ynL L L L1Xny12Xny2Ln

27、yn12Xy2LnX*xn2xy2Lnx*Dn12乂2丫2LnX2ynX2%2X2y2LnX2ynLLLLLLLL12%丫2LnXnyn巾2Xny2LnXnVn解：將Dn按第一列拆成兩個(gè)行列式的和，即再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第i列（i 2, 3,，n）減去第一列的i倍；第二個(gè)行列式提出第一列的公因子y1,則可得到1X1V2LX1VnX12X1V2LnX1Vn1X2V2LX2VnV1X22X2V2LnX2VnLLLLLLLL1XnV2LXnVnXn2Xn V2LnXnVnDn當(dāng)n 3時(shí)，Dn當(dāng)n 2時(shí)，D2X2 Xi y2 2Vl.（較難）27.已知方程153 X153 X123 X0,求

28、X1X1LX1X12Ln1X2LX2V1X22LnLLLLLLLL1XnLXnXn2Ln0V2L Vn解：由行列式的加法性質(zhì)，原方程可化為1 11 21 11 X11484 1523X X1 11 20 21 X11485 1223X X1111112 43 92X X18273 X11111 23X21 49X2_31 8 27 X(2 1)(3 1)(3 2)(x 1)(x 2)( x 3) 0得 x 1,2,3112313 3795（中等）28.計(jì)算行列式D204213571464410102231321431541解：D 1120 010200210023102415 32211231

29、020 410010202 153002 22112314342（較難）29.-1-3-1-1-2-1-2計(jì)算n其中 a1a2 L an 1 0 .12 .1階行列式n ana2Lnan 1n 11ahn 1.a2 b2Ln 1.an 1bn 1n 2 2a匕n 2, 2a2 b2Lan 2b2 an 1bn 1解：這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是0,1, 2,按升哥排列，且次數(shù)之和都是 n,又因ai0,若在第則D可化為一個(gè)轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式,bin n Da1a2 L1b2b2Lb2a2a2a2LLLLL21bn 1bn 1Lbn 1an 1an 1an 1a12nb1a1b_a1n an

30、11<j i<n 1（較容易）30.計(jì)算行列式a1a1a2a1解：從第n行開始，后行減去前行:a2a2riri1(iananann, n1,a1b1na2b2nL1,nai1<j其中i2,1)得2,-i< n 1b： b； L bnn1即多按降建排列,bai0, (in）提出公因子bjaj1,2, ,n).nai,a11a2a3an 1an12000ci02300i 1,2,nD000n 10000n 1nCl (C2aa 2 a3an 1 an1 一 一 一-123n 1n110000110012n0001000011Cn)111 2 n (1ai1 a2 2解：Dn

31、nDn 1 ( 1)n 1(n 1)!（較難）31.計(jì)算D2nbbi o-ba-b 0 a* x j4bONabcdNO；dd解:D2n(1)1;0ID2(n 1)；，0ni ) n bb ,|iHr，00 ； d(1)12nb1）0 i -, D2(n 1)0， / hi ¥! aan,c 00(2n 1)(2n 1) (2 n 1)(2n 1) 11 1)ad D2(n 1)( 1)( 1)bC D2(n 1)n 1 、(ad bc)D2(n 1) (ad bc) D2 a bD2ad bc2 c dD2n (ad bc)n1i1II1；2 2；II（較難）32.計(jì)算Dn1103

32、3IIIIM' M M O O 'II1 ： 0 0 L n 1 ： n 11，0 0 L 0 ' n （中等）n (nn(nn(nD2Dn33.解法解法（較難）(n!)1)Dn 2(1)Dn2 (1) 3 D2(1)2因?yàn)镈1D1與D的第1)(n 1) 1(n1)nn!1)21 1)!(1)n1(n1)!1)1)3n 1 n!1)nn!1)n1- n(1)32(1)43(1)n1,求 A11A21A31 A41 -列元素的代數(shù)余子式相同所以將D1按第1列展開可得A112： 因?yàn)镈的第3列元素與D的第為0,即所以34.計(jì)算D解：采用加邊法.DnA21A31A411列元素

33、的代數(shù)余子式相乘求和3A113 A213 A31A11A21A311a10 a1bl0a10 a1ab1a23A410a2a2b2a2a2b2a2anan(bi0)a2ananananbnanbn1a1a2anaia2 Lanbibib2bnaia2b2bib2bnbnb1b2 Lbna2anb1b2bn（中等）35.計(jì)算行列式 D13121534021151331312153402115133131202110846016271312084602110162712112510 151310210020002151040（較難）36.計(jì)算行列式Db2解：Dd2 d1 a1 b1 c1 d111

34、1b2d21b21d2b21 2 c1 a 1 b1c 1 d（已知 abcd 1）1c1dabcd（較難）a 1 b7 1 c1不37.n階行列式為Dn1 -2 a1 b2 1 c110.,求第一行各元素的代數(shù)余子式之和AI1A12L解:第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成AnA2 L Ann!（中等）38.用克萊姆法則求解線性方程組XiX22x453x12x2X32x464x13x2X3X402x1X30解：系數(shù)行列式按第三列展開1)1)4按第三列展開（1)1)3同樣可以計(jì)算D3所以（較容易）39.試問解：系數(shù)行列式DD12,X2為何值時(shí),方程組10,20,3,X3X1X1X1D2D415,4,X4D4D25當(dāng)D0時(shí)有唯一解1原非齊次方程組有唯一解kX（較容易）40.試問k為何值時(shí),方程組2x解：系數(shù)行列式DD (k2