薄板的小撓度彎曲問題

1、第十二章 薄板的小撓度彎曲問題知識點薄板的基本概念薄板的位移與應變分量薄板廣義力薄板小撓度彎曲問題基本方程薄板自由邊界條件的簡化薄板的萊維解矩形簡支薄板的撓度基爾霍夫假設薄板應力廣義位移與薄板的平衡薄板的典型邊界條件薄板自由邊界角點邊界條件撓度函數的分解一、內容介紹薄板是工程結構中的一種常用構件，它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板。薄板的彎曲變形屬于彈性力學空間問題，由于數學求解的復雜性，因此，需要首先建立應力和變形分布的基本假設。根據薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設

2、，抽象建立薄板彎曲的力學模型。薄板的小撓度彎曲理論是由基爾霍夫基本假設作為基礎的。根據基爾霍夫假設，采用位移解法，就是以撓度函數作為基本未知量求解。因此，首先將薄板的應力、應變和內力用撓度函數表達。然后根據薄板單元體的平衡，建立撓度函數表達到平衡方程。對于薄板問題，邊界條件的處理與彈性力學平面等問題有所不同，典型形式有幾何邊界、混合邊界和面力邊界條件。二、重點1、基爾霍夫假設；2、薄板的應力、廣義力和廣義位移；3、薄板小撓度彎曲問題的基本方程；4、薄板的典型邊界條件及其簡化。§12.1 薄板的基本概念和基本假設學習要點:本節(jié)討論薄板的基本概念和基本假設。薄板主要幾何特征是板的中面和厚

3、度。首先，根據幾何尺寸，定義薄板為0.5d/b1/80，并且撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題。對于小撓度薄板，在橫向載荷作用下，將主要產生彎曲變形。根據薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設，抽象建立薄板彎曲的力學模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設作為基礎的，因為這些基本假設是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設。根據上述假設建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學的經典理論，長期應用于工程問題的分析。實踐證明是完全正確的。學習思路：1、薄板基本概念；2、基爾霍夫假設1、薄板基本概念薄板是工程結構中的一種常用

4、構件，它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板薄板的彎曲變形屬于彈性力學空間問題，由于數學求解的復雜性，因此，需要首先建立應力和變形分布的基本假設。薄板的上下兩個平行面稱為板面，垂直于平行面的柱面稱為板邊，如圖所示。兩個平行面之間的距離稱為板厚，用d 表示。平分板厚的平面稱為板的中面。設薄板寬度為a、b，假如板的最小特征尺寸為b，如果d/b1/5，稱為厚板；如果d/b1/80，稱為膜板；如果1/80d/b1/5，稱為薄板。厚板屬于彈性力學空間問題，而膜板只能承受膜平面內部的張力，因此，板的彎曲問題主要是薄板。如果薄板的外載荷作用于板的中面，而且不發(fā)

5、生失穩(wěn)問題時，屬于平面應力問題討論。如果外載荷為垂直于板的中面作用的橫向載荷，則板主要變形為彎曲變形。中面在薄板彎曲時變形成為曲面，中面沿垂直方向，即橫向位移稱為撓度。對于薄板，仍然有相當的彎曲剛度，如果撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題；如果超過這個界限，屬于大變形問題。本章只討論薄板的小撓度彎曲問題。根據薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設，抽象建立薄板彎曲的力學模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設作為基礎的，因為這些基本假設是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設。2、基爾霍夫假設薄板的小撓度彎曲理論

6、是由三個基本假設作為基礎的，因為這些基本假設是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設。設中面為xy平面，則1、變形前垂直于中面的直線變形后仍然保持直線，而且長度不變。這相當于梁的彎曲變形平面假設，如圖所示根據這一假設，ezgzxgzy0。2、垂直于中面方向的應力分量sz，tzx，tzy遠小于其他應力分量，其引起的變形可以不計，但是對于維持平衡是必要的，這相當于梁的彎曲無擠壓應力假設。3、薄板彎曲時，中面各點只有垂直中面的位移w，沒有平行中面的位移，即uz=0=0， vz=0=0， w=w(x, y)根據這一假設，板的中面將沒有變形發(fā)生。板的中面位移函數w(x, y)稱為撓度函數。根據上述

7、假設建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學的經典理論，長期應用于工程問題的分析，實踐證明是完全正確的。根據基爾霍夫假設，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數w(x, y)。下面的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構方程，用撓度函數w(x, y)表達薄板內部任意一點的位移、應力、應變和內力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數所要滿足的微分方程。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解屬于位移解法。§12.2 薄板小撓度彎曲問題的基本方程學習要點:根據基爾霍夫假設，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數w(x, y)。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解采用位移解法。本節(jié)的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和

8、本構方程，用撓度函數w(x, y)表達薄板內部任意一點的位移、應力、應變和內力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數所要滿足的微分方程。分析中應該注意，根據基本假設，與厚度方向相關的應變分量為零，其對應的應力分量產生的變形是忽略不計的。但是應該注意這些應力分量對于平衡的影響必須考慮。通過分析可以得到薄板問題的廣義力和對應的廣義位移。根據單元體的平衡，可以得到關于廣義力和廣義位移的關系式。然后將其描述為撓度函數表達的薄板基本方程。學習思路：1、位移與應變分量；2、應力分量；3、廣義力；4、廣義位移與平衡關系；5、薄板彎曲小撓度問題的基本方程。1、薄板位移和應變分量根據薄板彎曲的第一個假設，則幾

9、何方程為根據幾何方程的第3式，則 ，從而w=w(x，y)。薄板厚度方向的位移與z坐標無關，可以應用板的中面位移表達板的撓度。根據幾何方程的5，6式，有對z積分，可得注意到第3個假設，uz=0=0,vz=0=0，因此 f(x，y)= g(x，y)=0，所以上述分析將位移分量通過撓度函數w(x, y)表示。根據幾何方程可以得到撓度函數表達的應變分量。有上式表明，薄板的彎曲應變是沿厚度線性分布的，在板的中面為零，上下板面處達到極值。2、薄板的應力分量 根據基爾霍夫假設，本構方程簡化為代入應變表達式有薄板小撓度彎曲問題的正應力和切應力沿厚度也是線性分布的。基本假設中的ezgzxgzy0，與厚度方向相關

10、的應變分量為零，其對應的應力分量產生的變形是不計的。應該注意的問題是，這些應力分量相對于其它應力分量產生的變形可以不計，但是對于平衡的影響必須考慮。這里必須放棄物理方程中關于的ezgzxgzy0的結論，而要求s z -n (sx+sy) 0；tzxtzy0。由于不計txz，tyz，所以gxzgyz0，根據幾何方程，當然必須放棄物理方程中關于的gxz和gyz的部分，即要gxzgyz0，而txz，tyz又不等于0。3、廣義力對于矩形薄板，采用圖示坐標系。如果從薄板中選取一個微小單元體ddxdy，單元體在Oxy平面的投影為矩形abcd，單元體上部有橫向載荷qdxdy，底面為自由表面。其中外法線與x軸

11、平行的的側面有應力分量sx，txz，txy，根據公式可以知道，應力分量sx，txz，txy均以中面為對稱面而反對稱分布。這些應力分量將分別組成合成彎矩Mx，扭矩My和橫向剪力FSx，如圖所示如果用Mx，My和FSx分別單位長度的彎矩，扭矩和橫向剪力。則同理，討論外法線與x軸平行的的側面，有下面設法將上述內力用撓度函數w(x, y)表示。將應力表達式代入上述內力分量表達式，有其中同理上述內力Mx，My，Myy和FSx和FSy稱為廣義力。分別作用于單元體的側面邊界如圖所示。4、廣義位移與平衡關系上述廣義力對應的廣義應變?yōu)閗x是薄板中面在與Oxz平面平行的平面內的曲率，曲率取負號是由于撓曲面凸面向下

12、為正曲率，而對應的撓度函數的二階導數 為負值。kxy稱為中面對于x，y軸的扭率。利用廣義應變，可以將廣義力表示為考慮單元體的平衡則如果討論 ，即繞x軸的力矩之和等于零?？紤]單元體內力對于角點的力矩平衡，有整理并且略去高階小量，有5、薄板彎曲小撓度問題的基本方程同理，根據 ，有根據 ，可以得到簡化并且略去高階小量，有將公式代入上式，并且注意到Mxy=Myx，有將撓度函數w(x, y)代入上式，則或者寫作其中號 為拉普拉斯算符。公式 就是薄板小撓度彎曲問題的基本方程。從而，問題歸結為在滿足邊界條件的基礎上求解基本方程，確定撓度函數；然后根據公式計算廣義力彎矩和扭矩；再根據公式確定薄板應力分量。&#

13、167;12.3 薄板邊界條件學習要點:薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于薄板基本方程為一個四階偏微分方程，因此對于矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式可以分為幾何邊界條件、面力邊界條件和混合邊界條件。分別對應薄板的固定邊界、自由邊界和簡支邊界約束。由于薄板彎曲問題應用位移解法，因此，本節(jié)對于不同的邊界約束，推導邊界條件的撓度函數表達形式。應該注意的自由邊界條件，由于自由邊界屬于面力邊界，因此轉換為位移邊界條件時并不是完全獨立的，必須作進一步的簡化，特別是兩個自由邊界角點的約束變換。學習思路：1、典型邊界條件形式；2、自由邊界條件。1、典型

14、邊界條件形式薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于方程為一個四階偏微分方程，因此對于矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式為1、幾何邊界條件：就是在邊界上給定邊界撓度w和邊界切線方向轉角 ，t為邊界切線方向。2、面力邊界條件：在邊界給定橫向剪力和彎矩。3、混合邊界條件。在邊界同時給出廣義力和廣義位移。以下討論常見的邊界支承形式和對應的邊界條件：一、固定邊界對于固定邊界，如圖所示顯然有邊界撓度和轉角均為零的幾何條件。因此，在x=0邊界，有二、簡支邊界薄板在簡支邊界，不能有撓度，但是可以有微小的轉動。因此邊界條件為撓度為零和彎矩為零，屬于混合邊界條件

15、。在x=0邊界，有由于 ，同時在邊界x=0，有 。所以邊界條件可以寫作三、自由邊界對于自由邊界在x=0邊界，有上式給出了3個面力邊界條件，進一步分析可以證明，這3個面力邊界條件并不是獨立的。其中扭矩可以用等效剪力來表示。作用在x=a邊界上長度為dy的微單元體上的扭矩可以用兩個大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。顯然這種代換是靜力等效的根據圣維南原理，代換的影響僅僅是局部的。因此，代換后，兩個微小單元之間增加一個集度為 的剪力。因此邊界x=a自由邊界，總的分布剪力為因此，邊界條件可以改寫作應該指出，如果相鄰的兩個邊界都是自由邊界，則扭矩用上述剪力等效替代時，在兩個邊界的角點將會出現沒有抵消的

16、集中剪力FSR，如果邊界角點受到支承，這個集中剪力就是支座對于薄板的角點的集中反力，如圖所示對于懸空的角點，由于邊界角點B處于自由狀態(tài)，因此有根據公式 ，有如果在角點有支座，而且撓度被阻止發(fā)生，有此時，支座反力可以根據公式 計算。§12.4 矩形薄板的經典解法學習要點:本節(jié)以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。問題求解的方法比較多，本節(jié)介紹分離變量法。這種方法采用無窮級數形式求解，在一般條件下，級數的收斂很快。求解的方法是根據薄板變形，首先將撓度函數寫作坐標x和y的函數乘積形式。然后將撓度函數分解為基本方程的特解和齊次方程解兩部份，分別應用邊界條件確定。學習思路：1、邊

17、界條件與撓度函數形式；2、撓度函數的分解；3、基本方程的齊次解和特解；4、薄板的撓度和最大撓度。1、邊界條件與撓度函數形式下面以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。設矩形薄板邊長分別為a和b，受均勻分布橫向載荷q(x，y)作用，如圖所示薄板的邊界條件為因此，問題的求解歸結為在滿足上述邊界條件求解基本方程薄板彎曲問題求解的方法比較多，以下介紹應用最廣泛的分離變量法。這種方法采用無窮級數形式求解，在一般條件下，級數的收斂很快。對于直角坐標，最為方便的是萊維（Lévy.M.）解。設其中Ym(y)是坐標y的函數。由于x=0和x=a為簡支邊界，因此上述撓度函數是滿足簡支邊界條件的。問題是如何使得撓度函數的每一項都滿足 的邊界條件。2、撓度函數的分解由于問題的基本方程是非齊次的偏微分方程，為簡化分析，設w=w1+w2 其中w1和w2分別為基本方程的齊次解和特解。因此由于w1為基本方程的齊次解，與載荷無關，而w1+w2必須滿足全部邊界條件，因此將w1取為級數形式。并且考慮其對稱性，應該取奇數，即由于上式對于所有的x均成立，所以方程的通解形式為由于薄板彎曲關于x坐標軸是對稱的，所以Ym(y)只能是y的偶函數。所以Cm=Dm=0 因此由于對稱性條件的應用，在 的兩個邊界上，原為4個邊界條件，現在只需滿足2個。3、基本方程的齊次解和特解對于特解w2，只要任意選