薄板的小撓度彎曲問(wèn)題

1、第十二章 薄板的小撓度彎曲問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)薄板的基本概念薄板的位移與應(yīng)變分量薄板廣義力薄板小撓度彎曲問(wèn)題基本方程薄板自由邊界條件的簡(jiǎn)化薄板的萊維解矩形簡(jiǎn)支薄板的撓度基爾霍夫假設(shè)薄板應(yīng)力廣義位移與薄板的平衡薄板的典型邊界條件薄板自由邊界角點(diǎn)邊界條件撓度函數(shù)的分解一、內(nèi)容介紹薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件，它是由兩個(gè)平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠(yuǎn)小于底面尺寸，簡(jiǎn)稱(chēng)板。薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問(wèn)題，由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，因此，需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)

2、，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由基爾霍夫基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，采用位移解法，就是以撓度函數(shù)作為基本未知量求解。因此，首先將薄板的應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力用撓度函數(shù)表達(dá)。然后根據(jù)薄板單元體的平衡，建立撓度函數(shù)表達(dá)到平衡方程。對(duì)于薄板問(wèn)題，邊界條件的處理與彈性力學(xué)平面等問(wèn)題有所不同，典型形式有幾何邊界、混合邊界和面力邊界條件。二、重點(diǎn)1、基爾霍夫假設(shè)；2、薄板的應(yīng)力、廣義力和廣義位移；3、薄板小撓度彎曲問(wèn)題的基本方程；4、薄板的典型邊界條件及其簡(jiǎn)化。§12.1 薄板的基本概念和基本假設(shè)學(xué)習(xí)要點(diǎn):本節(jié)討論薄板的基本概念和基本假設(shè)。薄板主要幾何特征是板的中面和厚

3、度。首先，根據(jù)幾何尺寸，定義薄板為0.5d/b1/80，并且撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問(wèn)題。對(duì)于小撓度薄板，在橫向載荷作用下，將主要產(chǎn)生彎曲變形。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個(gè)基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因?yàn)檫@些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱(chēng)為基爾霍夫假設(shè)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長(zhǎng)期應(yīng)用于工程問(wèn)題的分析。實(shí)踐證明是完全正確的。學(xué)習(xí)思路：1、薄板基本概念；2、基爾霍夫假設(shè)1、薄板基本概念薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用

4、構(gòu)件，它是由兩個(gè)平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠(yuǎn)小于底面尺寸，簡(jiǎn)稱(chēng)板薄板的彎曲變形屬于彈性力學(xué)空間問(wèn)題，由于數(shù)學(xué)求解的復(fù)雜性，因此，需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。薄板的上下兩個(gè)平行面稱(chēng)為板面，垂直于平行面的柱面稱(chēng)為板邊，如圖所示。兩個(gè)平行面之間的距離稱(chēng)為板厚，用d 表示。平分板厚的平面稱(chēng)為板的中面。設(shè)薄板寬度為a、b，假如板的最小特征尺寸為b，如果d/b1/5，稱(chēng)為厚板；如果d/b1/80，稱(chēng)為膜板；如果1/80d/b1/5，稱(chēng)為薄板。厚板屬于彈性力學(xué)空間問(wèn)題，而膜板只能承受膜平面內(nèi)部的張力，因此，板的彎曲問(wèn)題主要是薄板。如果薄板的外載荷作用于板的中面，而且不發(fā)

5、生失穩(wěn)問(wèn)題時(shí)，屬于平面應(yīng)力問(wèn)題討論。如果外載荷為垂直于板的中面作用的橫向載荷，則板主要變形為彎曲變形。中面在薄板彎曲時(shí)變形成為曲面，中面沿垂直方向，即橫向位移稱(chēng)為撓度。對(duì)于薄板，仍然有相當(dāng)?shù)膹澢鷦偠?，如果撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度?wèn)題；如果超過(guò)這個(gè)界限，屬于大變形問(wèn)題。本章只討論薄板的小撓度彎曲問(wèn)題。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠(yuǎn)小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學(xué)模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個(gè)基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因?yàn)檫@些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱(chēng)為基爾霍夫假設(shè)。2、基爾霍夫假設(shè)薄板的小撓度彎曲理論

6、是由三個(gè)基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因?yàn)檫@些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱(chēng)為基爾霍夫假設(shè)。設(shè)中面為xy平面，則1、變形前垂直于中面的直線變形后仍然保持直線，而且長(zhǎng)度不變。這相當(dāng)于梁的彎曲變形平面假設(shè)，如圖所示根據(jù)這一假設(shè)，ezgzxgzy0。2、垂直于中面方向的應(yīng)力分量sz，tzx，tzy遠(yuǎn)小于其他應(yīng)力分量，其引起的變形可以不計(jì)，但是對(duì)于維持平衡是必要的，這相當(dāng)于梁的彎曲無(wú)擠壓應(yīng)力假設(shè)。3、薄板彎曲時(shí)，中面各點(diǎn)只有垂直中面的位移w，沒(méi)有平行中面的位移，即uz=0=0， vz=0=0， w=w(x, y)根據(jù)這一假設(shè)，板的中面將沒(méi)有變形發(fā)生。板的中面位移函數(shù)w(x, y)稱(chēng)為撓度函數(shù)。根據(jù)上述

7、假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，長(zhǎng)期應(yīng)用于工程問(wèn)題的分析，實(shí)踐證明是完全正確的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w(x, y)。下面的工作是通過(guò)平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，用撓度函數(shù)w(x, y)表達(dá)薄板內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。因此，薄板的小撓度彎曲問(wèn)題求解屬于位移解法。§12.2 薄板小撓度彎曲問(wèn)題的基本方程學(xué)習(xí)要點(diǎn):根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w(x, y)。因此，薄板的小撓度彎曲問(wèn)題求解采用位移解法。本節(jié)的工作是通過(guò)平衡微分方程、幾何方程和

8、本構(gòu)方程，用撓度函數(shù)w(x, y)表達(dá)薄板內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。分析中應(yīng)該注意，根據(jù)基本假設(shè)，與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形是忽略不計(jì)的。但是應(yīng)該注意這些應(yīng)力分量對(duì)于平衡的影響必須考慮。通過(guò)分析可以得到薄板問(wèn)題的廣義力和對(duì)應(yīng)的廣義位移。根據(jù)單元體的平衡，可以得到關(guān)于廣義力和廣義位移的關(guān)系式。然后將其描述為撓度函數(shù)表達(dá)的薄板基本方程。學(xué)習(xí)思路：1、位移與應(yīng)變分量；2、應(yīng)力分量；3、廣義力；4、廣義位移與平衡關(guān)系；5、薄板彎曲小撓度問(wèn)題的基本方程。1、薄板位移和應(yīng)變分量根據(jù)薄板彎曲的第一個(gè)假設(shè)，則幾

9、何方程為根據(jù)幾何方程的第3式，則 ，從而w=w(x，y)。薄板厚度方向的位移與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，可以應(yīng)用板的中面位移表達(dá)板的撓度。根據(jù)幾何方程的5，6式，有對(duì)z積分，可得注意到第3個(gè)假設(shè)，uz=0=0,vz=0=0，因此 f(x，y)= g(x，y)=0，所以上述分析將位移分量通過(guò)撓度函數(shù)w(x, y)表示。根據(jù)幾何方程可以得到撓度函數(shù)表達(dá)的應(yīng)變分量。有上式表明，薄板的彎曲應(yīng)變是沿厚度線性分布的，在板的中面為零，上下板面處達(dá)到極值。2、薄板的應(yīng)力分量 根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，本構(gòu)方程簡(jiǎn)化為代入應(yīng)變表達(dá)式有薄板小撓度彎曲問(wèn)題的正應(yīng)力和切應(yīng)力沿厚度也是線性分布的?；炯僭O(shè)中的ezgzxgzy0，與厚度方向相關(guān)

10、的應(yīng)變分量為零，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形是不計(jì)的。應(yīng)該注意的問(wèn)題是，這些應(yīng)力分量相對(duì)于其它應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形可以不計(jì)，但是對(duì)于平衡的影響必須考慮。這里必須放棄物理方程中關(guān)于的ezgzxgzy0的結(jié)論，而要求s z -n (sx+sy) 0；tzxtzy0。由于不計(jì)txz，tyz，所以gxzgyz0，根據(jù)幾何方程，當(dāng)然必須放棄物理方程中關(guān)于的gxz和gyz的部分，即要gxzgyz0，而txz，tyz又不等于0。3、廣義力對(duì)于矩形薄板，采用圖示坐標(biāo)系。如果從薄板中選取一個(gè)微小單元體ddxdy，單元體在Oxy平面的投影為矩形abcd，單元體上部有橫向載荷qdxdy，底面為自由表面。其中外法線與x軸

11、平行的的側(cè)面有應(yīng)力分量sx，txz，txy，根據(jù)公式可以知道，應(yīng)力分量sx，txz，txy均以中面為對(duì)稱(chēng)面而反對(duì)稱(chēng)分布。這些應(yīng)力分量將分別組成合成彎矩Mx，扭矩My和橫向剪力FSx，如圖所示如果用Mx，My和FSx分別單位長(zhǎng)度的彎矩，扭矩和橫向剪力。則同理，討論外法線與x軸平行的的側(cè)面，有下面設(shè)法將上述內(nèi)力用撓度函數(shù)w(x, y)表示。將應(yīng)力表達(dá)式代入上述內(nèi)力分量表達(dá)式，有其中同理上述內(nèi)力Mx，My，Myy和FSx和FSy稱(chēng)為廣義力。分別作用于單元體的側(cè)面邊界如圖所示。4、廣義位移與平衡關(guān)系上述廣義力對(duì)應(yīng)的廣義應(yīng)變?yōu)閗x是薄板中面在與Oxz平面平行的平面內(nèi)的曲率，曲率取負(fù)號(hào)是由于撓曲面凸面向下

12、為正曲率，而對(duì)應(yīng)的撓度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 為負(fù)值。kxy稱(chēng)為中面對(duì)于x，y軸的扭率。利用廣義應(yīng)變，可以將廣義力表示為考慮單元體的平衡則如果討論 ，即繞x軸的力矩之和等于零?？紤]單元體內(nèi)力對(duì)于角點(diǎn)的力矩平衡，有整理并且略去高階小量，有5、薄板彎曲小撓度問(wèn)題的基本方程同理，根據(jù) ，有根據(jù) ，可以得到簡(jiǎn)化并且略去高階小量，有將公式代入上式，并且注意到Mxy=Myx，有將撓度函數(shù)w(x, y)代入上式，則或者寫(xiě)作其中號(hào) 為拉普拉斯算符。公式 就是薄板小撓度彎曲問(wèn)題的基本方程。從而，問(wèn)題歸結(jié)為在滿足邊界條件的基礎(chǔ)上求解基本方程，確定撓度函數(shù)；然后根據(jù)公式計(jì)算廣義力彎矩和扭矩；再根據(jù)公式確定薄板應(yīng)力分量。&#

13、167;12.3 薄板邊界條件學(xué)習(xí)要點(diǎn):薄板彎曲問(wèn)題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于薄板基本方程為一個(gè)四階偏微分方程，因此對(duì)于矩形薄板，每個(gè)邊界必須給出兩個(gè)邊界條件。薄板彎曲問(wèn)題的典型邊界條件形式可以分為幾何邊界條件、面力邊界條件和混合邊界條件。分別對(duì)應(yīng)薄板的固定邊界、自由邊界和簡(jiǎn)支邊界約束。由于薄板彎曲問(wèn)題應(yīng)用位移解法，因此，本節(jié)對(duì)于不同的邊界約束，推導(dǎo)邊界條件的撓度函數(shù)表達(dá)形式。應(yīng)該注意的自由邊界條件，由于自由邊界屬于面力邊界，因此轉(zhuǎn)換為位移邊界條件時(shí)并不是完全獨(dú)立的，必須作進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，特別是兩個(gè)自由邊界角點(diǎn)的約束變換。學(xué)習(xí)思路：1、典型邊界條件形式；2、自由邊界條件。1、典型

14、邊界條件形式薄板彎曲問(wèn)題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于方程為一個(gè)四階偏微分方程，因此對(duì)于矩形薄板，每個(gè)邊界必須給出兩個(gè)邊界條件。薄板彎曲問(wèn)題的典型邊界條件形式為1、幾何邊界條件：就是在邊界上給定邊界撓度w和邊界切線方向轉(zhuǎn)角 ，t為邊界切線方向。2、面力邊界條件：在邊界給定橫向剪力和彎矩。3、混合邊界條件。在邊界同時(shí)給出廣義力和廣義位移。以下討論常見(jiàn)的邊界支承形式和對(duì)應(yīng)的邊界條件：一、固定邊界對(duì)于固定邊界，如圖所示顯然有邊界撓度和轉(zhuǎn)角均為零的幾何條件。因此，在x=0邊界，有二、簡(jiǎn)支邊界薄板在簡(jiǎn)支邊界，不能有撓度，但是可以有微小的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此邊界條件為撓度為零和彎矩為零，屬于混合邊界條件

15、。在x=0邊界，有由于 ，同時(shí)在邊界x=0，有 。所以邊界條件可以寫(xiě)作三、自由邊界對(duì)于自由邊界在x=0邊界，有上式給出了3個(gè)面力邊界條件，進(jìn)一步分析可以證明，這3個(gè)面力邊界條件并不是獨(dú)立的。其中扭矩可以用等效剪力來(lái)表示。作用在x=a邊界上長(zhǎng)度為dy的微單元體上的扭矩可以用兩個(gè)大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。顯然這種代換是靜力等效的根據(jù)圣維南原理，代換的影響僅僅是局部的。因此，代換后，兩個(gè)微小單元之間增加一個(gè)集度為 的剪力。因此邊界x=a自由邊界，總的分布剪力為因此，邊界條件可以改寫(xiě)作應(yīng)該指出，如果相鄰的兩個(gè)邊界都是自由邊界，則扭矩用上述剪力等效替代時(shí)，在兩個(gè)邊界的角點(diǎn)將會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有抵消的

16、集中剪力FSR，如果邊界角點(diǎn)受到支承，這個(gè)集中剪力就是支座對(duì)于薄板的角點(diǎn)的集中反力，如圖所示對(duì)于懸空的角點(diǎn)，由于邊界角點(diǎn)B處于自由狀態(tài)，因此有根據(jù)公式 ，有如果在角點(diǎn)有支座，而且撓度被阻止發(fā)生，有此時(shí)，支座反力可以根據(jù)公式 計(jì)算。§12.4 矩形薄板的經(jīng)典解法學(xué)習(xí)要點(diǎn):本節(jié)以簡(jiǎn)支邊界矩形薄板為例，說(shuō)明薄板彎曲問(wèn)題的求解方法。問(wèn)題求解的方法比較多，本節(jié)介紹分離變量法。這種方法采用無(wú)窮級(jí)數(shù)形式求解，在一般條件下，級(jí)數(shù)的收斂很快。求解的方法是根據(jù)薄板變形，首先將撓度函數(shù)寫(xiě)作坐標(biāo)x和y的函數(shù)乘積形式。然后將撓度函數(shù)分解為基本方程的特解和齊次方程解兩部份，分別應(yīng)用邊界條件確定。學(xué)習(xí)思路：1、邊

17、界條件與撓度函數(shù)形式；2、撓度函數(shù)的分解；3、基本方程的齊次解和特解；4、薄板的撓度和最大撓度。1、邊界條件與撓度函數(shù)形式下面以簡(jiǎn)支邊界矩形薄板為例，說(shuō)明薄板彎曲問(wèn)題的求解方法。設(shè)矩形薄板邊長(zhǎng)分別為a和b，受均勻分布橫向載荷q(x，y)作用，如圖所示薄板的邊界條件為因此，問(wèn)題的求解歸結(jié)為在滿足上述邊界條件求解基本方程薄板彎曲問(wèn)題求解的方法比較多，以下介紹應(yīng)用最廣泛的分離變量法。這種方法采用無(wú)窮級(jí)數(shù)形式求解，在一般條件下，級(jí)數(shù)的收斂很快。對(duì)于直角坐標(biāo)，最為方便的是萊維（Lévy.M.）解。設(shè)其中Ym(y)是坐標(biāo)y的函數(shù)。由于x=0和x=a為簡(jiǎn)支邊界，因此上述撓度函數(shù)是滿足簡(jiǎn)支邊界條件的。問(wèn)題是如何使得撓度函數(shù)的每一項(xiàng)都滿足 的邊界條件。2、撓度函數(shù)的分解由于問(wèn)題的基本方程是非齊次的偏微分方程，為簡(jiǎn)化分析，設(shè)w=w1+w2 其中w1和w2分別為基本方程的齊次解和特解。因此由于w1為基本方程的齊次解，與載荷無(wú)關(guān)，而w1+w2必須滿足全部邊界條件，因此將w1取為級(jí)數(shù)形式。并且考慮其對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)該取奇數(shù)，即由于上式對(duì)于所有的x均成立，所以方程的通解形式為由于薄板彎曲關(guān)于x坐標(biāo)軸是對(duì)稱(chēng)的，所以Ym(y)只能是y的偶函數(shù)。所以Cm=Dm=0 因此由于對(duì)稱(chēng)性條件的應(yīng)用，在 的兩個(gè)邊界上，原為4個(gè)邊界條件，現(xiàn)在只需滿足2個(gè)。3、基本方程的齊次解和特解對(duì)于特解w2，只要任意選