羅爾定理論文

1、淺談羅爾定理及拉格朗日定理推廣及應(yīng)用摘 要：微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ).本文在羅爾定理及拉格朗日定理原有描述的基礎(chǔ)上，對其進行了推廣，使其定理的適用范圍更加廣泛；同時，對羅爾定理在討論方程根的存在性問題中的應(yīng)用及拉格朗日定理在證明不等式和求極限問題中的應(yīng)用進行了討論，證實所得推廣定理的有效性及實用性.關(guān)鍵詞：羅爾定理；拉格朗日中值定理；極限；導(dǎo)數(shù)一、羅爾定理推廣及應(yīng)用（一）羅爾定理推廣1.羅爾定理描述若函數(shù)滿足下列條件：在閉區(qū)間連續(xù)；在開區(qū)間可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使.2.羅爾定理的推廣2.1羅爾定理推廣1 設(shè)為有限或無限區(qū)間，在內(nèi)可微，且（A可為有限也可為），則至少存在一點，使. 證

2、明：(1)設(shè)為有限區(qū)間.若A是有限值，令容易驗證在上滿足羅爾定理的條件，故，使.(2)若A為， 為有限區(qū)間或無限區(qū)間，由在內(nèi)的連續(xù)性知，當(dāng)充分大時，直線與曲線至少有兩個焦點與，即且.不妨設(shè)，對在上應(yīng)用羅爾定理，使得；(3)若A為有限值，為無限區(qū)間.做變量替換，即選擇函數(shù)，滿足如下要求：，（這里是有限區(qū)間），存在且不變號.然后對符合函數(shù)在應(yīng)用(1) 的結(jié)果.1)當(dāng)，即.做變換，令，則在上滿足(1)式的全部條件.故，使，而， ，于是取，就是；2)若當(dāng)有限，即，作變換，（其中為正數(shù)）令，則在上滿足(1)式的全部條件.故，使，而，于是取，就有.3)當(dāng)，為有限，即，做變換 ，其中為負(fù)數(shù)，同理可得，取，就

3、有.2.2 羅爾定理推廣2 任意個函數(shù)的微分中值定理 設(shè)在閉區(qū)間連續(xù)；在開區(qū)間可微；，則，使得 (1)證明：根據(jù)題設(shè)，函數(shù),在閉區(qū)間連續(xù)；在開區(qū)間可微； ,即，所以由羅爾定理知道，使得. 2.3羅爾定理推廣3設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則，使得.證明：設(shè).由行列式性質(zhì)知，則由于滿足羅爾定理，則，使得，則問題得證.（二） 羅爾定理的應(yīng)用1.在討論方程根的存在性問題時，可以應(yīng)用羅爾定理.羅爾定理的條件很寬松，給一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，只需函數(shù)在這個區(qū)間連續(xù)，可導(dǎo)（并不要求區(qū)間端點可導(dǎo)），在要求滿足條件.因此，可以應(yīng)用羅爾中值定理解決一些復(fù)雜的代數(shù)方程的判根問題.其步驟一般是：分析命題條件構(gòu)造輔助函數(shù)

4、驗證滿足羅爾定理的條件應(yīng)用羅爾定理命題結(jié)論.例1：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明:在內(nèi)，方程至少存在一個根.證明：令，顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且，根據(jù)羅爾定理，至少存在一個，使得，則有，故在內(nèi)，方程.至少存在一個根.2.羅爾定理的推廣也有廣泛的應(yīng)用.在證明不等式時，首先我們可以根據(jù)不等式倆邊的代數(shù)式選取不同的；其次，驗證是否滿足羅爾定理推廣中的某種形式的條件；最后，應(yīng)用定理進行解題，下面通過舉例說明其應(yīng)用.例2：設(shè)在內(nèi)可微，且滿足不等式， ,證明存在一點，使得，證明:由已知不等式知 ，.令，則，則由推廣的羅爾定理，使得，即.二、拉格朗日中值定理推廣及應(yīng)用（一）拉格朗日中值定理推廣1.拉格朗日中

5、值定理描述若函數(shù)滿足下列條件：在閉區(qū)間連續(xù)；在開區(qū)間可導(dǎo).則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.2.拉格朗日中值定理推廣2.1 推廣1在上述羅爾定理推廣三中若令，并代入上式即得拉格朗日中值定理.則就有下面推廣：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則至少，使，容易得到.2.2 推廣2 拉格朗日推廣到更一般的形式如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則對于任意給定的一組實數(shù)，且，必存在，使得，其中，特別地，當(dāng)，上式可寫.證明：令.顯示在上均滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理即可得證結(jié)論成立.2.3 推廣3 對于拉格朗日定理，若把條件減弱的話，定理應(yīng)用將更加廣泛.命題 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)除了有限個點外可微，則存在使

6、得.證明：不妨設(shè)在僅在不可微，分別在應(yīng)用拉格朗日定理中值定理，則得到， ， .令，使得.2.4 推廣4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若在內(nèi)除了n個點處可微，則存在個點，及個正數(shù)使得且.證明：不妨設(shè)在僅在不可微，則由上述推廣3得， ， ，取使則且.這個證明方法可以推廣到在n個點上不可微得情形，可以的以上的推論.2.5 推廣5 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)，則存在及，使得.證明：（1）先證明若在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)，且，則存在，使得.事實上，由在連續(xù)，得使得又，故必在區(qū)間內(nèi)取得至少一個最值，不防設(shè)最值點為，或，.（2）作輔助函數(shù)，則由在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)知

7、在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)，且有因為，故由上面的結(jié)論使得.不妨設(shè)則，即，又在上連續(xù)函數(shù).且，有介值定理，使得，即，又，則.(二) 拉格朗日中值定理應(yīng)用1.利用拉格朗日定理證明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在內(nèi)至少有一點，使得等式成立，但對的確切位置未作任何斷定，這并不影響定理在做理論探討和解決具體問題中所起的作業(yè). 利用拉格朗日中值定理證明不等式，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和對應(yīng)的區(qū)間，使它滿足拉格朗日中值定理，使得，在用不等式的性質(zhì)可證明數(shù)學(xué)不等式.具體步驟如下：第一步，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和對應(yīng)的區(qū)間；第二步，對所取的函數(shù)和對應(yīng)的區(qū)間，寫出拉格朗日中值公式，第三步，確定導(dǎo)函數(shù)在所討論的區(qū)

8、間上的單調(diào)性；第四步，分別，確定在區(qū)間端點上的導(dǎo)數(shù)值，由的單調(diào)性得出的范圍：， （當(dāng)單調(diào)增加時）， （當(dāng)單調(diào)減少時）由 ，這個等式就得到數(shù)學(xué)不等式；若當(dāng)單調(diào)增加時則有，或有.等,以下舉例說明.例3 當(dāng)時，則有證明：設(shè)， ，并滿足中值定理條件，且有 ， ，所以在是單調(diào)遞增的.故當(dāng)時，則有.2.拉格朗日定理在為求極限提供一種簡單而有效的方法對于有些求極限的題，如果使用羅比達法則，則求導(dǎo)數(shù)的計算量很大.微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡單而有效地方法.其方法是對極限題中的某些部分構(gòu)造輔助函數(shù)，使用微分中值定理，然后求出極限.例4 求，其中.解：對應(yīng)用拉格朗日定理，有，其中.參考文獻：1 數(shù)學(xué)分析（上）（第三版）M. 北京：高等教育出版社. 2001 2 劉玉璉 傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上）（第