課時教學計劃表瀘州職業(yè)技術學院

1、課時教學計劃表授課日期： 教案編號 第二章01課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學課程類型：理論授課形式：講授教學資源多媒體授課題目（章、節(jié)）21 導數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學教學目的與要求：會用導數(shù)的定義求一些簡單函數(shù)的導數(shù);會求曲線上一點處的切線方程和法線方程。教學重點和難點：重點：導數(shù)的定義，導數(shù)的幾何意義難點：可導與連續(xù)的關系教學內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、導數(shù)定義2、導函數(shù)定義3、導數(shù)的幾何意義4、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系5、小結本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：習題21 1，2（1），4，9課后體會：第二章 導數(shù)與微分1.引入提問（1）怎樣求變速運動的瞬時速度呢？（2）怎

2、樣求平面曲線在一點的切線斜率呢？（1）設物體作變速直線運動，它的運動方程(即路程s與時間的函數(shù)關系)是從而可以求得物體在時段內(nèi)的平均速度 很明顯，當無限變小時，平均速度無限接近于物體在時刻的瞬時速度因此，平均速度的極限值就是物體在時刻的瞬時速度，即可定義（2）如圖21所示, 設曲線所對應的函數(shù)為,，點的坐標分別為 (), ()，則割線的斜率是其中是割線的傾斜角當時,點沿著曲線無限趨近于點,而割線就無限趨近于它的極限位置.因此,切線的傾斜角是割線傾斜角的極限，切線的斜率是割線斜率的極限，即 以上兩例，雖然實際意義不同，但從數(shù)學結構上看，都可歸結為計算函數(shù)增量與自變量增量之比的極限問題，也就是下面

3、我們要研究的導數(shù)問2導數(shù)定義(板書)討論:該極限一定存在嗎?結論:存在稱函數(shù)在點處具有導數(shù)，稱可導;不存在導數(shù)就不存在,稱不可導注：（1）如果極限為無窮大，這時函數(shù)在點不可導，但為了方便，也稱函數(shù)在點的導數(shù)是無窮大 （2）上述導數(shù)的定義式還有以下幾種常用的形式：令=，則有令，則當時，有，于是有例3求函數(shù)在點的導數(shù)分析:根據(jù)導數(shù)的定義先計算再計算 最后由導數(shù)定義得:思考:函數(shù)在點處的導數(shù)怎樣求?例4設,求：分析:先求出,再把x=2,x=-1帶入即得，3.導函數(shù)定義如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都有導數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導這時，對于區(qū)間內(nèi)每一點,都有一個導數(shù)值與它對應因此是的函數(shù)，稱為函數(shù)的導函數(shù)，記

4、作即 由于函數(shù)在點的導數(shù),就是導函數(shù)在點的函數(shù)值， 即 因此，求函數(shù)在點的導數(shù),可以先求它的導函數(shù)，再將代入中，求得函數(shù)在點的導數(shù)注： 通常情況下，導函數(shù)也簡稱為導數(shù)例5 求函數(shù)的導數(shù)提示：該題的導數(shù)就是導函數(shù)解： 即 所以，常數(shù)的導數(shù)等于零小結：用定義求導數(shù)，可分為以下三個步驟： (1)求增量給自變量以增量,求出對應的函數(shù)增量 (2)算比值計算出兩個增量的比值(3)取極限對上式兩端取極限例6 求函數(shù) (>0，0)的導數(shù)解(1)求增量：(2)算比值：(3)取極限：令，則，且當時由此得即 特別地，當=e時， ln e=1，則上式表明，以e為底的指數(shù)函數(shù)的導數(shù)就是它自己，這是以e為底的指數(shù)函

5、數(shù)的一個重要特性要求同學課后論證： （參考書上例7，例8）4導數(shù)的幾何意義結合圖21，函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線的點處的切線的斜率由點斜式得曲線上點處切線方程：法線方程為 （o）例9 求曲線在點(1,1)處的切線方程和法線方程分析：關鍵是求出曲線在點(1,1)處的切線的斜率，而法線與切線垂直即知法線斜率與切線斜率互為負倒數(shù)關系，從而求出法線斜率，再用點斜式分別得切線方程和法線方程解 因為,所以曲線在點(1,1)處的切線的斜率為所以，所求切線方程為 即 所求法線的斜率為 于是所求法線方程為 即 5函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系提問:函數(shù)處連續(xù)與可導嗎?(畫圖分析,連續(xù)則不可導)定理 如果函數(shù)在點處可導，

6、則函數(shù)在點處連續(xù)證：因在點處可導，所以由于 所以 于是函數(shù)在點處連續(xù)6、小結本次課內(nèi)容: 本次課主要講解了：（1）導數(shù)的概念（2）導數(shù)幾何意義：k=（3）可導與連續(xù)的關系:可導 連續(xù)課時教學計劃表授課日期： 教案編號： 第二章02課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學課程類型：理論授課形式：講授教學資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)， 2.3復合函數(shù)的求導法則教材和主要參考書高等數(shù)學教學目的與要求：掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導法則. 復合函數(shù)的求導法則.能熟練,靈活應用法則求函數(shù)的導數(shù)。教學重點和難點： 重點：函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.及其相應滿足的條件難點：復合函

7、數(shù)的求導法則教學內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、函數(shù)和、差、積、商的求導法則2、復合函數(shù)的求導法則3、小結本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：習題22 1（1），（2），（7），2（2），4 習題23 1（1）(2)(4)(6), 2(1)(3)課后體會：第二章 導數(shù)與微分引入:大家知道,用導數(shù)的定義求導數(shù)是比較困難的,我們能否尋求更簡便的求導數(shù)的方法呢?在本次學習中將學習函數(shù)的和、差、積、商的求導法則及復合函數(shù)的求導法則1.函數(shù)和、差、積、商的求導法則由導數(shù)定義，可以推導出函數(shù)和、差、積、商的求導法則假設的導數(shù)均存在,則法則一 法則二 法則三這里僅證法則二證設自變量增量,則函數(shù),及的

8、對應增量分別為(1)(2)(3)由(1)、(2)式得，將它們代人(3)式，得 于是 因為u=，)在點處可導，即且由于在點可導的函數(shù)在該點必須連續(xù)，即.所以即函數(shù)在點處可導，且簡記為 由此得函數(shù)積的求導法則：兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)乘第二個因子再加上第一個因子乘第二個因子的導數(shù)特別地，當=(為常數(shù))時，由于常數(shù)的導數(shù)為0，則得積的求導法則可以推廣到有限多個函數(shù)之積的情形如，例1設，求及分析:該函數(shù)可看成三個函數(shù)u= v= w=和差，且該三個函數(shù)都可導，可以用法則一求導。解 例2求的導數(shù)。分析：該函數(shù)可看成由兩個函數(shù)u=，v=的乘積，且兩個函數(shù)都可導，于是可用法則二求導。解根據(jù)積

9、的求導法則，得例3.求的導數(shù)解解:由乘法法則得：例4求曲線 在點(1,2)的切線方程。分析：該題的關鍵是求出該曲線當x=1時的斜率，即先求該函數(shù)當x=1時的導數(shù)。 先化簡，再由法則一求導。解 在求一個函數(shù)的導數(shù)時，應先化簡再求導，可以簡化求導過程。因為所以，于是，曲線在點（1，2）處的切線方程為，即思考:該題還有其它方法媽?也可將 該函數(shù)可看成u=與v=的商，再,由法則三求導。最后由點斜式求出切線方程。但該方法較難,一般不用該方法.注：能用法則一，二求導的盡量不用法則三例5 求函數(shù)的導數(shù)分析:該題若用定義求導數(shù)難度比較大,若把它變形然后用法則三求其導數(shù)比較簡單即 課后論證:正切函數(shù)的導數(shù)的公式

10、:正割函數(shù)的導數(shù)公式:余割函數(shù)的導數(shù)公式:2.復合函數(shù)的求導法則定理如果函數(shù)在點x處可導,而函數(shù)在對應點處可導，則復合函數(shù)在點處可導，且其導數(shù)為證 略 由此得復合函數(shù)求導法則：兩個可導函數(shù)的復合函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘上中間變量對自變量的導數(shù) 復合函數(shù)的求導法則也稱為鏈式法則，它可以推廣到多個變量的情形例如，如果,且它們都可導，則 例6 求函數(shù)的導數(shù)分析:可以看作由復合而成，又于是,利用復合函數(shù)的求導法則即可求導解:例7 求函數(shù)的導數(shù)分析: 可看作由復合而成，因為所以利用可以求復合函數(shù)的求導法則即可求導出其導數(shù).解例8求函數(shù)的導數(shù)分析:可看作由復合而成，于是用復合函數(shù)的求導法則即可

11、求其導數(shù)解: 從以上幾例可以看出，應用復合函數(shù)求導法求導時，關鍵是將函數(shù)分解為可以求導的若干個簡單函數(shù)的復合在熟練了以后，中間變量可以不寫出來，從外到內(nèi)逐層求導，一直求到對自變量的導數(shù)為止例9 求函數(shù)的導數(shù)解 例10求函數(shù)的導數(shù)解 例11求函數(shù)的導數(shù)解因為所以補證冪函數(shù)的導數(shù)公式： 證因為所以 3、小結本次課內(nèi)容:(1)函數(shù)和、差、積、商的求導法則法則一 法則二 法則三(2)復合函數(shù)的求導法則課時教學計劃表授課日期： 教案編號： 第二章03課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學課程類型：理論授課形式：講授教學資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.4隱函數(shù)的導數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學教學目的與要求：了解隱函

12、數(shù)的概念,掌握求隱函數(shù)的導數(shù)方法.教學重點和難點： 重點：隱函數(shù)概念難點：求隱函數(shù)的導數(shù)教學內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、顯函數(shù)定義2、隱函數(shù)的定義3、隱函數(shù)的求導法則4、小結本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：習題24 1（1），2（1），3（1），4（1），5課后體會：第二章 導數(shù)與微分引入: 前面從定義出發(fā)可以求出基本函數(shù)的導數(shù),再用函數(shù)和、差、積、商的求導法則和復合函數(shù)的求導法則可以求出簡單的初等函數(shù)的的導數(shù),推導出一些基本的求導數(shù)公式,例如 ,等.然而有些特殊形式的函數(shù)的導數(shù)以上的方法就不能求出其導數(shù)了.例如由方程確定的隱函數(shù)y = f (x) 的導數(shù)。下面介紹隱函數(shù).顯函

13、數(shù)及隱函數(shù)的求導方法.1、顯函數(shù)定義：前邊我們研究函數(shù)都是假設它可以表示為y = f (x) 的形式，能表達成這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù)。例如提問:不是所有的函數(shù)都可以表示為顯函數(shù)?例如：方程可化為顯函數(shù).方程就無法將表示成的顯函數(shù)時變量之間的函數(shù)關系不能表示為的形式，而是由某個方程確定。2、隱函數(shù)的定義：我們把由方程=0所確定的函數(shù)叫作隱函數(shù)思考：有時可以將隱函數(shù)化為顯函數(shù)的形式，但通常將隱函數(shù)化為顯函數(shù)是比較困難的，甚至無法將隱函數(shù)化為顯函數(shù)怎樣求隱函數(shù)的導數(shù)呢?在實際問題中，有時需要計算隱函數(shù)的導數(shù)因此，我們希望有一種方法，無論隱函數(shù)能否化為顯函數(shù)的形式，都能直接由方程求出它所確定的

14、隱函數(shù)的導數(shù)來3隱函數(shù)的求導法則下面以例子說明求導法則例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù) 解在方程中,將看作的函數(shù),則是的復合函數(shù).因此,利用復合函數(shù)的求導法則，方程兩端同時對求導數(shù)，得，從上式中解出，得注意上述結果中的仍然是由方程戈所確定的隱函數(shù)習慣上對隱函數(shù)求導，結果允許用帶有的式子表示 例1表明，求隱函數(shù)的導數(shù)時,只需在方程中,將看作的函數(shù),的表達式看作的復合函數(shù),利用復合函數(shù)的求導法則，方程兩端同時對求導,得到一個關于，y，的方程，從中解出，即得所求隱函數(shù)的導數(shù)例2 求方程確定的隱函數(shù)y = f (x) 的導數(shù)。解 等式兩端對x求導數(shù)，得， ，即有 ，）解得 .例3求由方程所確定的隱函數(shù)

15、的導數(shù) 解方程兩端對求導數(shù)，得解得 例4求橢圓在點()處的切線方程解 由導數(shù)的幾何意義知，所求切線斜率為.橢圓方程兩邊對求導，得 解出，得 將=2，代入上式,得，于是所求切線方程為,即 例5求冪指函數(shù) (>0)的導數(shù)解 兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導，得 . 整理，得.上題中，先取對數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導法求導，這種方法叫作對數(shù)求導法一般地，冪指函數(shù)可以用對數(shù)求導法求導，也可以將冪指函數(shù)寫成，再用復合函數(shù)求導法求導例6求 (>0)的導數(shù)解 .對數(shù)求導法，對由多個因子通過乘、除、乘方或開方所構成的比較復雜的函數(shù)的求導也是很方便的例 7求函數(shù)的導數(shù)解 兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導數(shù)，得即例8求函

16、數(shù)的導數(shù)解 根據(jù)反正弦函數(shù)的定義，函數(shù)可化為兩邊對求導數(shù)，得即 因為當時，>0，所以于是，得 課后要求：證明4、小結本次課內(nèi)容:(1)顯函數(shù)定義 y=f(x)(2)隱函數(shù)的定義 F(x,y)=0(3)隱函數(shù)的求導法則(4)特殊題型要先變形用隱函數(shù)的求導方法求解課時教學計劃表授課日期： 教案編號： 第二章04課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學課程類型：理論授課形式：講授教學資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.5初等函數(shù)的導數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學教學目的與要求：能熟練計算初等函數(shù)的導數(shù)教學重點和難點： 重點：導數(shù)的基本公式, 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則, 復合函數(shù)的求導法則等的靈活應用難點：

17、應用復合函求導法則求初等函數(shù)的導數(shù)教學內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、導數(shù)的基本公式2、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則3、復合函數(shù)的求導法則4、小結本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：1（1）（9），2（1），3(1),4(1), 5課后體會：第二章 導數(shù)與微分引入: 前雖然學習了基本的求導公式和基方法,但還需要練習熟悉,靈活應用,歸納總結1 請學生上黑板寫公式:導數(shù)的基本公式2請學生上黑板寫公式:函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設是可導函數(shù)，是常數(shù)，則3復合函數(shù)的求導法則設都是可導函數(shù)，則復合函數(shù)的導數(shù)為例1 設，求.分析:該題要用冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),常函數(shù)求導公式,再用求導四

18、則運算公式解 = = =例2設求.分析:該題要分析結構,它是由復合而成解 (1)利用復合函數(shù)求導法則，有代回還原得在基本掌握復合函數(shù)求導法則后，也可以不寫出中間變量，如下解法：例3設，求解 例4設，求分析:該題是由復合而成解 4、小結本次課內(nèi)容1）、導數(shù)的基本公式 共16個2）、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則：3）、復合函數(shù)的求導法則：課時教學計劃表授課日期： 教案編號： 第二章05課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學課程類型：理論授課形式：講授教學資源多媒體授課題目（章、節(jié)）2.高階導數(shù)教材和主要參考書高等數(shù)學教學目的與要求：了解高階導數(shù)的概念，掌握求高階導數(shù)的方法教學重點和難點： 重點：高階導數(shù)

19、的概念難點：求高階導數(shù)的方法教學內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、二階導數(shù)2、階導數(shù)3、高階導數(shù)4、例題分析講解5、小結本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：1（1）（3），2（1），4（1），6（1）課后體會：第二章 導數(shù)與微分引入: 有的函數(shù)可以多次求導,下面介紹有關概念,學習高階導數(shù).1.二階導數(shù): 一般地，如果函數(shù)的導函數(shù)仍然可導，則我們把的導數(shù)叫作函數(shù)的二階導數(shù)，記作或，即2.階導數(shù): 類似地，函數(shù)的二階導數(shù)的導數(shù)叫作的三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫作四階導數(shù),一般地,的(-l)階導數(shù)的導數(shù)叫作的階導數(shù)，分別記作或或 3. 高階導數(shù): 二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)例如，若質點的

20、運動方程，則物體的運動速度為，或，而加速度是速度對時間的變化率，即是速度對時間的導數(shù)：或，由上可見，加速度是的二階導函數(shù)的導數(shù)。提問:怎樣求高階導數(shù)呢?由高階導數(shù)的定義知，求函數(shù)的高階導數(shù)，只需多次連續(xù)地求導數(shù)即可，因此仍可應用前面的求導方法進行計算下面通過對例題的分析講解學會求高階導數(shù)的方法4例題分析講解例1求函數(shù) (，c為常數(shù))的二、三、四階導數(shù) 解對依次求導，得例2 設解: 例3驗證函數(shù) (為常數(shù))滿足關系式：證 因為所以 例4求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)解 方程兩端對求導，并注意到是的函數(shù)，得解得 式兩端同時對求導，得從解出二階導數(shù)，得再將代入，得下面介紹幾個初等函數(shù)的階導數(shù)例5求

21、的階導數(shù)解 一般地，可得例6求的階導數(shù)解 一般地，可得 類似 可求的階導數(shù)為例7求的階導數(shù)解一般地，可得：例8求 (為任意常數(shù))的階導數(shù)解一般地，可得特殊地，當 (為正整數(shù))時，得到注:求函數(shù)的階導數(shù)關鍵是尋找規(guī)律例9 已知物體作直線運動的方程是(都是常數(shù)),求物體運動的加速度解因為所以，物體運動的加速度例10已知物體的運動方程為,其中都是常數(shù).求物體運動的加速度解 因為，所以，物體運動的加速度為5小結:本次課主要講解了高階導數(shù),要求了解高階導數(shù)的概念，掌握求高階導數(shù)的方法.課時教學計劃表授課日期： 教案編號： 第二章06課程名稱班級專業(yè)、層次高等數(shù)學課程類型：理論授課形式：講授教學資源多媒體

22、授課題目（章、節(jié)）2.7 函數(shù)的微分教材和主要參考書高等數(shù)學教學目的與要求：解微分的概念及幾何意義,掌握微分公式及微分運算法則和微分在近似值中的應用教學重點和難點： 重點：微分公式及微分運算法則難點：微分在近似值中的應用教學內(nèi)容與時間安排：（2課時）1、微分的定義2、微分的幾何意義3、微分公式與微分運算法則4、微分在近似計算中的應用5、小結本次課內(nèi)容思考題與作業(yè)（含課內(nèi)抽問互動環(huán)節(jié)）：1（1），2（3），3，4，6（1），7課后體會：第二章 導數(shù)與微分引入: 設函數(shù)在點處可導，即存在根據(jù)有極限的函數(shù)與無窮小的關系，得 其中是當時的無窮小將上式兩端同乘以，是當時比高階的無窮小量從而有近似公式 我

23、們 把稱為的線性主部，并叫作函數(shù)在點處的微分1. 微分的定義:設函數(shù)在點處可導，則叫作函數(shù)在點處的微分， 記作即此時，也稱函數(shù)在點處可微 例如，函數(shù)在點處的微分是函數(shù)的微分是 很明顯，函數(shù)的微分的值由和兩個獨立變化的量確定例1求函數(shù)當時的增量及微分解函數(shù)的增量為0.120 601因為函數(shù)在點的微分是所以，將代入上式，得 由上例結果可以看出，,誤差是0.000 601思考:函數(shù)的微分?,規(guī)定:自變量的微分于是，函數(shù)的微分又可寫成從而有因此,導數(shù)也叫作微商可以看出，如果已知函數(shù)的導數(shù)，則由可求出它的微分;反之，如果已知函數(shù)的微分，則由可求得它的導數(shù)因此，可導與可微是等價的我們把求導數(shù)和求微分的方法

24、統(tǒng)稱為微分法 注意求函數(shù)的導數(shù)和微分的運算雖然可以互通，但它們的含義不同一般地說，導數(shù)反映了函數(shù)的變化率，微分反映了自變量微小變化時函數(shù)的改變量2.微分的幾何意義如圖23所示，從圖中可以看出設過點的切線與相交于點，則的斜率所以，函數(shù)在點的微分 因此，函數(shù)在點的微分就是曲線在點()處的切線的縱坐標對應于的增量 由圖23還可以看出，當且很小時,比小得多因此，在點的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段3微分公式與微分運算法則 從函數(shù)微分的定義可以知道，計算函數(shù)的微分，只要先求出函數(shù)的導數(shù)，然后乘以自變量的微分即可因此，從導數(shù)的基本公式和運算法則，就可以直接推出微分的基本公式和運算法則 微分的基本公式函數(shù)和、差、積、商的微分法則其中都是x的函數(shù)，為常數(shù)下面只證乘積的微分法則證 根據(jù)微分的定義，有因為 所以 又因為 所以 類似地，可證明其他法則注：上述公式必須記牢，對以后學習積分學很有好處。復合函數(shù)的微分法則與復合函數(shù)的 求導法則相應的復合函數(shù)的微分法則可推導如下：設及都可導，則復合函數(shù)的微分為由于，所以，復合函數(shù)的微分公式也可以寫成或。由此可