《matlab》課件：第2章MATLAB矩陣及其運(yùn)算

1、第第2章章 MATLAB矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算2.1 變量和數(shù)據(jù)操作變量和數(shù)據(jù)操作2.2 MATLAB矩陣矩陣2.3 MATLAB運(yùn)算運(yùn)算2.4 矩陣分析矩陣分析2.5 矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)2.6 字符串字符串2.7 結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)2.1 變量和數(shù)據(jù)操作變量和數(shù)據(jù)操作2.1.1 變量與賦值變量與賦值1變量命名變量命名 在在MATLAB 7中，變量名是以字母開(kāi)中，變量名是以字母開(kāi)頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列，頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列，變量名長(zhǎng)度不超過(guò)變量名長(zhǎng)度不超過(guò)31位，超過(guò)位，超過(guò)31位的系統(tǒng)位的系統(tǒng)將忽略不計(jì)將忽略不計(jì). 在在MATLAB

2、中，變量名區(qū)分字母的大中，變量名區(qū)分字母的大小寫(xiě)。小寫(xiě)。2賦值語(yǔ)句賦值語(yǔ)句(1) 變量變量=表達(dá)式表達(dá)式 (2) 表達(dá)式表達(dá)式其中表達(dá)式是用運(yùn)算符將有關(guān)運(yùn)算量連接其中表達(dá)式是用運(yùn)算符將有關(guān)運(yùn)算量連接起來(lái)的式子，其結(jié)果是一個(gè)矩陣。起來(lái)的式子，其結(jié)果是一個(gè)矩陣。例例2-1 計(jì)算表達(dá)式的值，并顯示計(jì)算結(jié)果。計(jì)算表達(dá)式的值，并顯示計(jì)算結(jié)果。在在MATLAB命令窗口輸入命令：命令窗口輸入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)其中其中pi和和i都是都是MATLAB預(yù)先定義的變量，預(yù)先定義的變量，分別代表代表圓周率分別代

3、表代表圓周率和虛數(shù)單位。和虛數(shù)單位。輸出結(jié)果是：輸出結(jié)果是：z = -0.3488 + 0.3286i 2.1.2 預(yù)定義變量預(yù)定義變量 在在MATLAB工作空間中，還駐留幾個(gè)工作空間中，還駐留幾個(gè)由系統(tǒng)本身定義的變量。例如，用由系統(tǒng)本身定義的變量。例如，用pi表示圓表示圓周率周率的近似值，用的近似值，用i，j表示虛數(shù)單位。預(yù)表示虛數(shù)單位。預(yù)定義變量有特定的含義，在使用時(shí)，應(yīng)盡定義變量有特定的含義，在使用時(shí)，應(yīng)盡量避免對(duì)這些變量重新賦值。量避免對(duì)這些變量重新賦值。2.1.3簡(jiǎn)單的計(jì)算器使用法簡(jiǎn)單的計(jì)算器使用法 當(dāng)命令窗口處于激活狀態(tài)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)當(dāng)命令窗口處于激活狀態(tài)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)”,在提示符的右邊有

4、一個(gè)閃爍光標(biāo)，表明在提示符的右邊有一個(gè)閃爍光標(biāo)，表明MATLAB 正處于準(zhǔn)備狀態(tài)，等待用戶(hù)輸入各種命令正處于準(zhǔn)備狀態(tài)，等待用戶(hù)輸入各種命令.數(shù)值運(yùn)數(shù)值運(yùn)算符號(hào)：算符號(hào)：+，-，*，/、，1、直接輸入法、直接輸入法 在命令窗口中直接輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式，按在命令窗口中直接輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式，按Enter鍵確認(rèn)，即可得到結(jié)果。結(jié)果被自動(dòng)賦予暫時(shí)變鍵確認(rèn)，即可得到結(jié)果。結(jié)果被自動(dòng)賦予暫時(shí)變量名量名ans2、存儲(chǔ)變量法、存儲(chǔ)變量法3.標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的使用標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的使用分號(hào)分號(hào)(;):暫時(shí)不顯示計(jì)算的中間結(jié)果暫時(shí)不顯示計(jì)算的中間結(jié)果百分號(hào)百分號(hào)(%):添加注釋語(yǔ)句添加注釋語(yǔ)句逗號(hào)逗號(hào)(,):一行輸入多條命令語(yǔ)句一行輸入

5、多條命令語(yǔ)句續(xù)行號(hào)續(xù)行號(hào)(.):將程序分多行書(shū)寫(xiě)將程序分多行書(shū)寫(xiě)2.1.4向量及其運(yùn)算向量及其運(yùn)算向量的生成向量的生成1.在命令窗口中直接輸入向量在命令窗口中直接輸入向量可以在行和列向量之間進(jìn)行轉(zhuǎn)置可以在行和列向量之間進(jìn)行轉(zhuǎn)置2.等差元素向量的生成等差元素向量的生成冒號(hào)冒號(hào)(:)生成法：基本格式為生成法：基本格式為 vec=vec0:n:vecn, n表示步長(zhǎng)表示步長(zhǎng) 使用使用linspace函數(shù)：線性等分向量函數(shù)，基函數(shù)：線性等分向量函數(shù)，基本格式為本格式為Vec=linspace(vec0,vecn,n),當(dāng)當(dāng)n默默認(rèn)時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)為認(rèn)時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)為1002.1.5向量的基本運(yùn)算向量的基本運(yùn)

6、算1、向量與數(shù)的四則運(yùn)算、向量與數(shù)的四則運(yùn)算2、向量與向量之間的加減運(yùn)算、向量與向量之間的加減運(yùn)算2.5數(shù)組及其運(yùn)算2.1.6數(shù)組尋址和排序數(shù)組尋址和排序1.數(shù)組尋址數(shù)組尋址通過(guò)對(duì)數(shù)組下標(biāo)的訪問(wèn)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)組尋址通過(guò)對(duì)數(shù)組下標(biāo)的訪問(wèn)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)組尋址A=1:1:10;A(4);A(2：6);A(6:-2:1);A(1 3 4 5); A(4:end);2 數(shù)組排序數(shù)組排序 使用使用sort函數(shù)對(duì)數(shù)組進(jìn)行排序，使用格式如下：函數(shù)對(duì)數(shù)組進(jìn)行排序，使用格式如下：sort(X) 將數(shù)組中的元素按升序排列將數(shù)組中的元素按升序排列 當(dāng)當(dāng)X是多維數(shù)組時(shí)，把各列元素按升序排列是多維數(shù)組時(shí)，把各列元素按升序排列X=3

7、5 7 0 4 2A=8 5 7;3 4 5;4 1 62.1.7數(shù)組的基本數(shù)值運(yùn)算數(shù)組的基本數(shù)值運(yùn)算數(shù)組運(yùn)算符由矩陣運(yùn)算符前面增加數(shù)組運(yùn)算符由矩陣運(yùn)算符前面增加“.”來(lái)表來(lái)表示示1、數(shù)組的加減、數(shù)組的加減2、數(shù)組的乘除、數(shù)組的乘除(.*，./, .)X=1 4 7Y=2 5 8Z=X-YV=X+YX=10 52 96 12 56Y=2 26 3 4 8Z1=X.*YZ1=X./Y3、數(shù)組的乘方、數(shù)組的乘方(.)X=1 4 7Y=2 5 8Z=X.YX=3 6 9Z1=X.3X=4 5 6 7 8Z=3.X2.1.8 內(nèi)存變量的管理內(nèi)存變量的管理1內(nèi)存變量的刪除與修改內(nèi)存變量的刪除與修改 MA

8、TLAB工作空間窗口專(zhuān)門(mén)用于內(nèi)存變量的工作空間窗口專(zhuān)門(mén)用于內(nèi)存變量的管理。在工作空間窗口中可以顯示所有內(nèi)存變量管理。在工作空間窗口中可以顯示所有內(nèi)存變量的屬性。當(dāng)選中某些變量后，再單擊的屬性。當(dāng)選中某些變量后，再單擊Delete按鈕，按鈕，就能刪除這些變量。當(dāng)選中某些變量后，再單擊就能刪除這些變量。當(dāng)選中某些變量后，再單擊Open按鈕，將進(jìn)入變量編輯器。通過(guò)變量編輯器按鈕，將進(jìn)入變量編輯器。通過(guò)變量編輯器可以直接觀察變量中的具體元素，也可修改變量可以直接觀察變量中的具體元素，也可修改變量中的具體元素。中的具體元素。 clear命令用于刪除命令用于刪除MATLAB工作空間中的變工作空間中的變量。

9、量。who和和whos這兩個(gè)命令用于顯示在這兩個(gè)命令用于顯示在MATLAB工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。who命令只命令只顯示出駐留變量的名稱(chēng)，顯示出駐留變量的名稱(chēng)，whos在給出變量名的同在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類(lèi)型時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類(lèi)型等信息。等信息。2內(nèi)存變量文件內(nèi)存變量文件 利用利用MAT文件可以把當(dāng)前文件可以把當(dāng)前MATLAB工作空工作空間中的一些有用變量長(zhǎng)久地保留下來(lái)，擴(kuò)展名間中的一些有用變量長(zhǎng)久地保留下來(lái)，擴(kuò)展名是是.mat。MAT文件的生成和裝入由文件的生成和裝入由save和和load命命令來(lái)完

10、成。常用格式為：令來(lái)完成。常用格式為：save 文件名文件名 變量名表變量名表 load 文件名文件名 變量名表變量名表 其中，文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展名其中，文件名可以帶路徑，但不需帶擴(kuò)展名.mat，命令隱含一定對(duì)命令隱含一定對(duì).mat文件進(jìn)行操作。變量名表中文件進(jìn)行操作。變量名表中的變量個(gè)數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可，的變量個(gè)數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可，變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量名表省略時(shí)，保變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量名表省略時(shí)，保存或裝入全部變量。存或裝入全部變量。2.1.4 MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)常用數(shù)學(xué)函數(shù) MATLAB提供了許多數(shù)學(xué)函數(shù)，函數(shù)的自變量規(guī)定提供了

11、許多數(shù)學(xué)函數(shù)，函數(shù)的自變量規(guī)定為矩陣變量，運(yùn)算法則是將函數(shù)逐項(xiàng)作用于矩陣的元素上，為矩陣變量，運(yùn)算法則是將函數(shù)逐項(xiàng)作用于矩陣的元素上，因而運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)與自變量同維數(shù)的矩陣。因而運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)與自變量同維數(shù)的矩陣。函數(shù)使用說(shuō)明：函數(shù)使用說(shuō)明：(1) 三角函數(shù)以弧度為單位計(jì)算。三角函數(shù)以弧度為單位計(jì)算。(2) abs函數(shù)可以求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模、字符串的函數(shù)可以求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模、字符串的ASCII碼值。碼值。(3) 用于取整的函數(shù)有用于取整的函數(shù)有fix、floor、ceil、round，要注意它，要注意它們的區(qū)別。們的區(qū)別。(4) rem與與mod函數(shù)的區(qū)別。函數(shù)的區(qū)別。rem

12、(x,y)和和mod(x,y)要求要求x,y必必須為相同大小的實(shí)矩陣或?yàn)闃?biāo)量。須為相同大小的實(shí)矩陣或?yàn)闃?biāo)量。2.1.5 數(shù)據(jù)的輸出格式數(shù)據(jù)的輸出格式 MATLAB用十進(jìn)制數(shù)表示一個(gè)常數(shù)，具體可用十進(jìn)制數(shù)表示一個(gè)常數(shù)，具體可采用日常記數(shù)法和科學(xué)記數(shù)法兩種表示方法。采用日常記數(shù)法和科學(xué)記數(shù)法兩種表示方法。 在一般情況下，在一般情況下，MATLAB內(nèi)部每一個(gè)數(shù)據(jù)元內(nèi)部每一個(gè)數(shù)據(jù)元素都是用雙精度數(shù)來(lái)表示和存儲(chǔ)的。數(shù)據(jù)輸出時(shí)素都是用雙精度數(shù)來(lái)表示和存儲(chǔ)的。數(shù)據(jù)輸出時(shí)用戶(hù)可以用用戶(hù)可以用format命令設(shè)置或改變數(shù)據(jù)輸出格式。命令設(shè)置或改變數(shù)據(jù)輸出格式。format命令的格式為：命令的格式為： forma

13、t 格式符格式符其中格式符決定數(shù)據(jù)的輸出格式其中格式符決定數(shù)據(jù)的輸出格式2.2 MATLAB矩陣矩陣2.2.1 矩陣的建立矩陣的建立1直接輸入法直接輸入法 最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤(pán)直接輸入最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤(pán)直接輸入矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元素用方矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元素用方括號(hào)括起來(lái)，按矩陣行的順序輸入各元素，同一括號(hào)括起來(lái)，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔。素之間用分號(hào)分隔。2利用利用M文件建立矩陣文件建立矩陣 對(duì)于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專(zhuān)對(duì)于

14、比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專(zhuān)門(mén)建立一個(gè)門(mén)建立一個(gè)M文件。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)文件。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明如何利用明如何利用M文件創(chuàng)建矩陣。文件創(chuàng)建矩陣。 例例2-2 利用利用M文件建立文件建立MYMAT矩陣。矩陣。(1) 啟動(dòng)有關(guān)編輯程序或啟動(dòng)有關(guān)編輯程序或MATLAB文本編輯器，文本編輯器，并輸入待建矩陣：并輸入待建矩陣： (2) 把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(pán)把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(pán)(設(shè)文件名為設(shè)文件名為mymatrix.m)。 (3) 在在MATLAB命令窗口中輸入命令窗口中輸入mymatrix，即運(yùn)，即運(yùn)行該行該M文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為MY

15、MAT的的矩陣，可供以后使用。矩陣，可供以后使用。 3利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是：冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是： e1:e2:e3其中其中e1為初始值，為初始值，e2為步長(zhǎng)，為步長(zhǎng)，e3為終止值。為終止值。在在MATLAB中，還可以用中，還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)用格式為：用格式為： linspace(a,b,n)其中其中a和和b是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素是元素總數(shù)。總數(shù)。顯然，顯然，linspace(a,b,n)與與a:(b-a

16、)/(n-1):b等價(jià)。等價(jià)。4建立大矩陣建立大矩陣大矩陣可由方括號(hào)中的小矩陣或向量建立起來(lái)。大矩陣可由方括號(hào)中的小矩陣或向量建立起來(lái)。2.2.2 矩陣的拆分矩陣的拆分1矩陣元素矩陣元素通過(guò)下標(biāo)引用矩陣的元素，例如通過(guò)下標(biāo)引用矩陣的元素，例如A(3,2) . 采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依次類(lèi)推。例如再第二列，依次類(lèi)推。例如A=1,2,3;4,5,6;A(3) 顯然，序號(hào)顯然

17、，序號(hào)(Index)與下標(biāo)與下標(biāo)(Subscript )是一一對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，以的，以mn矩陣矩陣A為例，矩陣元素為例，矩陣元素A(i,j)的序號(hào)為的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind函數(shù)函數(shù)求得。求得。 例：例：c=sub2ind(size(a),2,3) 2矩陣拆分矩陣拆分(1) 利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣?yán)妹疤?hào)表達(dá)式獲得子矩陣 A(:,j)表示取表示取A矩陣的第矩陣的第j列全部元素；列全部元素；A(i,:)表示表示A矩陣矩陣第第i行的全部元素；行的全部元素；A(i,j)表示取表示取A矩陣第矩陣第i行、第行、第j列的元素。列的元素。 A

18、(i:i+m,:)表示取表示取A矩陣第矩陣第ii+m行的全部元素；行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取表示取A矩陣第矩陣第kk+m列的全部元素，列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取表示取A矩陣第矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第行內(nèi)，并在第kk+m列中的所有元素。列中的所有元素。此外，還可利用一般向量和此外，還可利用一般向量和end運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)，運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。表示某一維的末尾元素下標(biāo)。 (2) 利用空矩陣刪除矩陣的元素利用空矩陣刪除矩陣的元素 在在MATLAB中，定義中，定義為空矩陣。給變量為空矩陣。給變量

19、X賦空矩陣的語(yǔ)句為賦空矩陣的語(yǔ)句為X=。注意，。注意，X=與與clear X不不同，同，clear是將是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為存在于工作空間中，只是維數(shù)為0。2.2.3 特殊矩陣特殊矩陣1通用的特殊矩陣通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全：產(chǎn)生全0矩陣矩陣(零矩陣零矩陣)。ones：產(chǎn)生全：產(chǎn)生全1矩陣矩陣(幺矩陣幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機(jī)矩陣。間均勻分布的隨機(jī)矩陣。randn：產(chǎn)生均值為：產(chǎn)生均值為0，方差

20、為，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。隨機(jī)矩陣。例例2-3 分別建立分別建立33、32和與矩陣和與矩陣A同樣大小的零矩陣。同樣大小的零矩陣。(1) 建立一個(gè)建立一個(gè)33零矩陣。零矩陣。zeros(3) (2) 建立一個(gè)建立一個(gè)32零矩陣。零矩陣。zeros(3,2) (3) 設(shè)設(shè)A為為23矩陣，則可以用矩陣，則可以用zeros(size(A)建立一個(gè)與建立一個(gè)與矩陣矩陣A同樣大小零矩陣。同樣大小零矩陣。A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個(gè)產(chǎn)生一個(gè)23階矩陣階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個(gè)與矩陣產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大小的零矩陣同樣大小的零矩陣?yán)?-4 建立隨機(jī)矩陣

21、：建立隨機(jī)矩陣： 在區(qū)間在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。階隨機(jī)矩陣。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)此外，常用的函數(shù)還有此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成重新排成mn的二維矩陣。的二維矩陣。2用于專(zhuān)門(mén)學(xué)科的特殊矩陣用于專(zhuān)門(mén)學(xué)科的特殊矩陣(1) 魔方矩陣魔方矩陣魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方階魔方陣，其元素由陣，其元素由1,

22、2,3, 共共 個(gè)整數(shù)組成。個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。階魔方陣。2n2n例例2-5 將將101125等等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行行5列的列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩陣范得蒙矩陣范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂檬瞧浜罅信c倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積

23、。可以用一個(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在一個(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)vander(V)生成以向量生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩即可得到上述范得蒙矩陣。陣。(3) 希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣在在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專(zhuān)中，有一個(gè)專(zhuān)門(mén)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)門(mén)求

24、希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能，其功能是求是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例例2-6 求求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：命令如下：format rat %以有理形式輸出以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4) 2.3 MATLAB運(yùn)算運(yùn)算 2.3.1算術(shù)運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算1基本算術(shù)運(yùn)算基本算術(shù)運(yùn)算MATLAB的基本算術(shù)運(yùn)算有：的基本算術(shù)運(yùn)算有：(加加)、(減減)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)。注意，運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)注意，運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只

25、是一種特例。數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。 (1) 矩陣加減運(yùn)算矩陣加減運(yùn)算假定有兩個(gè)矩陣假定有兩個(gè)矩陣A和和B，則可以由，則可以由A+B和和A-B實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若A和和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，減運(yùn)算，A和和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果果A與與B的維數(shù)不相同，則的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶(hù)兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹錯(cuò)誤信息，提示用戶(hù)兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。配。 (2) 矩陣乘法矩陣乘法 假定有兩個(gè)矩陣假定有兩個(gè)矩陣A和和B，若，若A為為mn矩陣，矩

26、陣，B為為np矩陣，則矩陣，則C=A*B為為mp矩陣。矩陣。 (3) 矩陣除法矩陣除法在在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：和和/，分，分別表示左除和右除。如果別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，矩陣是非奇異方陣，則則AB和和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。AB等效于等效于A的逆左的逆左乘乘B矩陣，也就是矩陣，也就是inv(A)*B，而，而B(niǎo)/A等效于等效于A矩陣矩陣的逆右乘的逆右乘B矩陣，也就是矩陣，也就是B*inv(A)。對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如如3/4和和43有相同的值，都等于有相同的值，

27、都等于0.75。又如，設(shè)。又如，設(shè)a=10.5,25，則，則a/5=5a=2.1000 5.0000。對(duì)于矩。對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和陣來(lái)說(shuō)，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般ABB/A。A=2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2 ;1 4 -7 6B=8;9;-5;0X=AB (4) 矩陣的乘方矩陣的乘方 一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成Ax，要，要求求A為方陣，為方陣，x為標(biāo)量。為標(biāo)量。2點(diǎn)運(yùn)算點(diǎn)運(yùn)算 在在MATLAB中，有一種特殊的運(yùn)算，因中，有一種特殊

28、的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，為其運(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.*、./、.和和.。兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。2.3.2 關(guān)系運(yùn)算關(guān)系運(yùn)算 MATLAB提供了提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：種關(guān)系運(yùn)算符：(小小于于)、(大于大于)、=(大于或大于或等于等于)、=(等于等于)、=(不等于不等于)。它們的含。它們的含義不難理解，但要注意其書(shū)寫(xiě)方法與數(shù)學(xué)義不難理解，但要注意其書(shū)寫(xiě)方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號(hào)不盡相同。中的不等式

29、符號(hào)不盡相同。 關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為： (1) 當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為為1，否則為，否則為0。 (2) 當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或或

30、1組成。組成。 (3) 當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或或1組成。組成。M=magic(5)N=(rem(M,3)N=(rem(M,3)=1)2.3.3 邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 MATLAB提供了提供了3種邏輯運(yùn)算符：種邏輯運(yùn)算符：&(與與)、|(或或)和和(非非)。 邏輯

31、運(yùn)算的運(yùn)算法則為：邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為： (1) 在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元表示，零元素為假，用素為假，用0表示。表示。 (2) 設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和和b，那么，那么， a&b a,b全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為，否則為0。 a|b a,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1。 a 當(dāng)當(dāng)a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為為0。 (3) 若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，

32、那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的矩陣，其元素由矩陣同維的矩陣，其元素由1或或0組成。組成。 (4) 若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由1或或0組成。組成。 (5) 邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從

33、矩陣運(yùn)算規(guī)則。則。(6) 在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。A=linspace(1,10,10)B=linspace(10,1,10)L1=A4&B5&B5L3=A5|B5L4=A6例例2-9 建立矩陣建立矩陣A，然后找出大于，然后找出大于4的元素的的元素的位置。位置。(1) 建立矩陣建立矩陣A。A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0 (2) 找出大于找出大于4的元素的位置。的元素的位置。find(A4)2.4 矩陣分析矩陣分析2.4.1 對(duì)角陣與三角陣對(duì)角陣

34、與三角陣1對(duì)角陣對(duì)角陣只有對(duì)角線上有非只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩元素的矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩的對(duì)角矩陣稱(chēng)為單位矩陣。陣稱(chēng)為單位矩陣。(1) 提取矩陣的對(duì)角線元素提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。個(gè)元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k條條對(duì)

35、角線的元素。對(duì)角線的元素。(2) 構(gòu)造對(duì)角矩陣構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)設(shè)V為具有為具有m個(gè)元素的向量，個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)將產(chǎn)生一個(gè)mm對(duì)對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一，其功能是產(chǎn)生一個(gè)個(gè)nn(n=m+)對(duì)角陣，其第對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。的元素。例例2-10 先建立先建立33矩陣矩陣A，然后將，然后將A的第一的第一行元素乘以行元素乘以1，第二行乘以，第二行乘以2，第三行乘以，第三行乘以3。A=2 3 1;3

36、4 2; 4 3 1;D=diag(1:3);D*A %用用D左乘左乘A，對(duì)，對(duì)A的每行乘的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)以一個(gè)指定常數(shù)2三角陣三角陣三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為線以上的元素全為0的一種矩陣。的一種矩陣。(1) 上三角矩陣上三角矩陣求矩陣求矩陣A的上三角陣的的上三角陣的MATLAB函數(shù)是函數(shù)是triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功

37、能是，其功能是求矩陣求矩陣A的第的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣矩陣A的第的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。(2) 下三角矩陣下三角矩陣在在MATLAB中，提取矩陣中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)的下三角矩陣的函數(shù)是是tril(A)和和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)函數(shù)triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。2.4.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)()。2矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)利用函數(shù)rot

38、90(A,k)將矩陣將矩陣A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90的的k倍，倍，當(dāng)當(dāng)k為為1時(shí)可省略。時(shí)可省略。 3矩陣的左右翻轉(zhuǎn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，換，依次類(lèi)推。，依次類(lèi)推。MATLAB對(duì)矩陣對(duì)矩陣A實(shí)實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4矩陣的上下翻轉(zhuǎn)矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對(duì)矩陣對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。2.4.3 矩陣的逆矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣，如果存在一個(gè)與其同階的

39、方陣B，使得：使得：AB=BA=I (I為單位矩陣為單位矩陣)則稱(chēng)則稱(chēng)B為為A的逆矩陣，當(dāng)然，的逆矩陣，當(dāng)然，A也是也是B的逆矩陣。的逆矩陣。求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。例例2-11 用求逆矩陣的方法解線性方程組。用求逆矩陣的方法解線性方程組。Ax=b其解為：其解為：x=A-1b2.4.4 方陣的行列式方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)

40、則求值，這個(gè)值就稱(chēng)為矩陣所對(duì)列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱(chēng)為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。2.4.5 矩陣的秩與跡矩陣的秩與跡1矩陣的秩矩陣的秩矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩。矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩。在在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2矩陣的跡矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，中，求矩陣的跡的函數(shù)是求矩陣的跡的函數(shù)是tr

41、ace(A)。2.4.6 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量在在MATLAB中，計(jì)算矩陣中，計(jì)算矩陣A的特征值和特的特征值和特征向量的函數(shù)是征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3種：種：(1) E=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)的全部特征值，構(gòu)成向量成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣構(gòu)成對(duì)角陣D，并求，并求A的特征向量構(gòu)成的特征向量構(gòu)成V的的列向量。列向量。 2.6 字符串字符串 在在MATLAB中，字符串是用單撇號(hào)括起中，字符串是用單撇號(hào)括起來(lái)的字符序列。來(lái)的字符序列。MATLAB

42、將字符串當(dāng)作一個(gè)行向量，每個(gè)將字符串當(dāng)作一個(gè)行向量，每個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)字符，其標(biāo)識(shí)方法和數(shù)值向元素對(duì)應(yīng)一個(gè)字符，其標(biāo)識(shí)方法和數(shù)值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。量相同。也可以建立多行字符串矩陣。字符串是以字符串是以ASCII碼形式存儲(chǔ)的。碼形式存儲(chǔ)的。abs和和double函數(shù)都可以用來(lái)獲取字符串矩陣所函數(shù)都可以用來(lái)獲取字符串矩陣所對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的ASCII碼數(shù)值矩陣。相反，碼數(shù)值矩陣。相反，char函數(shù)函數(shù)可以把可以把ASCII碼矩陣轉(zhuǎn)換為字符串矩陣。碼矩陣轉(zhuǎn)換為字符串矩陣。例例2-13 建立一個(gè)字符串向量，然后對(duì)該向量建立一個(gè)字符串向量，然后對(duì)該向量做如下處理：做如下處理：(1) 取第取第15個(gè)字符組成的子字符串。個(gè)字符組成的子字符串。(2) 將字符串倒過(guò)來(lái)重新排列。將字符串倒過(guò)來(lái)重新排列。(3) 將字符串中的小寫(xiě)字