制作一個(gè)盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流制作一個(gè)盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子.精品文檔.制作一個(gè)盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子趙天罡（西北工業(yè)大學(xué)附中初一18班，陜西 西安）摘 要：為了制作一個(gè)容積最大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子，本文運(yùn)用畫圖法、制表法對(duì)邊長(zhǎng)20cm的正方形紙裁剪后的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子容積進(jìn)行了分析，分別針對(duì)五種“九宮格”形的裁剪方法提出了兩種不同的計(jì)算公式。計(jì)算分析結(jié)果表明：在兩種計(jì)算方法中，方法二得到的容積值較方法一大；方法一剪裁的小正方形寬度值取約3.3333時(shí)容積最大，方法二剪裁的小正方形寬度值取時(shí)約4.2265時(shí)容積最大。關(guān)鍵詞：正方形；長(zhǎng)方體無(wú)蓋紙盒；容積；裁剪；圖表法

2、1 問題的提出在幾何數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常遇到以下問題：（1）如何將一張正方形紙板裁剪成長(zhǎng)方體無(wú)蓋紙盒？（2）怎樣裁剪使這個(gè)紙盒最大？這兩個(gè)問題是兩個(gè)相關(guān)的問題，其中隱含著正方形紙板的裁剪方法和長(zhǎng)方體無(wú)蓋紙盒最大容積的計(jì)算和分析方法問題。本文將首先從正方形紙板的裁剪方法研究出發(fā)，運(yùn)用畫圖法、制表法等方法分析計(jì)算長(zhǎng)方體無(wú)蓋紙盒的最大容積。2 “九宮格”形的裁剪方法要將一張正方形紙板裁剪成長(zhǎng)方體無(wú)蓋紙盒首先涉及到的是正方形紙板的裁剪方法，為了直觀簡(jiǎn)單的分析裁剪方法，本文借助了唐代書法家歐陽(yáng)詢所創(chuàng)制的“九宮格”。九宮格，又叫“九方格”，即九個(gè)一樣大小的正方形組成的大正方形，如圖1所示。借助九宮格，將正方形

3、紙板裁剪成長(zhǎng)方體無(wú)蓋紙盒就變得十分容易。所謂“九宮格”形的裁剪方法，即是將無(wú)蓋長(zhǎng)方體看作無(wú)蓋正方形，無(wú)蓋長(zhǎng)方體的平面展開圖的長(zhǎng)寬跨度均為大正方形邊長(zhǎng)；將大正方形看作九宮格，并剪裁其中四塊小正方形，留下相鄰并可折成無(wú)蓋正方體的5塊小正方形，如圖2所示。圖1 九宮格 圖2 “九宮格”形的裁剪方法運(yùn)用“九宮格”，可裁剪成無(wú)蓋長(zhǎng)方體的方法有8種，如圖3所示，其中后3種裁剪方法（即68裁剪方法）屬于變形“九宮格”形的裁剪方法，計(jì)算較為困難，本文不進(jìn)行分析計(jì)算，重點(diǎn)分析前5種方法的容積計(jì)算。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）圖3 正方形紙板的9種“九宮格”形的裁剪方法3 無(wú)蓋

4、長(zhǎng)方體的最大容積計(jì)算下面重點(diǎn)分析上述前5種“九宮格”形的裁剪方法的最大容積計(jì)算。經(jīng)過(guò)分析，（1）（3）種裁剪方法的容積計(jì)算方法相同，（4）、（5）種裁剪方法的容積計(jì)算方法相同，應(yīng)分別計(jì)算，下文將（1）（3）種裁剪方法的容積計(jì)算方法歸為方法一，將（4）、（5）種裁剪方法的容積計(jì)算方法歸為方法二。為便于計(jì)算，下列兩種方法均以邊長(zhǎng)為20cm的正方形紙為例進(jìn)行無(wú)蓋長(zhǎng)方體的裁剪和容積計(jì)算。3.1 方法一（1）裁剪方法（1）（3）種“九宮格”形的裁剪方法如圖4所示，圖中黑色為剪裁部分。其中圖（1）中剪裁的小正方形寬度全部相同；圖（2）中剪裁的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)度為“20cm與剪裁的小正方形寬度的差”，剪裁的小長(zhǎng)方

5、形寬度等于剪裁的小正方形寬度；圖（3）中不規(guī)則圖形的2條長(zhǎng)邊相等，為剪裁的小正方形寬度的兩倍， 不規(guī)則圖形的4條短邊相等，等于剪裁的小正方形的寬度。 （1） （2） （3）圖4 （1）（3）種“九宮格”形的裁剪方法（2）容積計(jì)算公式 上述（1）（3）種“九宮格”形的裁剪方法其容積計(jì)算公式相同，如式（1）所示：V=(20-X*2)2*X （1）式中：大正方形紙的邊長(zhǎng)為20cm；X為剪裁的小正方形邊長(zhǎng)（cm），0<X<10；V為剪裁后無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）。（3）最大容積計(jì)算如果剪去的小正方形邊長(zhǎng)按整數(shù)值依次變化，即分別取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8c

6、m,9cm,10cm時(shí)，折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積運(yùn)用公式（1）的計(jì)算結(jié)果如表1和圖5所示。方法一的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表1小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）13246384251272523588812845769365500100圖5 方法一的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì) 從表1和圖5中可以看出，當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)小于3cm時(shí)，方法一計(jì)算的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積逐漸增大；在34cm間容積達(dá)到最大，其后隨著小正方形邊長(zhǎng)的增加容積逐漸減?。划?dāng)小正方形邊長(zhǎng)為10cm時(shí)，容積為0。為了進(jìn)一步計(jì)算最大的容積，在小正方形邊長(zhǎng)34

7、cm間，以0.1cm為步長(zhǎng)計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，計(jì)算結(jié)果如表2和圖6所示。以0.1cm為步長(zhǎng)的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表2小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）3.1590.3643.6589.8243.2591.8723.7587.4123.3592.5483.8584.2883.4592.4163.9580.4763.5591.54576圖6 以0.1cm為步長(zhǎng)的方法一無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì)從表2和圖6中可以看出，當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)小于3.3cm時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積逐漸增大；在3.33.4cm間容積達(dá)到最大，

8、其后隨著小正方形邊長(zhǎng)的增加容積逐漸減小。 以此類推，在3.33.4cm間分別以0.01cm，0.001cm，······為步長(zhǎng)計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，即可得到小正方形邊長(zhǎng)為3.333333333···（即313）時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積的容積最大。3.2 方法二（1）裁剪方法（4）、（5）種“九宮格”形的裁剪方法如圖7所示，圖中黑色為剪裁部分。其中圖中剪裁的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)度為“剪裁的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)度+202=剪裁的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)度2+10”。（4） （5） 圖7 （4）、（5）種“九宮格”形的裁剪方法（2）容積

9、計(jì)算公式 上述（4）、（5）種“九宮格”形的裁剪方法其容積計(jì)算公式相同，如式（2）所示：V=X*(20-X)*(10-X) （2）式中：大正方形紙的邊長(zhǎng)為20cm；X為剪裁的小長(zhǎng)方形寬度（cm），0<X<10；V為剪裁后無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）。（3）最大容積計(jì)算如果剪去的小長(zhǎng)方形寬度按整數(shù)值依次變化，即分別取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm時(shí)，折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積運(yùn)用公式（2）的計(jì)算結(jié)果如表3和圖8所示。方法二的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表3小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)

10、方體的容積（cm3）11716336228872733357819243849995375100圖8 方法二的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì)從表3和圖8中可以看出，當(dāng)小長(zhǎng)方形寬度小于4cm時(shí)，方法二計(jì)算的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積逐漸增大；在45cm間容積達(dá)到最大，其后隨著小長(zhǎng)方形寬度的增加容積逐漸減?。划?dāng)小長(zhǎng)方形寬度為10cm時(shí)，容積為0。為了精確計(jì)算最大的容積，在小長(zhǎng)方形寬度45cm間，小長(zhǎng)方形寬度以0.1cm的步長(zhǎng)增加計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，計(jì)算結(jié)果如表4和圖9所示。小長(zhǎng)方形寬度以0.1cm的步長(zhǎng)增加方法二無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表4小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3

11、）4.1384.6214.2384.8884.3384.8074.4384.384圖9 以0.1cm為步長(zhǎng)的方法二無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì)從表4和圖9中可以看出，當(dāng)小長(zhǎng)方形寬度小于4.2cm時(shí)，方法二計(jì)算的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積逐漸增大；在4.24.3cm間容積達(dá)到最大，其后隨著小長(zhǎng)方形寬度的增加容積逐漸減小。在小長(zhǎng)方形寬度4.24.3cm間，小長(zhǎng)方形寬度以0.01cm的步長(zhǎng)增加計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，計(jì)算結(jié)果如表5和圖10所示。以0.01cm為步長(zhǎng)的方法二無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表5小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）4.21384.8954614.22384.

12、8994484.23384.8999674.24384.897024圖10 以0.01cm為步長(zhǎng)的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì)從表5和圖10中可以看出，當(dāng)小長(zhǎng)方形寬度在4.224.23cm間容積達(dá)到最大，其后隨著小長(zhǎng)方形寬度的增加容積逐漸減小。在小長(zhǎng)方形寬度4.224.23cm間，以0.001cm為步長(zhǎng)計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，計(jì)算結(jié)果如表6和圖11所示。以0.001cm為步長(zhǎng)的方法二無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表6小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）4.225384.90014064.226384.90017524.227384.90017514.228384.90014

13、04圖11 以0.001cm為步長(zhǎng)的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì)從表6和圖11中可以看出，當(dāng)小長(zhǎng)方形寬度在4.2264.227cm間容積達(dá)到最大，其后隨著小長(zhǎng)方形寬度的增加容積逐漸減小。進(jìn)一步在小長(zhǎng)方形寬度4.2264.227cm間，以0.0001cm為步長(zhǎng)計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，計(jì)算結(jié)果如表7和圖12所示。以0.0001cm為步長(zhǎng)的方法二無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積計(jì)算結(jié)果 表7小正方形的邊長(zhǎng)（cm）無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積（cm3）4.2261384.90017674.2262384.90017794.2263384.90017884.2264384.90017934.2265384.900179

14、54.2266384.9001793圖12 以0.0001cm為步長(zhǎng)的無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積變化趨勢(shì)從表7和圖12中可以看出，當(dāng)小長(zhǎng)方形寬度小于4.2264cm時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積緩慢增大；在4.2265cm附近容積達(dá)到最大，其后隨著小長(zhǎng)方形寬度的增加容積緩慢減小。 以此類推，在4.22644.2266cm間分別以0.00001cm，0.000001cm，······為步長(zhǎng)計(jì)算無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積，即可得到小長(zhǎng)方形寬度為4.226497308···（即60-12006）時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體形盒子的容積的容積最大。4研究結(jié)論通過(guò)以上分析計(jì)算，可得出以下研究結(jié)論：（1）“九宮格”形的裁剪方法簡(jiǎn)單直觀，適合正方形紙板裁剪成長(zhǎng)