空間曲線插補算法的研究

1、2007年10月第35卷第10期機床與液壓MACH I N E T OOL &HY DRAUL I CSOct 12007Vol 135No 110空間曲線插補算法的研究周海安,趙玉剛,呂曉倩(山東理工大學機械工程學院,山東淄博255049摘要:空間三維曲線有兩種數(shù)學表達形式:隱式方程曲線及參數(shù)方程曲線。本文提出這兩種方程的高效準確的插補算法,實現(xiàn)了數(shù)控機床的空間三維曲線軌跡插補。其中隱式方程曲面交線采用的是建立在進給選擇基礎(chǔ)上的插補算法,而且保證了該算法的位置誤差不超過一個進給單位;參數(shù)方程曲線采用小直線段逼近的插補算法,這種線性化方法對插補參數(shù)曲線而言具有高效的優(yōu)點。關(guān)鍵詞:插補算

2、法;交線;三維軌跡;參數(shù)化中圖分類號:TG547文獻標識碼:A 文章編號:1001-3881(200710-094-2The Research of Space Curve I n terpol a ti on Ar ith m eti cZ HOU Haian,Z HAO Yugang,LV Xiaoqian(School ofMechanical Engineering,Shandong University of Technol ogy,Zibo Shandong 255049,China Abstract:There are t w o kinds of curve definiti

3、ons:i m p licit curve and para metric curve .An efficient and accurate inter polati on algorith m s for t w o curves was p r oposed which can drive the cutter of a C NC machine al ong three 2di m ensi onal (3D traject ories .The method uses the i m p licit definiti on t o inter polate the intersecti

4、 on curve based on step selecti on rules which guarantees one step positi on err or at most .For the para metric curve,the method uses straight 2line seg ments t o app r oxi m ate the desired path .This linearizati on has obvi ous advantage of high efficient .Keywords:I nter polati on algorith m s;I

5、 ntersecti on curve;Three 2di m ensi onal traject ories;Parametric0前言在數(shù)控系統(tǒng)中精度與速度是矛盾的,尤其是復雜型面的加工,由于曲線方程插補點位置求解的難度較大,一般的插補算法是以犧牲速度來保證精度的,但是這種降低生產(chǎn)效率的方式對企業(yè)的發(fā)展是很不利的。因此找到一種既能保證精度又能提高加工效率的空間曲線插補算法是非常具有實際意義的。本文給出了一種計算簡單、運算速度快、適合于一般空間曲線的插補算法。1空間隱式方程曲線的插補算法空間曲線隱式方程表達式為f (x,y,z =0g (x,y,z =0(1 圖1空間隱式方程曲線的插補路徑插

6、補曲線過程中,插補下一個點時需要計算判斷一次,稱為一次步進選擇。在三軸數(shù)控系統(tǒng)中,一次步進選擇可以用如下向量公式表示:s =d x,d y,d z (2d x,d y,d z -1,0,1,|d x |+|d y |+|d z |1其中1代表選定的進給單位長度。插補曲線時,如果插補點在曲線上,則滿足方程(1,如果插補點不在曲線上則離曲面越遠偏差越大,正負值則取決于插補點在曲面的哪一側(cè)。作者在研究插補方法時發(fā)現(xiàn):要使插補點逼近方程曲線必須首先逼近曲線所在的曲面。要使插補點逼近曲面必須滿足相鄰的兩個插補點在曲面的兩側(cè)或至少一個點在曲面上。數(shù)學表達式如下:f (x,y,z f (x +d x,y +

7、d y,z +d z 0g (x,y,z g (x +d x,y +d y,z +d z 0(3但是直接求解方程(3過于復雜,為了確定d x 、d y 、d z 引入曲面法向量grad f 、grad g 及微分變量f 、g 。微分變量f,g 數(shù)學表達式如下:f =grad f s =9f 9x d x +9f 9y d y +9f9zd zg =grad g s =9g 9x d x +9g 9y d y +9g9zd z(4d x,d y,d z -1,0,1,|d x |+|d y |+|d z |1微分變量是曲面法向量與一次步進選擇的向量積。由泰勒公式可得:f (x +d x,y +d

8、 y,z +d z =f (x,y,z +f +2fg (x +d x,y +d y,z +d z =g (x,y,z +g +2g(5由于2f,2g 是高階微分,值很小,可以忽略,不影響方程(3的實際計算結(jié)果。因此數(shù)學表達式(5可以表達為如下等價方程:f (f +f 0g (g +g 0(6但是僅僅滿足方程(6并不能確定唯一的插補點,要確定插補點,在滿足(6的條件下每一次步進選擇還必須盡量與所插補的曲線切線方向相一致(最大程度地平行于曲線的切線方向,這樣才能保 證沿曲線方向進行插補。曲線切線向量 t =t x ,t y ,t z 與2個曲面f 、g 在這點的法向量垂直,因此t =grad f

9、 ×grad g = i j k 9f 9x 9f 9y 9f9z9g 9x 9f 9y 9f 9z(7t x =9f 9y 9g 9z -9f 9z 9g 9y ,t y =9f 9z 9g 9x -9f 9x 9g 9z ,t z =9f 9x 9g 9y -9f 9y 9g 9xd x,d y,d z -1,0,1,|d x |+|d y |+|d z | 1滿足插補方向條件的數(shù)學表達式如下max ( S t (8( 注意:方程(8必須首先滿足方程(6即求 S 與 t 的向量積在滿足方程(6的條件下的最大值(當兩向量方向一致時,值最大。因此步進選擇的數(shù)學表達式為f (f +f

10、0,g (g +g 0max (t x d x +t y d y +t z d z (9由于起始點f 、g 均為0(因為起始點在曲線上,所以第一次步進選擇f 、g 只需要滿足方程(8。當?shù)诙尾竭M選擇時,f 、g 等于f 、g 。這樣每次步進選擇f i +1=f i +f i ,g i +1=g i +g i ,當前的f 、g 等于上一次的值加上f 、g 。同理,f 、g 、t x 、t y 、t z 采用相同的迭加算法,大大簡化了計算量。但是因為方程(6有很小的舍入誤差,所以累積誤差圖2隱式方程曲線插補流程圖不能忽略。步進選擇一定次數(shù),需要將當前點的值代入f 、g 中校正一次。每步進選擇一次

11、后的位置為當前插補點的位置加坐標增量。給出空間曲線的插補初始點,插補步進過程在新的插補點計算,重復插補過程,直至到最終空間曲線上的插補終點,插補過程結(jié)束。其插補流程如圖2所示。2空間參數(shù)方程曲線的插補算法空間曲線的參數(shù)方程為x =x (t y =y (t z =z (t (10曲線的增量方程為x =x (t +t -x (t y =y (t +t -y (t z =z (t +t -z (t (11t 的選擇依據(jù)是(x 2+(y 2+(z 2L(12L 是擬合的直線段的長度,L 的取值與實際加工的插補精度和運算速度有關(guān),精度要求較高時則L 可以取較小值,如果偏重于運算速度則L 可取值較大,這都

12、取決于加工的具體要求。在插補開始時計算t,t 的求解有兩種方法:當方程(12并不復雜時可以直接求解方程,求出t ;當方程復雜時可以先賦給方程一個大約合理的初值t,然后利用線性化校正的方法求得t 。t =t L /(x 2+(y 2+(z 2(13方程(13線性化校正的原理是:對于光滑曲線,在插補點附近的微小曲線段近似為直線(直線圖3參數(shù)方程曲線插補流程圖插補點附近的微小線段仍為直線,因此當插補點處的t 值固定時,t 在較小的范圍變化,L 的值是近似于線性變化的。當擬合m (大小取決于實際加工的需要段小直線后,對t 進行校正計算一次,保證了擬合線段長度的均勻穩(wěn)定性。這樣空間復雜曲線可以擬合為一段

13、一段的小直線,計算量小,插補運算速度快,而且直線段的兩端點都在曲線上,因此保證了直線段之間沒有累積誤差。其插補流程如圖3所示。3算法誤差分析及結(jié)論空間隱式方程曲線插補算法的誤差已經(jīng)由數(shù)學公式推導證明不超過1個進給單位,由于證明過程繁瑣這里不再給出證明;空間參數(shù)方程曲線的插補算法有兩種誤差,用弦逼近弧的擬合誤差=R -R 2-L 2/4(R 為插補點處曲率半徑和插補微小直線段的誤差(不超過一個脈沖當量。因此總誤差滿足|-|+|。當取的直線段較短尤其是當曲線的曲率半徑較大時,是很小的,可以獲得較高的加工精度。在探索空間曲線插補算法(下轉(zhuǎn)第142頁59第10期周海安等:空間曲線插補算法的研究 基于“

14、PC +運動控制器”的控制方案,如圖4所示。該控制系統(tǒng)硬件主要由PC 機、運動控制器、端子板、驅(qū)動器、行程開關(guān)、繼電器、光碼盤和拉線式位移傳感器等組成。該方案一般適用于對運動控制要求比較高,運動軌跡較復雜的場合,具有抗干擾能力強、速度快、可靠性高、精度高、編程簡單、開發(fā)周期短、靈活性高和成本較低等優(yōu)點。314控制系統(tǒng)硬件方案的選擇該交流伺服螺旋精壓機的滑塊,是根據(jù)控制系統(tǒng)預先設(shè)置的優(yōu)化工藝曲線而進行運動,針對不同的加工工藝,優(yōu)化工藝曲線各不相同。該設(shè)備還要求控制系統(tǒng)具有工作循環(huán)數(shù)據(jù)庫建立、增添和調(diào)用的功能。因此,綜合考慮以上三種方案的可靠性、經(jīng)濟性、靈活性和實用性,針對該設(shè)備選擇“PC +運動

15、控制器”的控制方案是比較合適的。4控制系統(tǒng)軟件的設(shè)計“PC +運動控制器”的方案是運動控制系統(tǒng)一個主要的發(fā)展方向。這種方案可充分利用計算機資源,適用于運動軌跡比較復雜,而且柔性比較大的設(shè)備上。在該控制方案中,運動控制器選用固高公司圖5控制系統(tǒng)控制流程圖GT2002S V 運動控制器。固高GT2002S V 運動控制器,提供了W in98/2000系統(tǒng)下的設(shè)備驅(qū)動程序,同時提供DOS 下的運動函數(shù)庫和W in 2dows 下的運動函數(shù)動態(tài)鏈接庫,用戶通過主機程序調(diào)用相應的函數(shù),也就是發(fā)出運動控制命令,運動控制器將根據(jù)主機的要求,自動完成軌跡規(guī)劃、安全檢測、伺服刷新等復雜運算,計算結(jié)果轉(zhuǎn)換成相應的

16、模擬電壓控制伺服電動機運動。用戶可以使用VC 、VB 、Del phi 等三種高級語言來開發(fā)實現(xiàn)特定功能的程序。系統(tǒng)的軟件程序框圖如圖5所示。系統(tǒng)初始化并自檢包括運動控制器與運動控制軸的初始化,并檢查運動控制器與運動控制軸是否存在異常;選擇成形工藝類型是根據(jù)實際加工的工件,選擇需要的加工工藝;工藝參數(shù)的設(shè)定包括材料參數(shù)、滑塊參數(shù)和模具參數(shù)等的設(shè)置;根據(jù)材料和成形工藝類型調(diào)用相應的控制程序是控制系統(tǒng)根據(jù)加工的材料和工藝類型從數(shù)據(jù)庫里調(diào)用適當?shù)某绦騺砜刂圃O(shè)備的運動,從而達到優(yōu)化工藝的目的;實時信號采集與處理和狀態(tài)曲線與關(guān)鍵參數(shù)顯示包括滑塊位移信息的采集與處理,滑塊狀態(tài)曲線以及滑塊位移、滑塊速度、滑

17、塊加速度、工作周期和循環(huán)次數(shù)等主要工作參數(shù)的顯示。5結(jié)語控制系統(tǒng)是交流伺服螺旋精壓機至關(guān)重要的組成部分,其性能的好壞與該設(shè)備的性能息息相關(guān)。因此,必須以使該設(shè)備的性能得到最大的發(fā)揮為前提條件,綜合考慮可靠性、經(jīng)濟性、靈活性和實用性,來確定控制系統(tǒng)的控制方案。參考文獻【1】羅炳軍,陳健,等1基于運動控制器的開放式運動控制系統(tǒng)研究與應用J 1工業(yè)儀表與自動化裝置,2006(3:10-121【2】陳先鋒,舒志兵,等1基于多伺服控制模式的運動控制系統(tǒng)研究與應用J 1伺服控制,2006(1:26-281【3】蘇宏志,高文華1基于DSP 交流伺服位置控制系統(tǒng)的研究J 1測試與控制,2006(3:139-1

18、411【4】楊宏斌,閆花茹,等1固高運動控制板在數(shù)控研齒機運動系統(tǒng)中的應用J 1煤礦機械,2006(6:1069-10711作者簡介:梁文炎,男,1981年生,廣東江門人,碩士研究生。研究領(lǐng)域:先進成型裝置及智能控制。電話:135*,E -mail:l w y91802921cn 1com 。收稿日期:2006-11-08(上接第95頁時,很多其它方法要么計算過于復雜,不滿足實時性要求,要么計算值偏差較大,效果不理想。部分文獻認為直線擬合的插補方法不是很理想,而且提出了很多獨到的算法,但是他們的插補算法大多是針對平面曲線,而且是某一特定類型曲線,復雜程度與空間曲線相差較大;而本插補算法適用于一般空間曲線,速度及精度均可以達到生產(chǎn)要求,有較好的應用價值。參考文獻【1】廖效果1數(shù)控技術(shù)M 1武漢:湖北科學技術(shù)出社,20011【2】趙玉剛,宋現(xiàn)春1數(shù)控技術(shù)M 1淄博:機械工業(yè)出版社,20031【3】