球與空間幾何體

1、球與空間幾何體考點一：球的內(nèi)接柱體設(shè)柱體上底的外心為，下底的外心為，則有柱體的外接球球心為的中點。若柱體底面外接圓半徑為，高為，則外接球半徑滿足：；由已學(xué)知識可總結(jié)出：（1） 邊長為的正三角形的外接圓半徑；（2） 長為，寬為的的矩形的外接圓半徑（3） 斜邊為的直角三角形的外接圓半徑注：球的內(nèi)接長方體滿足：球的直徑于長方體的大對角線相等考點二：球的內(nèi)接椎體1. 球的內(nèi)接直三棱錐，直四棱錐（有一條側(cè)棱與底面垂直）：與長方體相同，是長方體的部分頂點構(gòu)成的椎體2. 球的內(nèi)接正三棱錐，正四棱錐：設(shè)頂點為，底面外接圓圓心，則有正棱錐外接球球心在上，若正棱錐底面外接圓半徑為，高為，則外接球半徑滿足：或（為側(cè)

2、棱）考點三：多面體的內(nèi)切球1 多邊形內(nèi)切圓圓心把多邊形分成多個高相等的三角形，由面積法可知多邊形的內(nèi)切圓半徑滿足：（為多邊形面積，為多邊形周長）2 多面體內(nèi)切球球心把多面體分成多個高相等的椎體，由體積法可知多面體的內(nèi)切求半徑滿足：（為多面體體積，為多面體表面積）考點四：圓錐內(nèi)切球與外接球1 圓錐的外接球：與正棱錐的外接球相同2 圓錐的內(nèi)切球：圓錐的內(nèi)切球半徑即為圓錐截面三角形的內(nèi)切圓半徑，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則內(nèi)切球半徑滿足：小結(jié)：1 球的內(nèi)接柱體，直椎體：2 球的內(nèi)接正棱錐，內(nèi)接圓錐：（為側(cè)棱）3 多面體的內(nèi)切球：4 圓錐的內(nèi)切球：典型例題例1 一個球的外切正方體的全面積為6，則球的體

3、積為（ ）A B C D 答案:C解析:多面體的內(nèi)切球，所以球的半徑，正方體的棱長為1，則，所以，所以球的體積為，故選C例2 某長方體的三視圖的面積分別為20，15，12，求該長方體的外接球的表面積答案：解析：設(shè)長方體的三邊分別為，則有，所以外接球半徑為：，所以例3 某圓錐的截面為邊長為2的正三角形，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為答案：解析：邊長為2的正三角形的內(nèi)切圓半徑為，則內(nèi)球球的半徑也為例4 一三棱錐，兩兩垂直，且，則該三棱錐外接球的表面積是（ ）A B C D 答案：解析：易知，是長方體中相鄰四個頂點構(gòu)成的棱錐，所以外接球半徑：，所以，選A例 5 一底面半徑為，母線長為的圓錐有一內(nèi)接正方體

4、，求該正方體的表面積答案：解析：由題知，圓錐的高為，設(shè)正方體的棱長為，可知：，所以：，所以，正方體的表面積為：例6 若半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，則這個半球的表面積與正方體的表面積之比為（ ） A B C D 答案：D解析：設(shè)半球的半徑為R，正方體的棱長為，則有，半球的表面積：，正方體的表面積，所以：，故選D例7 某圓柱的底面半徑為2，里面有一定的水，現(xiàn)把圓柱橫著放，水面的高度變?yōu)椋髨A柱里的水的體積與圓柱的體積比答案：解析：已知橫著放時，底面是一個弓形，所以，所以體積比為：例8 正四面體外接球與內(nèi)切球的半徑之比為答案：3解析：設(shè)正四面體半徑為，則底面積為，高為，所以內(nèi)切球半徑，外接球半徑，所以：練習(xí)1 已知一個多面體的內(nèi)切球的半徑為1，多面體的表面積為18，則多面體的體積為（ ）A 18 B 12 C 6 D 答案： C解析： ；，所以內(nèi)切球半徑滿足，選C2 用與球心距離為1的平面去截球面，所得截面積為，則球的體積為答案：解析：截面半徑為1，所以球的半徑，球的體積為3. 64個直徑都是的球，記它的體積為，表面積之和為，1個直徑都是的球，記它的體積為，表面積之和為，則（ ）A B C D 答案： C 解析： 左，所以，選C4 高與底面直徑之比為的圓柱內(nèi)接于球，且圓柱的體積為，則球的體積為（ ） A B C D 答案： C解析：設(shè)圓柱底面半徑為，則