章圓柱坐標系下的分離變量法071228

1、5圓柱坐標系下的分離變量法51極坐標系下的拉普拉斯方程考慮半徑為的一個薄圓盤，已知圓盤內部無熱源，邊界溫度給定，且溫度分布隨時間演化已趨于穩(wěn)定，試求此時的溫度分布。上述定解問題可表述為 （5.1.1a） (b)其中，表示圓盤的邊界，即，表示圍成的內域。對于二維平面場問題，即物理量的空間分布與無關，當物體邊界為矩形時，采用直角坐標系比較方便。因為邊界方程可方便地用直角坐標表示出來，如，但當物體邊界為圓形時采用極坐標系可大為簡化邊界方程，從而給問題的求解帶來方便。而在極坐標系下，拉普拉斯方程表示為 （）從而（）定解問題可改寫成 (5.1.3a) (b)注意到定解問題（）中的邊界條件屬于第類，通常稱

2、之為狄里克萊問題，也稱第邊值問題。若（）中的邊界條件是第類的，則稱相應的定解問題為牛曼問題，也稱第邊值條件。若（）中的邊界條件是第類的，則稱相應的定解問題為羅賓問題。此外，本題研究內域中的溫度，通常稱為內問題。實際應用中，可能遇到求圓形孔洞外圍的溫度場或電勢場分布問題，通常稱為外問題?，F在回到求解形如（）的定解問題上來。我們沿用在直角坐標系下求解偏微分方程定解問題的思想，設 （）代入（）得兩邊同除以（為非零解）得由于等式左邊是關于的函數，右邊是關于的函數，從而只能有 左邊=右邊=常數設這個常數為，則得到兩個常微分方程 （）和 （5.1.6a）或者 （b）如同在直角坐標系下求解偏微分方程定解問題

3、一樣，我們將首先構造與定解問題相應的特征值問題，通過求解特征值問題得到平方可積函數空間中的一組完備正交函數系，再將解按完備正交函數系展開，最終得到級數形式的解表達式。為此，首先考慮方程（b）附加特定邊界條件構成特征值問題的可能性。方程（b）為2階歐拉方程，定解條件需要2個，但(5.1.3)中僅提供1個。考慮到溫度在內處應為有限值，補充定解條件如下 ()從而可分離出 ()但從處的邊界條件中無法分離出關于的邊界條件。從而無法由方程（b）構造特征值問題?，F在轉而考慮由方程（）構造特征值問題。方程（）是2階常微分方程，其定解問題也需要2個，但（5.1.3）中并沒有提供關于的任何信息，但深入考慮本問題的

4、特點后，應該有 （5.1.9a）（b）因為和表示同一點。形如（）的條件稱為周期性條件。有界性條件（5.1.7）和周期性條件（）在原定解問題（5.1.3）中都沒有被明確提出。但原定解問題（5.1.3）是關于和的2階偏微分方程定解問題，其定解條件應該有4個。除處的邊界條件外，還應該有3個定解條件。有界性條件（5.1.7）和周期性條件（）正好是在原定解問題中沒有被明確提出的3個定解條件，他們或者由問題的物理性質決定，或者由區(qū)域的幾何性質決定。像這樣由問題的物理性質決定，或者由區(qū)域的幾何性質決定，而無需在定解問題中明確提出的邊界條件，通常稱為自然邊界條件。自然邊界條件是隱含在定解問題本身之中的邊界條件

5、。由周期性條件（）可進一步分離出 (5.1.10a) (b)它們與方程()一起構成特征值問題。方程()的通解為 () 注意到()中的周期為，故即特征值 ()相應的非平凡解為 ()由于和是線性無關的，所以特征值是2重簡并的（除外），即每一個特征值對應有2個線性無關的特征函數和。所有正交函數組成函數空間完備正交函數系?，F在將代入（b），求解歐拉方程（）（1） 當時， （）（2）當時， 令 則原歐拉方程（）化成從而 （）綜合式（）和（5.1.17）得歐拉方程（5.1.15）通解 （）將和代入（）得（）由于給定方程（）是線性齊次方程，滿足疊加原理，故定解問題的解可表示為 （）其中，待定系數,，由邊界條

6、件確定。由處的有界性條件知 （）（）再由處的邊界條件知 （）上式可看成是關于完備正交函數系的廣義傅立葉展開式從而對于溫度場分布的狄里克萊外問題 （5.1.24a） (b)其求解過程與狄里克萊內問題類似。首先補充自然邊界條件1） 同期性條件(5.1.25a)(b)2） 有界性條件，對于外問題，除邊界外，另一邊界是。一般應根據具體物理問題，對物理量在處提出適當的邊界條件，對于恒定溫度分布問題。由于溫度不可能無限升高，故可提有界性條件如下， （）其次求解特征值問題 （）得特征值和特征函數再次，求解歐拉方程 （）得然后，利用線性疊加原理得到定解問題的級數形式解最后，利用邊界條件確定待定系數,，。由處的

7、邊界條件（）知由處的邊界條件知 對于狄里克萊問題，不論是內問題還是外問題，在有界性條件，即或限制下，定解問題的解總是存在的，且是唯一的。但對于牛曼問題，解不一定存在，即使存在也不唯一。下面不加證明地給出牛曼問題的存在唯一性定理定理 對于牛曼問題，設則有1） 解存在的充分必要條件是2） 解在相差一個任意常數條件下可認為是唯一的。對于穩(wěn)態(tài)溫度場問題，解存在的充分必要條件表示：只有當從邊界流入的凈熱量為零時，所研究的區(qū)域內才能存在穩(wěn)定的溫度場。這個條件是顯然的，試想如果有熱量不斷從邊界流入或流出，則所研究的區(qū)域內的溫度場不可能是恒定的。此外，當從邊界流入的凈熱量為零時，溫度場演化終了的溫度還與演化初

8、始條件有關，因而溫度場可以相差一個任意常熟。5.2 柱坐標系下的亥姆霍斯方程在圓柱坐標系下 ()從而亥姆霍斯方程 ()可表示成 ()下面討論亥姆霍斯方程的求解，為此，設 ()代入（）得 ()由于所求解為非平凡解，故可在方程兩邊同除以得(5.2.6)等式左邊第1項和第2項為關于和的函數，第3項為關于的函數，它們之和要等于常數，第三項必為常數。因此，可設 ()即 ()將（）代入（5.2.6）得（）兩邊同乘以得（）上式第一項與第三項之和為關于的函數，第二項為關于的函數，它們之和為常數，第二項必為常數。從而可設（）即（）將（）代入（5.2.10）得即（）綜合上述分離變量的結果得到三個分別關于，和的常微

9、分方程（5.2.14a）（b）（5.2.14c）（5.2.14a）和（5.2.14b）是我們比較熟悉的亥姆霍斯方程。方程（5.2.14c）稱為m階貝塞爾（Bessel）方程，它是一個二階變系數常微分方程。作變量代換（5.2.15a）（b）則貝塞爾方程可改寫成如下幾種常用形式（5.2.16a）（b）（5.2.16c）（d）類似上述關于亥姆霍斯方程的變量分離過程，我們可以對拉普拉斯方程（）進行變量分離，即設，分離變量后得到（5.2.18a）（b）（5.2.18c）注意到在本題中（5.2.14c）中的（因為對于拉普拉斯方程）。稱（5.2.18c）為虛變量的貝塞爾方程。作變量代換（5.2.19a）（b

10、）則虛變量的貝塞爾方程可改寫成（）5.3貝塞爾方程的求解考慮如下形式的貝塞爾方程（）方程（）是變系數的二階常微分方程，一般應考慮用級數解法。由于分別是的一階極點，是的二階極點。故解在的鄰域內應為關于的羅朗級數，即（）將（）代入（5.3.1）得化簡后得（）比較上式兩邊對應項的系數1），的系數為因為，故只能（）從而可解的（）稱（）為指標方程。一般地，由（5.3.2）可得到兩個線性無關解和從而得方程的通解（）一般地，對2階變系數微分方程，若從指標方程可得2個解，就稱奇點是方程的正則奇點。對于貝塞爾方程，顯見是正則奇點。2)，的系數為（）因為，所以，只能3），的系數為由此，可得系數的遞推關系式（）當為

11、奇數時，由于，可得當為偶數時，所有的都依賴于。為使的表達式盡量簡單，通常?。ǎ┊敺謩e取和時，得到方程的兩個解（）（）稱為階第一類貝塞爾函數；為階的第一類貝塞爾函數。當（整數）時，和是線性無關的。因為如果和線性相關，則對任一點x，它們應該有相似的漸進性質，但當時，從級數的第一項看因此，和不是線性相關的。當（整數）時，（）（）可見和是線性相關的。上式令是考慮到，當時，（）由于當（整數）時，和是線性無關的，所以貝塞爾方程的通解可一般表示為（）但當（整數）時，由于和是線性相關的，我們還必須尋找一個與線性無關的特解?？梢宰C明，按如下形式定義的函數（）不論是否為整數，都是與線性無關的，且是滿足貝塞爾方程的

12、特解。通常稱這個特解為第二類貝塞爾函數，或稱牛曼函數。利用第二類貝塞爾函數可以將貝塞方程的通解表示為 ()這里v可以是整數，也可以不是整數。如果將第類和第類貝塞爾函數按下列進行組合，即 (5.3.18a) (b)則可得貝塞方程的復數形式特解，通常稱為第類貝塞爾函數。又稱漢克爾（Hamkel）函數。由于漢克爾函數和第類以及第類貝塞爾函數都是線性無關的，和也是線性無關的，所以貝塞方程的通解可以寫成 (5.3.19a)或 (b) (5.3.19c)第類貝塞爾函數具有明確的物理意義，這可以從遠場漸進表達式進行分析(5.3.20a) (b)兩邊同乘以時間簡諧因子得， (5.3.21a) (b)可見表示由

13、線源向外以速度擴散傳播的行波；而表示以速度向中心會聚的行波。向外傳播的行波振幅以的速度衰減；而向中心會聚的行波振幅以的速度增加。而第類貝塞爾函數與時間簡諧因子組合后表示具有固定“波節(jié)”的駐波。對于圓柱坐標系下的貝塞方程 ()考慮到() 是通過變量代換由(5.2.14c2)的通解可以表示為 () 對于虛變量的貝塞方程 ()可作類似討論并可得兩個實數解 () ()通常稱為v階的第類虛變量貝塞爾函數。虛變量的貝塞爾函數與貝塞爾函數具有類似的性質，即當（整數）時， ()所以二者是線性相關的，為此需要一個與線性無關的特解?？梢宰C明，按如下形式定義的函數 ()與線性無關，并且滿足虛變量的貝塞爾方程，從而虛

14、變量貝塞爾方程的通解（實數解）可以表示為 ()對于圓柱坐標系下的虛變量貝塞方程 ()其通解（實數解）可以表示為 ()5.4貝塞爾函數的性質在上節(jié)關于貝塞爾函數的級數表達式中出現了函數，這里對函數作一個簡單的介紹。伽瑪函數定義為考慮到所以伽瑪函數滿足遞推關系式令得令得此外，伽瑪函數與三角函數之間存在下列關系式或者令得從貝塞爾函數的級數表達式不難得到這說明偶數階的貝塞爾函數是偶函數；奇數階的貝塞爾函數是奇函數。貝塞爾函數的許多性質都可以從它的級數表達式推出，但由于貝塞爾函數不是初等函數，許多性質的推導過程是非常繁瑣的。這里我們重點在于總結貝塞爾函數各方面的性質，大多數情況下略去證明過程。貝塞爾函數

15、的零點貝塞爾函數在上的變化如圖和5.4.2所示。m=3m=2m=1m=01.0圖n=1n=0圖使的值稱為的零點。從圖和圖可見，在內有無數個零點。不妨記的第i個零點為。關于的零點及其分布的以下結論：1) 對任意給定的實數，有無窮多個零點；且當時，的零點都是實數。2) 當時，；當時，。3) 除外，的零點都是1階零點；當時，是的階零點。4) 若，則；即零點是以點為中心關于軸對稱分布的。5) 在的兩個正零點之間，分別有且只有1個和的零點；即的零點與或的零點是相互間插的。6) 對各階貝塞爾函數的第1零點，存在關系式：至于貝塞爾函數零點的具體數值可查有關特殊函數的函數表。但當時，可利用漸進公式求出零點的近

16、似值。 當時故零點由下式決定即 （k為整數）從而，且有。貝塞爾函數的漸進性質的漸進性質：1) 在點處的漸進性質2) 在處的漸進性質上式表明，當時，是振幅按速度衰減的近似周期振蕩函數。的漸進性質1) 在點處的漸進性質2) 在時的漸進性質可見函數在時，也是衰減振蕩函數。和的漸進性質1) 在的漸進性質；2) 在時的漸進性質對虛變量的貝塞爾函數有1) 當時的漸進性質2) 在時的漸進性質 圖 圖貝塞爾函數的遞推關系式不同階的貝賽爾函數之間存在相互聯系，這種聯系表現為存在于它們之間的遞推關系。1）的遞推關系式（為任意實數） （1） （2）遞推關系式（1）和（2）是基本的，從這兩式還可推得關系式 （3） （

17、4） （5） （6）特殊情況： a）時。 從而 b) 時。 從而2）的遞推關系式特殊情況 a）時。 b) 時。例1 用的遞推關系式，證明與的零點是相互間插的。證： 設 由羅爾定理知，使即又 ，所以 證畢由于第類貝賽爾函數是有第類和第類貝賽爾函數組合得到的，故第類貝賽爾函數和也滿足與第類和第類函數完全相同的遞推關系式。通常稱滿足遞推關系（1）和（2）式或者等價地（3）和（4）的函數為柱函數。并可一般地用表示。柱函數可以是，和之一，也可以是由它們組合得到的任何函數，例如事實上，由于彼此線性無關，其中任意兩個的線性組合都是柱函數?？梢宰C明，柱函數均滿足貝賽爾方程。證明：由遞推關系式 (1) (2)消

18、去得： （3）對（3）式兩邊關于求導得 （4）再由（1）和（2）消去得 （5）用代替得 （6）將（3）代入（6）得 （7）再將（7）代入（4）得 證畢5.4.4貝賽爾函數的正交性設為的正零點，則當時，貝賽爾函數系在區(qū)間上關于權函數正交即稱函數按展開的級數為函數的傅立葉貝賽爾級數。其中展開系數5.4.5半奇數階的貝賽爾函數半奇數階的貝塞爾方程是在球坐標系下對波動方程采用變量分離法時導出的。其解為半奇數階的貝塞爾函數。半奇數階的貝塞爾函數的一個重要特點是它可以用初等函數表達。（證明略）。更一般的，由遞推關系式（5）和（6）可以得5.4.6 整數階的貝賽爾函數當（整數）時有 對于整數階的貝塞爾函數還

19、有重要公式 （1）通常稱上式左端為整數階的貝塞爾函數的生成函數。從式（1）可以推出從而可作如下結論從（1）還可以推出下列兩個重要的形式1）平面波的駐波展開式（2）其中，。2）加法公式 （3）令代入（1）得=利用公式 (令并按n集項)可得：此即式（3）。進一步還有加法公式其中，是平面上任意兩點和之間的距離，和分別表示由原點到和的距離，是和之間的夾角。如圖所示。圖加法公式是研究圓柱體多重散射問題的基本公式。在多重散射問題研究中具有十分重要的地位。在（1）式中令，并利用得 =。引入記號：就得到展開式（2）。展開式（2）兩邊同乘以時間簡諧因子，并令得。上式左邊表示沿與x軸正向成角的方向傳播的平面波；右

20、邊表示不同階數的柱面駐波。該式表明平面波可以用不同階的駐波疊加得到。它在研究圓柱體對聲波，彈性波，電磁波等散射問題時具有重要的地位。 對于整數階的貝塞爾函數，還有如下積分表達式泊松表達式貝塞爾表達式關于的不等式有5.5 貝賽爾方程的特征值問題貝賽爾方程的特征值問題可一般地表述為 （5.5.1a） （b） （5.5.1c）貝賽爾方程（5.5.1a）的通解為考慮到當時，所以要滿足有界性條件（b），就必須由（5.5.1c）表示的邊界條件可以是三類邊界條件中的任意一種，下面分別討論。（1） 第類邊界條件，即，此時，有考慮到，故只能設是函數的根，即的零點。由貝賽爾函數的性質知，有無窮多個。一般可通過查閱

21、專門的貝賽爾函數數表確定各階零點。當沒有數表可查時，也可通過下面的公式對貝賽爾函數的零點作近似計算。其中，知道貝賽爾函數的零點后，即可求得特征值和特征函數（2）第類邊界條件，即，此時有考慮到（非平凡解要求）和，從而只能有方程的零點，一般不能從關于貝賽爾函數的數表中獲得。因為大多數貝賽爾函數的數表只提供的零點。當時，考慮到故的零點可由的零點獲得。當時，可按下面的公式對的零點作近似計算。其中從而在第類邊界條件下，特征值及相應的特征函數為注意，當時，是零點，且，故是特征值。當時，故不是問題的特征值。（3）第類邊界條件。 此時，和均不為0，邊界條件成為即從上式求根一般需采用數值方法。根在幾何上看是曲線

22、與的交點，這樣的交點在上有無窮多個。設這些交點為，則特征值和特征函數可表示為考慮：當所研究的區(qū)域由改成環(huán)域或外域時，相應的特征值問題應如何求解？在上述三類邊界條件下求得的特征函數構成平方可積函數空間的完備正交函數基。因此，對的任一函數均可按進行級數展開。在求展開系數時，需要計算。下面討論其計算方法由于特征函數滿足方程（5.5.1a），故有兩邊同乘，并在區(qū)間上積分得所以（1） 對于第類邊界條件，由于，從而，故（2） 對于第類邊界條件由于，從而，故（3） 對第類邊界條件，但即從而5.6 綜合應用例1求半徑為R的無限長圓柱的軸對稱自由振動問題。 （1a） （1b） （1c） （1d） （1e）解：設

23、質點的振動位移為。在軸對稱振動的情況下，質點位移與坐標和無關。用分離變量法求解，設 （2）將（2）代入（1a），并注意到在圓柱坐標系下，有得兩邊同除以，并引入分離常數后得 （3） （4）方程（4）是階的貝塞爾方程。其通解為 （5）由有界條件（1b）知， (6)由邊界條件（1c）（第類邊界條件）得，貝塞爾方程的特征值和特征函數 （7） （8）其中，是的零點。即滿足 （9）方程（3）的解為 （10）根據線性疊加原理，原定解問題（1）的通解可表示為 （11）其中系數和由初始條件確定。由初始條件（1d）得從而再由初始條件（1e）得從而代入（11）得 （12）例2. 求無限長圓柱體（半徑為a）體內的溫度

24、演化場問題。 （1a） （1b） （1c） （1d）解：由于初始溫度分布為常數，且熱傳導系數是各向同性的，因而溫度場分布是軸對稱的。可設.代入（1a）得即 （2） （3）式（3）為是階的貝塞爾方程。其通解為 （4）由有界條件（1b）知， (5)再由邊界條件（1c）（第類邊界條件）得，貝塞爾方程的特征值和特征函數 （6） （7）其中，是的零點.（其中）將（6）代入（2）得 （8）根據線性疊加原理，原定解問題的解可表示為 （9）其中待定系數由初始條件確定。由初始條件（1d）得 （10）從而 （11）代入（9）得例3. 半徑為，高為的圓柱體側面絕熱，上下底面溫度分布保持為和，求圓柱體內穩(wěn)定的溫度分布

25、。 解：根據題意，定解問題可表示為 （1a） (1b) (1c) (1d)由于圓柱體是軸對稱的，上下底面溫度分布和與無關，故在本題中溫度分布具有軸對稱特點。因此，可設代入（1a）得 進一步引入分離常數得兩個常微分方程1) 或者2）解法: 方程（4b）是零階貝賽爾方程，其通解為 (6)由于在處溫度不能為，即存在有界性條件 （7）從而（6）中系數即 （8）再由邊界條件（1b）(第II類邊界)得 （9） （10）其中是或的零點。方程（4a）的通解為 （11）根據線性疊加原理，定解問題的解可表示為 （12）其中待定系數，和，由上下底面的邊界條件確定，即 （13a） (13b)利用的正交性，可得進一步可解得：，。解法方程（5b）是虛變量的貝賽爾方程，其通解為注意到函數的漸進性質考慮到有界性條件， 只能齊次邊界條件（1b）要求但由的性質知，上式無解。因此，當圓柱側面具有齊次邊界條件時，應避免出現虛變量的貝賽爾方程。例4. 求解下列圓柱體的穩(wěn)態(tài)溫度場問題 (1a) (1b) (1c) （1d）解， 由于在圓柱體側面的邊界溫度是的函數，故本題不是軸對稱問題。一般可設 (2)代入方程（1a），注意到在柱坐標系下 (3)經分離變量后得到下列三個微分方程 (4a) （4b） (4c) 或者 (5a) (5b) (5c)考慮到本題中，上下底面是齊次邊界，圓柱側面是非齊次邊界。方程（5c）與非齊次