空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算一

1、9.6空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算(一)教學(xué)目的：1.掌握空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體（正方體、長(zhǎng)方體）的頂點(diǎn)坐標(biāo)；2.掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；3.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直；4.會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：空間右手直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)的確定及運(yùn)算.授課類型：新授課. 課時(shí)安排：1課時(shí). 教具：多媒體、實(shí)物投影儀.內(nèi)容分析：本節(jié)有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：向量和點(diǎn)的直角坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算、夾角和距離公式.一小節(jié)，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下，使向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化.掉基底，使空間一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)三維數(shù)組，這樣使向量運(yùn)算更加方便.上一小節(jié)已學(xué)

2、習(xí)向量運(yùn)算的基礎(chǔ)上，把向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化，對(duì)學(xué)生已不會(huì)感到抽象和困難.第2個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，我們給出空間解析幾何兩個(gè)最基本的公式：夾角和距離公式.這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，作為向量坐標(biāo)計(jì)算的例題，還順便證明了直線與平面垂直的“性質(zhì)定理”.過(guò)解一些立體幾何的應(yīng)用題，就可為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間解析幾何、高維向量和矩陣打下基礎(chǔ).要求學(xué)生理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握兩點(diǎn)的距離公式.握直線垂直于平面的性質(zhì)定理.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1.面向量的坐標(biāo)表示分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做

3、在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，特別地，.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則，.若，則3(¹)的充要條件是x1y2-x2y1=04平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量，試用和的坐標(biāo)表示.設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說(shuō)：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.5.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（1）設(shè)，則或.（2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)6.向量垂直的判定:設(shè)，則7.兩向量夾角的余弦（） cosa,b=cosq=8空間向量的基本定理：若是空間的一個(gè)基底，是空間任意一向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使二、講解新課：

4、1.間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；（3）作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使（或），；（4）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐

5、標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若，則，（2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).三、講解范例：例1.知，求，解：，例2求點(diǎn)關(guān)于平面，平面及原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).解：在平面上的射影，在平面上的射影為，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于平面及原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，例3在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證平面證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度，

6、設(shè)，分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以，平面四、課堂練習(xí)：1已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體，E、F分別是BB1和DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)分析：要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)E與x軸、y軸垂直的平面已存在，只要過(guò)E作平面垂直于z軸交E點(diǎn)，此時(shí)|x|y|z|，當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸正向相同時(shí)，x0，反之x0，同理確定y、z的符號(hào)，這樣可求得點(diǎn)E的坐標(biāo).解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)2已知(

7、2，3,5)，(3,1，4)，求，8，.解：（2，3,5）（3,1，4）（1，2,1），（2，3,5）（3,1，4）（5，4,9），88（2，3,5）（16，24,40），（2，3,5）（3,1，4）6（3）（20）29.3在正方體要ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則又D1FAE，又ADAEA，D1F平面ADE本例中坐標(biāo)系的選取具有一般性，在今后會(huì)常用到，這樣選取可以使正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為非負(fù)，且易確定.原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,0)，x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z).要使一向量a(x,y,z)與z軸垂直，只要z0即可.實(shí)上，要使向量a與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量a的相應(yīng)坐標(biāo)為0.鞏固練習(xí)P39練習(xí)16五、小結(jié)：空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo)；掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；3.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直；4.會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問(wèn)題.5用向量坐標(biāo)法證明或計(jì)算幾何問(wèn)題的基本步驟：建系設(shè)坐標(biāo)向量點(diǎn)的坐標(biāo)化向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）.八、課后記：教學(xué)以單位正交基底建立直角坐標(biāo)系時(shí)，根據(jù)前面向量分解定理，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的思想方