第二類曲線積分的計算63452

1、 第二類曲線積分的計算作者：鐘家偉 指導老師：張偉偉摘要：本文結合第二類曲線積分的背景用定義的方法進行第二類曲線積分的計算，重點是利用對稱性，參數(shù)方程，格林公式斯托克斯公式以及兩類曲線積分之間的聯(lián)系對第二類曲線積分進行計算。關鍵詞：第二類曲線積分 二重積分 參數(shù)積分 對稱性原理 斯托克斯公式 第二類曲面積分1 引言 本文介紹第二類曲線積分的定義以及與兩類曲線積分之間的聯(lián)系，重點介紹若干種主要的計算方法。1.1 第二類曲線積分的概念介紹了第二類曲線積分的物理學背景，平面和空間第二類曲線積分的定義以及對坐標的第二類曲線積分的定義。1.2第二類曲線積分的計算方法 介紹了關于第二類曲線積分的參數(shù)計算法

2、，利用格林公式和斯托克斯公式計算的方法以及利用對稱性簡化或計算的方法。2.1第二類曲線積分的物理學背景力場沿平面曲線從點A到點B所作的功一質(zhì)點受變力的作用沿平面曲線運動,當質(zhì)點從之一端點移動到另一端時,求力所做功.大家知道,如果質(zhì)點受常力的作用從沿直線運動到,那末這個常力所做功為 =. 現(xiàn)在的問題是質(zhì)點所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢?為此,我們對有向曲線作分割,即在內(nèi)插入個分點與=一起把曲線分成個有向小曲線段 ,記小曲線段的弧長為.則分割的細度為.設力在軸和軸方向上的投影分別為與,那么=由于則有向小曲線段在軸和軸方向上的投影分別為.記=從而力在小曲線段上所作的功= +其中(

3、)為小曲線段上任一點,于是力沿所作的功可近似等于 =當時,右端積分和式的極限就是所求的功.這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分. 2.2 第二型曲線積分的定義 設,為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線上的函數(shù),對任一分割,它把分成個小弧段；其中=.記各個小弧段弧長為,分割的細度為,又設的分點的坐標為,并記 , . 在每個小弧段上任取一點,若極限存在且與分割與點的取法無關,則稱此極限為函數(shù),在有向線段上的第二類曲線積分,記為或 也可記作 或 注：(1) 若記=,則上述記號可寫成向量形式:.(2) 倘若為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線,為定義在上的函數(shù),則可按上述辦法定義沿空間有向曲

4、線的第二類曲線積分,并記為按照這一定義 , 有力場沿平面曲線從點到點所作的功為.第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對二型曲線積分有 ,定積分是第二型曲線積分中當曲線為軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場沿空間曲線所作的功. 為空間曲線上的第二型曲線積分 .2.1 對坐標的第二類曲線積分的概念設函數(shù)在平面P(x，y)上的一條光滑（或分段光滑）曲線上有定義且有界，用分點將曲線L從起點A到B分為n個有向小弧的長度，作和式 。記，若極限存在，且對曲線L的分點及點 的選取方式無關，則稱此極限為函數(shù)P(x,y)按從A到B的方向沿曲線L對坐標x的曲線積分，記作的曲線積分 記作，其中P（x，y）

5、稱為被積函數(shù)，L稱為被積路徑，對坐標的曲線積分也稱之為第二類曲線積分。類似的，設函數(shù)Q（x，y）在xy平面上的一條光滑（或分段光滑）曲線L（AB）上有定義且有界。若對于L的任意分法和的任意取法，極限都存在且唯一，則稱此極限值為函數(shù)Q（x，y）按從A到B的方向沿曲線L對坐標Y的曲線積分，記作2. 2 第二類曲線積分的參數(shù)計算法 首先要弄清楚兩類積分的定義，簡單地說，第一類曲線積分就是 第二類曲線積分就是 （1）這兩種曲線積分的主要區(qū)別就在于，第一型曲線積分的積分和中是乘的，是一小段弧的弧長，總是正值；而第二類曲線積分和積分和中是乘的一段弧的坐標的增量，與是可正可負的。當積分的路徑反向時，不變，而

6、，反號，因此第一類曲線積分不變而第二類曲線積分反號，在這一性質(zhì)上，第二類曲線積分與定積分是一樣的。計算曲線積分的基本方法是利用的參數(shù)方程將其轉化成定積分，但兩類曲線積分有些不同。設曲線的參數(shù)方程為 則第一類曲線積分的計算公式為 這里要注意，即對的定積分中，下限比上限小時才有，也就有，這樣才有上述計算公式。這個問題在計算中也要特別注意。沿上的點由A變到B，即t的下限對應曲線積分的起點A，他的上限對應曲線積分的起點A，t的上限對應終點B。 在計算中總要用到曲線的參數(shù)方程，這里列出一些常用曲線的參數(shù)方程。橢圓的參數(shù)方程為 有些較簡單的曲線可取或為參數(shù)，即可由直角坐標方程。 例如，直線，取可由直角坐標

7、方程得出參數(shù)方程。例如，直角，取為參數(shù)，參數(shù)方程即為 又如，拋物線，取為參數(shù)，參數(shù)方程為 例1 設為以為頂點的三角形邊界，計算（1） （2） ，沿逆時針方向。解：（1）這是第一類曲線積分。線段的參數(shù)方程為線段的參數(shù)方程為.線段的參數(shù)方程為所以（2） 這是第二類曲線積分。在這個例子中，必須注意第一類曲線積分與第二類曲線積分的不同處理方法，尤其是方向性問題。2.3 利用格林公式計算第二類曲線積分 設D是由分段光滑的曲線圍成的連通有界閉區(qū)域，函數(shù)，在其上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有格林公式 其中取正向。格林公式建立了第二類曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林

8、公式正是這樣的公式。在討論曲線積分與路徑無關問題中，在許多公式的推導中，在曲線積分的計算中，格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個計算曲線積分的例子。例2. 用格林公式計算例1中（2）的第二類曲線積分。解： 顯然，這個積分滿足格林公式的條件。用格林公式，這比例1中的解法簡單一些。例3. 計算第二類曲線積分 其中為從A（-2,0）到B（2,0）沿橢圓的上半部分的曲線。解：不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿軸的線段而成為封閉曲線。 此題重點提到的是針對于非封閉曲線如何利用格林公式通過補形的方法將第二類曲線積分的計算轉化為二重積分的計算。2.4 利用對稱性計算第二類曲線積分定理1 設為平

9、面上關于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設為。記分別為位于軸的上半部分與下半部分，分別在上的投影方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么1） 當關于為偶函數(shù)時，則 2） 當關于為奇函數(shù)時，則 證明：依定理條件不妨設從點變到點從點變到點于是由對坐標曲線積分的性質(zhì)及計算方法有 故1）當關于為偶函數(shù)時，有2） 當位于為奇函數(shù)時，有 注1 對于有定理1的結論注2 定理1可用兩句口訣來簡言之，即“反對偶零”“與反對奇倍”。其中“反”指在軸上的投影方向相反；“對”指關于軸對稱；“偶”指被積函數(shù)在上關于為偶函數(shù)；“零”指曲線積分的結果等于零?？谠E“反對奇倍”涵義類似解釋。 關于曲線積分還有另一個對稱性的

10、結論是 定理2 設為平面上關于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程為，記分別為位于軸的右半部分，分別在軸上的投影方向相同，函數(shù)在上連續(xù)，那么1） 當關于為奇函數(shù)時，則 2） 當關于為偶函數(shù)時，則證明： 依定理條件不妨設從點0變到從點變到0.于是由對坐標曲線積分的性質(zhì)及計算方法有 對右端第2個積分，令，有 因此有 故1）當在上關于為奇函數(shù)時，有2） 當在上關于為偶函數(shù)時，有 注1 對于有類似2的結論。注2 定理1與定理2雖然都是對坐標的曲線積分，但定理1中積分曲線弧的對稱性及其投影都是針對軸而言的，而定理2積分曲線弧的對稱性及其投影是分別針對軸和軸而言的。另外，被積函數(shù)的奇偶性也是分別針對不同的變

11、量而言的，故定理2的結論恰好與定理1相反，定理2用口訣簡言之是：“同對奇零倍”。其中“同”指分別在軸的投影方向相同，“對”指關于軸對稱“奇”指被積函數(shù)關于為奇函數(shù)，“零”指曲線積分結果等于零“同對偶倍”的涵義類似解釋。例4 計算.其中為拋物線 從點到上的一段弧。解：以題設條件知，該曲線積分滿足定理1中“反對奇倍”的結論，故有，其中，從點0變到1.例5 計算其為按逆時針方向從點到點的上半圓周。解可將原式改寫為3個曲線積分的代數(shù)和，即，依題設條件分析知，等式右端第一、第二、第三個曲線積分依次滿足定理2中“同對偶倍”、“同對奇零”及及定理1的注1中“反對偶乘零“的結論，故有其中，從點變到0.2.5

12、利用斯托克斯公式計算第二類曲線積分 斯托克斯（Stokes）公式建立了沿空間雙側曲面S的積分與沿S的邊界曲線L的積分之間的聯(lián)系。在介紹下述定理之前，先對雙側面S的側與邊界L的方向作如下規(guī)定：設有人站在S上指定的一側，若沿L行走，指定的側總在人的左方，則人的前進方向為邊界L正向；若沿L行走，指定的側總在人的右方，則人的前進方向為邊界線L的負向，這個規(guī)定方法也稱為右手法則，如下圖所示。定理3 設光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù)P,Q,R在S（連同L）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 （2）其中S的側面與L的方向按右手法則確定。公式（2）稱之此公式為斯托克斯公式。證明： 先證 （3）其中

13、曲面S由方程確定，它的正側法線方向數(shù)為，方向余弦為，所以若S在平面上投影區(qū)為，L在平面上的投影曲線記為，現(xiàn)由第二類曲線積分定義及格林公式有因為所以由于從而綜合上述結果，便得所要證明的（3）式。同樣對于曲面S表示和時，可得 （4）和 （5）將（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。 如果曲線S不能以的形式給出，則用一些光滑曲線把S分割為若干小塊，使每一小塊能和這種形式表示，因而這時斯托克斯公式也能成立。為了便于記憶，斯托克斯公式也常寫成如下形式：例1， 其中C為橢圓若從軸正向看去，此橢圓是依次反時針方向進行的。解：橢圓如圖所示，把平面上所包圍的區(qū)域記為S，則S的法線方向為，注意到S的法線和曲線C的方向是正向聯(lián)系的，可知S的法線與軸正向的夾角為銳角，因此，于是由斯托克斯公式知例2 ，式中C是曲線此曲線是如下進行的：由它所包圍在球處表面上的最小區(qū)域保持在左方如圖所示。解： 注意到球面的法線的方向余弦為由斯托克斯公式有由于曲面S關于平