第二類曲線積分的計(jì)算63452

1、 第二類曲線積分的計(jì)算作者：鐘家偉 指導(dǎo)老師：張偉偉摘要：本文結(jié)合第二類曲線積分的背景用定義的方法進(jìn)行第二類曲線積分的計(jì)算，重點(diǎn)是利用對(duì)稱性，參數(shù)方程，格林公式斯托克斯公式以及兩類曲線積分之間的聯(lián)系對(duì)第二類曲線積分進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵詞：第二類曲線積分 二重積分 參數(shù)積分 對(duì)稱性原理 斯托克斯公式 第二類曲面積分1 引言 本文介紹第二類曲線積分的定義以及與兩類曲線積分之間的聯(lián)系，重點(diǎn)介紹若干種主要的計(jì)算方法。1.1 第二類曲線積分的概念介紹了第二類曲線積分的物理學(xué)背景，平面和空間第二類曲線積分的定義以及對(duì)坐標(biāo)的第二類曲線積分的定義。1.2第二類曲線積分的計(jì)算方法 介紹了關(guān)于第二類曲線積分的參數(shù)計(jì)算法

2、，利用格林公式和斯托克斯公式計(jì)算的方法以及利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化或計(jì)算的方法。2.1第二類曲線積分的物理學(xué)背景力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功一質(zhì)點(diǎn)受變力的作用沿平面曲線運(yùn)動(dòng),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從之一端點(diǎn)移動(dòng)到另一端時(shí),求力所做功.大家知道,如果質(zhì)點(diǎn)受常力的作用從沿直線運(yùn)動(dòng)到,那末這個(gè)常力所做功為 =. 現(xiàn)在的問題是質(zhì)點(diǎn)所受的力隨處改變，而所走路線又是彎彎曲曲.怎么辦呢?為此,我們對(duì)有向曲線作分割,即在內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)與=一起把曲線分成個(gè)有向小曲線段 ,記小曲線段的弧長(zhǎng)為.則分割的細(xì)度為.設(shè)力在軸和軸方向上的投影分別為與,那么=由于則有向小曲線段在軸和軸方向上的投影分別為.記=從而力在小曲線段上所作的功= +其中(

3、)為小曲線段上任一點(diǎn),于是力沿所作的功可近似等于 =當(dāng)時(shí),右端積分和式的極限就是所求的功.這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分. 2.2 第二型曲線積分的定義 設(shè),為定義在光滑或分段光滑平面有向曲線上的函數(shù),對(duì)任一分割,它把分成個(gè)小弧段；其中=.記各個(gè)小弧段弧長(zhǎng)為,分割的細(xì)度為,又設(shè)的分點(diǎn)的坐標(biāo)為,并記 , . 在每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn),若極限存在且與分割與點(diǎn)的取法無關(guān),則稱此極限為函數(shù),在有向線段上的第二類曲線積分,記為或 也可記作 或 注：(1) 若記=,則上述記號(hào)可寫成向量形式:.(2) 倘若為光滑或分段光滑的空間有向連續(xù)曲線,為定義在上的函數(shù),則可按上述辦法定義沿空間有向曲

4、線的第二類曲線積分,并記為按照這一定義 , 有力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)到點(diǎn)所作的功為.第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對(duì)二型曲線積分有 ,定積分是第二型曲線積分中當(dāng)曲線為軸上的線段時(shí)的特例.可類似地考慮空間力場(chǎng)沿空間曲線所作的功. 為空間曲線上的第二型曲線積分 .2.1 對(duì)坐標(biāo)的第二類曲線積分的概念設(shè)函數(shù)在平面P(x，y)上的一條光滑（或分段光滑）曲線上有定義且有界，用分點(diǎn)將曲線L從起點(diǎn)A到B分為n個(gè)有向小弧的長(zhǎng)度，作和式 。記，若極限存在，且對(duì)曲線L的分點(diǎn)及點(diǎn) 的選取方式無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)P(x,y)按從A到B的方向沿曲線L對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分，記作的曲線積分 記作，其中P（x，y）

5、稱為被積函數(shù)，L稱為被積路徑，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也稱之為第二類曲線積分。類似的，設(shè)函數(shù)Q（x，y）在xy平面上的一條光滑（或分段光滑）曲線L（AB）上有定義且有界。若對(duì)于L的任意分法和的任意取法，極限都存在且唯一，則稱此極限值為函數(shù)Q（x，y）按從A到B的方向沿曲線L對(duì)坐標(biāo)Y的曲線積分，記作2. 2 第二類曲線積分的參數(shù)計(jì)算法 首先要弄清楚兩類積分的定義，簡(jiǎn)單地說，第一類曲線積分就是 第二類曲線積分就是 （1）這兩種曲線積分的主要區(qū)別就在于，第一型曲線積分的積分和中是乘的，是一小段弧的弧長(zhǎng)，總是正值；而第二類曲線積分和積分和中是乘的一段弧的坐標(biāo)的增量，與是可正可負(fù)的。當(dāng)積分的路徑反向時(shí)，不變，而

6、，反號(hào)，因此第一類曲線積分不變而第二類曲線積分反號(hào)，在這一性質(zhì)上，第二類曲線積分與定積分是一樣的。計(jì)算曲線積分的基本方法是利用的參數(shù)方程將其轉(zhuǎn)化成定積分，但兩類曲線積分有些不同。設(shè)曲線的參數(shù)方程為 則第一類曲線積分的計(jì)算公式為 這里要注意，即對(duì)的定積分中，下限比上限小時(shí)才有，也就有，這樣才有上述計(jì)算公式。這個(gè)問題在計(jì)算中也要特別注意。沿上的點(diǎn)由A變到B，即t的下限對(duì)應(yīng)曲線積分的起點(diǎn)A，他的上限對(duì)應(yīng)曲線積分的起點(diǎn)A，t的上限對(duì)應(yīng)終點(diǎn)B。 在計(jì)算中總要用到曲線的參數(shù)方程，這里列出一些常用曲線的參數(shù)方程。橢圓的參數(shù)方程為 有些較簡(jiǎn)單的曲線可取或?yàn)閰?shù)，即可由直角坐標(biāo)方程。 例如，直線，取可由直角坐標(biāo)

7、方程得出參數(shù)方程。例如，直角，取為參數(shù)，參數(shù)方程即為 又如，拋物線，取為參數(shù)，參數(shù)方程為 例1 設(shè)為以為頂點(diǎn)的三角形邊界，計(jì)算（1） （2） ，沿逆時(shí)針方向。解：（1）這是第一類曲線積分。線段的參數(shù)方程為線段的參數(shù)方程為.線段的參數(shù)方程為所以（2） 這是第二類曲線積分。在這個(gè)例子中，必須注意第一類曲線積分與第二類曲線積分的不同處理方法，尤其是方向性問題。2.3 利用格林公式計(jì)算第二類曲線積分 設(shè)D是由分段光滑的曲線圍成的連通有界閉區(qū)域，函數(shù)，在其上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式 其中取正向。格林公式建立了第二類曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個(gè)重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林

8、公式正是這樣的公式。在討論曲線積分與路徑無關(guān)問題中，在許多公式的推導(dǎo)中，在曲線積分的計(jì)算中，格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個(gè)計(jì)算曲線積分的例子。例2. 用格林公式計(jì)算例1中（2）的第二類曲線積分。解： 顯然，這個(gè)積分滿足格林公式的條件。用格林公式，這比例1中的解法簡(jiǎn)單一些。例3. 計(jì)算第二類曲線積分 其中為從A（-2,0）到B（2,0）沿橢圓的上半部分的曲線。解：不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿軸的線段而成為封閉曲線。 此題重點(diǎn)提到的是針對(duì)于非封閉曲線如何利用格林公式通過補(bǔ)形的方法將第二類曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為二重積分的計(jì)算。2.4 利用對(duì)稱性計(jì)算第二類曲線積分定理1 設(shè)為平

9、面上關(guān)于軸對(duì)稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設(shè)為。記分別為位于軸的上半部分與下半部分，分別在上的投影方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么1） 當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，則 2） 當(dāng)關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，則 證明：依定理?xiàng)l件不妨設(shè)從點(diǎn)變到點(diǎn)從點(diǎn)變到點(diǎn)于是由對(duì)坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有 故1）當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，有2） 當(dāng)位于為奇函數(shù)時(shí)，有 注1 對(duì)于有定理1的結(jié)論注2 定理1可用兩句口訣來簡(jiǎn)言之，即“反對(duì)偶零”“與反對(duì)奇倍”。其中“反”指在軸上的投影方向相反；“對(duì)”指關(guān)于軸對(duì)稱；“偶”指被積函數(shù)在上關(guān)于為偶函數(shù)；“零”指曲線積分的結(jié)果等于零?？谠E“反對(duì)奇倍”涵義類似解釋。 關(guān)于曲線積分還有另一個(gè)對(duì)稱性的

10、結(jié)論是 定理2 設(shè)為平面上關(guān)于軸對(duì)稱的一條有向光滑曲線弧，其方程為，記分別為位于軸的右半部分，分別在軸上的投影方向相同，函數(shù)在上連續(xù)，那么1） 當(dāng)關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，則 2） 當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，則證明： 依定理?xiàng)l件不妨設(shè)從點(diǎn)0變到從點(diǎn)變到0.于是由對(duì)坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有 對(duì)右端第2個(gè)積分，令，有 因此有 故1）當(dāng)在上關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，有2） 當(dāng)在上關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，有 注1 對(duì)于有類似2的結(jié)論。注2 定理1與定理2雖然都是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，但定理1中積分曲線弧的對(duì)稱性及其投影都是針對(duì)軸而言的，而定理2積分曲線弧的對(duì)稱性及其投影是分別針對(duì)軸和軸而言的。另外，被積函數(shù)的奇偶性也是分別針對(duì)不同的變

11、量而言的，故定理2的結(jié)論恰好與定理1相反，定理2用口訣簡(jiǎn)言之是：“同對(duì)奇零倍”。其中“同”指分別在軸的投影方向相同，“對(duì)”指關(guān)于軸對(duì)稱“奇”指被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù)，“零”指曲線積分結(jié)果等于零“同對(duì)偶倍”的涵義類似解釋。例4 計(jì)算.其中為拋物線 從點(diǎn)到上的一段弧。解：以題設(shè)條件知，該曲線積分滿足定理1中“反對(duì)奇倍”的結(jié)論，故有，其中，從點(diǎn)0變到1.例5 計(jì)算其為按逆時(shí)針方向從點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周。解可將原式改寫為3個(gè)曲線積分的代數(shù)和，即，依題設(shè)條件分析知，等式右端第一、第二、第三個(gè)曲線積分依次滿足定理2中“同對(duì)偶倍”、“同對(duì)奇零”及及定理1的注1中“反對(duì)偶乘零“的結(jié)論，故有其中，從點(diǎn)變到0.2.5

12、利用斯托克斯公式計(jì)算第二類曲線積分 斯托克斯（Stokes）公式建立了沿空間雙側(cè)曲面S的積分與沿S的邊界曲線L的積分之間的聯(lián)系。在介紹下述定理之前，先對(duì)雙側(cè)面S的側(cè)與邊界L的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在S上指定的一側(cè)，若沿L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔鏛正向；若沿L行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人的前進(jìn)方向?yàn)檫吔缇€L的負(fù)向，這個(gè)規(guī)定方法也稱為右手法則，如下圖所示。定理3 設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù)P,Q,R在S（連同L）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （2）其中S的側(cè)面與L的方向按右手法則確定。公式（2）稱之此公式為斯托克斯公式。證明： 先證 （3）其中

13、曲面S由方程確定，它的正側(cè)法線方向數(shù)為，方向余弦為，所以若S在平面上投影區(qū)為，L在平面上的投影曲線記為，現(xiàn)由第二類曲線積分定義及格林公式有因?yàn)樗杂捎趶亩C合上述結(jié)果，便得所要證明的（3）式。同樣對(duì)于曲面S表示和時(shí)，可得 （4）和 （5）將（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。 如果曲線S不能以的形式給出，則用一些光滑曲線把S分割為若干小塊，使每一小塊能和這種形式表示，因而這時(shí)斯托克斯公式也能成立。為了便于記憶，斯托克斯公式也常寫成如下形式：例1， 其中C為橢圓若從軸正向看去，此橢圓是依次反時(shí)針方向進(jìn)行的。解：橢圓如圖所示，把平面上所包圍的區(qū)域記為S，則S的法線方向?yàn)?，注意到S的法線和曲線C的方向是正向聯(lián)系的，可知S的法線與軸正向的夾角為銳角，因此，于是由斯托克斯公式知例2 ，式中C是曲線此曲線是如下進(jìn)行的：由它所包圍在球處表面上的最小區(qū)域保持在左方如圖所示。解： 注意到球面的法線的方向余弦為由斯托克斯公式有由于曲面S關(guān)于平