積分運(yùn)算運(yùn)用

1、目錄 摘要1Abstract11 定積分的一般求法21.1第一換元積分法（也叫湊微分法）21.1.1 簡(jiǎn)單的積分分式的湊微分法21.1.2 復(fù)雜積分式的湊微分法31.2 第二換元積分法41.2.1 利用三角函數(shù)代換，變根式積分為有理式積分41.2.3 指數(shù)代換51.3分部積分法61.4 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分71.4.1有理函數(shù)的不定積分71.4.2 三角函數(shù)有理式的不定積分101.4.3 某些無(wú)理根式的不定積分112.1 牛頓萊布尼茨公式142.2 特殊形式的定積分的計(jì)算142.2.1 分段函數(shù)的積分142.2.2 被積函數(shù)帶有絕對(duì)值符號(hào)的積分153反常積分的求法163.1 無(wú)窮

2、限反常積分163.2 瑕積分16參考文獻(xiàn)17致 謝19求積分方法的總結(jié)摘要：不同問(wèn)題不同方法，在這篇論文中主要針對(duì)一元積分問(wèn)題。本篇論文主要總結(jié)定積分的求法、不定積分的求法和反常積分的求法，在總結(jié)這些不同類(lèi)型的積分求法過(guò)程中我主要是先講基本方法再具體舉例說(shuō)明。有時(shí)同一問(wèn)題有多種解法的我也列舉出來(lái)了。通過(guò)這次總結(jié)我們以后都能很好的解決一般的積分問(wèn)題。關(guān)鍵詞：積分；積分方法；不同類(lèi)型The Summary of the Method of IntegrationAbstract: Different problems , different methods .In thesis main poin

3、ts to the integral of one unknown problem . This article mainly summary the method of how to solve definite integral、indefinite integral and improper integral, during the review process, the main I write is basic approach and then take some examples. Sometimes one problem may have more than one solu

4、tion. Toward this process we can solve integral problem easily. Keywords: integral；method of integral；different kinds1 不定積分的一般求法1.1第一換元積分法（湊微分法）設(shè)，則 （令） （） .用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。 簡(jiǎn)單的積分分式的湊微分法例1 求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6）解 （

5、1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 復(fù)雜積分式的湊微分法將被積分式寫(xiě)成，或，其中較復(fù)雜.對(duì)或構(gòu)成的主要部分求導(dǎo)，若其導(dǎo)數(shù)為的常數(shù)倍，則或.其中為常數(shù)，為的主要部分.例2 計(jì)算下列積分： （1） （2） （3） （4）解 （1），原式 .（2）原被積式的分子分母同除以，得.（3）， 只要分子分母同乘以，便有 原式 .（4）原被積分式的分子分母同除以，則 原式 .1.2 第二換元積分法 利用三角函數(shù)代換，變根式積分為有理式積分例1 求下列不定積分： （1） （2）解 （1） 被積函數(shù)中含有， 應(yīng)作變換，于是 原式 .（2）令 原式 . 倒代換（即令） 設(shè)，分別為被積函數(shù)分子、

6、分母關(guān)于的最高次數(shù)，當(dāng)時(shí)，用倒代換可望成功.例 求.解 令，則.于是 原式 . 指數(shù)代換適用于元被積函數(shù)由所構(gòu)成的代數(shù)式.令，.例 求.解 令， 原式 .1.3分部積分法由乘積求導(dǎo)法，可以導(dǎo)出分部積分法.定理 （分部積分法）若與可導(dǎo)，不定積分存在，則也存在，并且有. （3） 證 由或，對(duì)上式兩邊求不定積分，就得到（3）式.公式（3）稱(chēng)為分部積公式，常簡(jiǎn)寫(xiě)作.例1 求.解 令，則有，.由公式（3）求得.例2 求.解 .例3 求和.解 ，.由此得到.解此方程組，求得，.例4 求.解 做變量替換，則有.故有.例 求.解 .1.4 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分定義.1 有理函數(shù)

7、是指有兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù),期一般形式為,其中為非負(fù)整數(shù),與都是常數(shù),且，.若，則稱(chēng)它為真分式;若,則稱(chēng)它為假分式. 根據(jù)代數(shù)知識(shí),有理真分式必定可以表示成若干個(gè)部分分式之和（稱(chēng)為部分分式分解）.因而問(wèn)題歸結(jié)為求那些部分分式的不定積分.為此,先把怎樣分解部分分式的步驟簡(jiǎn)述如下：第一步 對(duì)分母在實(shí)系數(shù)內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：,其中，（1,2，；=1,2,，）均為自然數(shù),而且;, .第二步 根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫(xiě)出與之相應(yīng)的部分分式：對(duì)于每個(gè)形如的因式,它所對(duì)應(yīng)的部分分式是；對(duì)每一個(gè)形如的因式,它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 .把所有的部分分式加起來(lái),使之等于.（至此，部分分式中的常系數(shù)，尚未待定的。）第

8、三步 確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母，而其分子亦應(yīng)與原分子恒等.于是,按同冪項(xiàng)系數(shù)必定相等,得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程,這組方程的解就是需要確定的系數(shù).例1 對(duì)作部分分式分解.解 令,其中,.部分分式分解的待定形式為 （）用乘上式兩邊,得一恒等式然后使等式兩邊同冪項(xiàng)系數(shù)相等，得到線性方程組：的系數(shù)的系數(shù)的系數(shù)的系數(shù)常數(shù)項(xiàng)求出它的解：,并代入（）式，這便完成了對(duì)的部分分式分解： .例2 求.解 在本題中由于被積函數(shù)的分母只有單一因式,因此,部分分式分解能被化簡(jiǎn)為.現(xiàn)分別計(jì)算部分分式的不定積分如下：. （其中）.于是得到. 三角函數(shù)有理式的不定積分是三角函數(shù)有理式的不定積分.一般通過(guò)變換,可把它化為