空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算B

1、9.7 空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算（B）知識(shí)梳理1.若=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量的坐標(biāo)，也叫點(diǎn)P的坐標(biāo).2.設(shè)a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），那么a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2），a·b=x1x2+y1y2+z1z2，cosa，b=.3.設(shè)M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），則|M1M2|=.4.對(duì)非零向量a與b，有ab a=kb；ab a·b=0.點(diǎn)擊雙基1.若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a與b為共線向量，則A.x=1，y=1 B.x=，y=C.x=

2、，y=D.x=，y=解析：a=（2x，1，3）與b=（1，2y，9）共線，故有=.x=，y=.應(yīng)選C.答案：C2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（x，y，z）A.3 B.2 C.1 D.0解析：P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1（x，y，z），關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2（x，y，z），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3（x，y，z）.故錯(cuò)誤.答案：C3.已知向量a=（1，1，0），b=（1，0，2），且k

3、ab與2ab互相垂直，則k值是A.1B.C.D. 解析：ka+b=k（1，1，0）（1，0，2）=（k1，k，2），2ab=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2）.兩向量垂直，3（k1）2k2×2=0.k=.答案：D4.已知空間三點(diǎn)A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），則與的夾角的大小是_.解析：=（2，1，3），=（1，3，2），cos，=，=，=120°.答案：120°5.已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則| |的值是_.解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），則由=2，得（x1，y2，z1）=2（1x，3y，4

4、z），即則|=.答案： 典例剖析【例1】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量.即n=（，1，1），單位法向量n0=±=±（，）.解：設(shè)面ABC的法向量n=（x，y，1），則n且n，即n·=0，且n·=0，即2x+2y+1=0，4x+5y+3=0， 特別提示一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解.【例2】 在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90

5、°，AC=2，BC=，SB=.（1）求證：SCBC；（2）求SC與AB所成角的余弦值.解法一：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）·=0，SCBC.（2）設(shè)SC與AB所成的角為，=（0，0），·=4，| |=4，cos=，即為所求.解法二：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，SCBC.（2）如下圖，過點(diǎn)C作CDAB，過點(diǎn)A作ADBC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則SCD為異面直線SC與AB所成的

6、角.四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即為所求.特別提示本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法.題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形.【例3】 如下圖，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求的長；（2）求cos，的值；（3）求證：A1BC1M.（1）解：依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），=.（2）解：A

7、1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），·=3，=，=.cos，=.（3）證明：C1（0，0，2），M（，2），=（1，1，2），=（，0），·=0，A1BC1M.深化拓展根據(jù)本題條件，還可以求直線AC1與平面A1ABB1所成的角.（答案是arcsin） 【例4】 如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).（1）證明ADD1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明面AED面A1D1F.解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2

8、，則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.（1）· =（2，0，0）·（0，1，2）=0，ADD1F.（2）·=（0，2，1）·（0，1，2）=0，AED1F，即AE與D1F成90°角.（3）·=（2，2，1）·（0，1，2）=0，DED1F.AED1F，D1F面AED.D1F面A1D1F，面AED面A1D1F.思考討論本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)去掌握.通過

9、坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn).闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.設(shè)OABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GG1，若 =x+y+z，則（x，y，z）為A.（，） B.（，）C.（，）D.（，）解析：= = （ +）=+ ·（+）=+ （）+（）=+ + ，而=x+y+z，x=，y=，z=.答案：A2.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角為A.arccosB.arccosC.arccos D.arccos解法一：= +， = +，·=（ +）·（+）=

10、3;= .而|=.同理，|=.如令為所求之角，則cos=，=arccos.解法二：建立如下圖所示坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，1），C（0，1，0），N（1，1，）.=（1，1）（1，0，0）=（0，1），=（1，1，）（0，1，0）=（1，0，）.故·=0×1+×0+1×=，|= ，|=.cos=.=arccos.答案：D3.命題：若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；向量a、b、c共面，則它們所在的直線也共面；若a與b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使b=a；若A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面A

11、BC外一點(diǎn)，= + + ，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在ABC內(nèi)部.上述命題中的真命題是_.解法一：中b為零向量時(shí)，a與c可以不共線，故是假命題；中a所在的直線其實(shí)不確定，故是假命題；中當(dāng)a=0，而b0時(shí)，則找不到實(shí)數(shù)，使b=a，故是假命題；中M是ABC的重心，故M在平面ABC上且在ABC內(nèi)，故是真命題.解法二：可以證明中A、B、C、M四點(diǎn)共面.等式兩邊同加，則（ +）+（+）+（+）=0，即 + +=0，=，則與、共面，又M是三個(gè)有向線段的公共點(diǎn)，故A、B、C、M四點(diǎn)共面.答案：4.設(shè)點(diǎn)C（2a+1，a+1，2）在點(diǎn)P（2，0，0）、A（1，3，2）、B（8，1，4）確定的平面上，求a的值.

12、解： =（1，3，2），=（6，1，4）.根據(jù)共面向量定理，設(shè) =x+y（x、yR），則（2a1，a+1，2）=x（1，3，2）+y（6，1，4）=（x+6y，3xy，2x+4y），解得x=7，y=4，a=16.5.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|=，建立如下圖所示的坐標(biāo)系.（1）確定P、Q的位置，使得B1QD1P；（2）當(dāng)B1QD1P時(shí)，求二面角C1PQA的大小.解：（1）設(shè)BP=t，則CQ=，DQ=2.B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2，2，0）， =（，2，2）， =（2，2t，2）.B1QD1P等價(jià)于

13、·=0，即22（2t）+2×2=0，整理得=t，解得t=1.此時(shí)，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，B1QD1P；（2）當(dāng)B1QD1P時(shí)，由（1）知P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn).在正方形ABCD中，PQBD，且ACBD，故ACPQ.設(shè)AC與PQ的交點(diǎn)為E，連結(jié)C1E.在正方體ABCDA1B1C1D1中，CC1底面ABCD，CE是C1E在底面ABCD內(nèi)的射影，C1EPQ，即C1EC是二面角C1PQC的平面角，C1EA是二面角C1PQA的平面角.在正方形ABCD中，CE=，在RtC1EC中，tanC1EC=2，C1EC=arctan2，C1E

14、A=arctan2.二面角C1PQA的大小是arctan2.培養(yǎng)能力6.已知三角形的頂點(diǎn)是A（1，1，1），B（2，1，1），C（1，1，2）.試求這個(gè)三角形的面積.解：S=|AB|AC|sin，其中是AB與AC這兩條邊的夾角.則S=|=| =.在本題中，=（2，1，1）（1，1，1）=（1，2，2），=（1，1，2）（1，1，1）=（2，0，3），|2=12+22+（2）2=9，|2=（2）2+02+（3）2=13，·=1·（2）+2·0+（2）·（3）=2+6=4，S=.7.證明正三棱柱的兩個(gè)側(cè)面的異面對(duì)角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的

15、比為1.證明：如圖，以正三棱柱的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）.因?yàn)楫惷鎸?duì)角線OABC·=0（a，a，b）·（0，2a，b）=2a2b2=0b=a，即2ab=1，所以O(shè)ABC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為1.探究創(chuàng)新8.如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且BAD=60°，PAD為正三角形，且面PAD面ABCD.（1）求cos，的值；（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求|的值；（3）求二面角PBCD的大小.解：（1）選取AD中點(diǎn)O

16、為原點(diǎn)，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，0）.=（a，0），=（0，a），則cos，=.（2）E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，E（ a，0），F(xiàn)（0，a）.則|= a.（3）面PAD面ABCD，POAD，PO面ABCD.BOAD，ADBC，BOBC.連結(jié)PB，則PBBC，PBO為二面角PBCD的平面角.在RtPBO中，PO=a，BO=a，tanPBO=1.則PBO=45°.故二面角PBCD的大小為45°.思悟小結(jié)本節(jié)知識(shí)是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運(yùn)算分為向量法與坐標(biāo)法兩類，

17、以通過向量運(yùn)算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點(diǎn).利用兩個(gè)向量（非零）垂直數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計(jì)算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運(yùn)用共面向量定理可證點(diǎn)共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點(diǎn)面距、線面角、異面直線的距離等.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.要使學(xué)生理解空間向量、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)乘的坐標(biāo)表示以及兩點(diǎn)間的距離、夾角公式.通過解題，會(huì)應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題.2.運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題時(shí)，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合

18、公式進(jìn)行論證、計(jì)算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.拓展題例【例1】 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；（2）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)滿足的條件.解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點(diǎn)，則= （+）=（3，2，1）+（1，0，4）=（2，1，），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1，），dAB=.（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y，z）到A、B的距離相等，則=.化簡得4x+4y6z+3=0，即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件.評(píng)述：空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點(diǎn)為（，），且|P1P2|=. 【例2】 棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P使B1D面PAC？解：以D為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)存在點(diǎn)P（0，0，z），=（a，0，z），=（a，a，0）， =（a，a，a），B1D面PAC，·=0，·=0.a2+az=0.z=a，即點(diǎn)P與D1重合.點(diǎn)P與D1重合時(shí)，DB1面PAC.【例3】