立體幾何之外接球和內(nèi)切球

1、 外接球和內(nèi)切球題型一 高過(guò)外心（正棱錐、圓錐、側(cè)棱相等）【例1】 已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】正四棱錐PABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PAAB2，連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO面ABCD，OAOBOCOD=，OP，O是球心，球O的半徑r球O的表面積為S4r28故選：C【舉一反三】1（2019·廣東高考模擬（文）在三棱錐中.，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B 題型二 高不過(guò)心（直棱柱、圓柱、側(cè)棱垂直于底面的圓錐）【例2】（1）（2019·天津高考模擬（理）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C

2、1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，則球的表面積為_（2） 已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，外接球表面積為，則正三棱柱的體積為（ ）A.B.C.D. 【答案】（1）8（2）D 【舉一反三】1 已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，則三棱柱外接球的體積為（ ）ABCD【答案】D 2 四棱錐的底面為正方形，底面，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則的長(zhǎng)為（ ）A3B2C1D【答案】C 3四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面，底面為梯形，且，則此球的表面積等于（）ABCD【答案】C 題型三 找高作心（頂點(diǎn)的投影在底邊上）【例3】（1） 在三棱錐P-ABC中，平面PAB平面AB

3、C，ABC是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形，其中PA=PB=7，則該三棱錐外接球的表面積為_（2） 在四面體中，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_ 【舉一反三】1 已知四棱錐的三視圖如圖所示，若該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積等于_.【答案】 3（2019·河南高考模擬（理）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（ ）ABCD【答案】A 考向四 球心在邊上（斜邊是球的直徑）【例4】 在三棱錐中，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）ABCD【答案】D【舉一反三】1 已知三

4、棱錐的體積為，各頂點(diǎn)均在以為直徑球面上，則這個(gè)球的表面積為_?！敬鸢浮?6 考向五 嵌套模型【例5】（1） 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)都相等，其外接球的表面積是，則其側(cè)棱長(zhǎng)為（ ）A.B.C.D.（2） 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（ ）A B C D【答案】（1）B（2）B 【舉一反三】1 某幾何體的三視圖是如圖所示的三個(gè)直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積是（ ）A.41B.48C.51D.164【答案】A【解析】由三視圖可得該幾何體為如下圖（一）所示三棱錐，其中，DAAB，BCAB，AB=AD=4，BC=3因?yàn)镃D的中點(diǎn)E到所有頂點(diǎn)的距離相等，所以E為

5、外接球球心.因?yàn)镃D=42+32+42=41 所以外接球半徑為：r=412，則表面積為：4r2=41.選A.2 已知四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】D 題型六 最值問(wèn)題【例6】 在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球體積的最小值為 ( )A BCD【答案】D 【舉一反三】1 已知三點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，若.則球內(nèi)的三棱錐的體積的最大值為（ ）ABCD【答案】C2 已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）A.B.C.D.【答案】B 3 已知三棱錐中，側(cè)棱

6、,當(dāng)側(cè)面積最大時(shí)，三棱錐的外接球體積為_【答案】題型七 內(nèi)切球【例7】 如圖是一三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為（ ）ABCD【答案】D【舉一反三】1 已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則（ ）A.B.C.D.【答案】C2 一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的母線與底面的夾角為，則圓錐的內(nèi)切球的表面積為( )ABCD【答案】B3將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為 （ ）ABCD【答案】B課后作業(yè)1 三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且 ,若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】C2 中國(guó)古代數(shù)學(xué)

7、經(jīng)典九章算術(shù)系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臍如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，若鱉牖的體積為l，則陽(yáng)馬的外接球的表面積等于（）ABCD【答案】A3 已知正方形的邊長(zhǎng)為邊的中點(diǎn)為，現(xiàn)將分別沿折起，使得兩點(diǎn)重合為一點(diǎn)記為，則四面體外接球的表面積是（ ）ABCD【答案】C4 已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC，ABBC，SA=1，AB=BC=2， 則球S的表面積為（）A.5B.52C.9D.92【答案】C 6如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分

8、別是AB、BC的中點(diǎn)，將ADE，BEF，CDF分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A'，若四面體A'EDF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為( )A.5B.6C.8D.11【答案】B 7某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積是：（ ）A.8B.123C.12D.48【答案】C 8已知三棱錐O-ABC的底面ABC的頂點(diǎn)都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱錐O-ABC的體積為43，則球O的體積為（ ）A.323B.643C.1283D.2563【答案】D9一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三

9、條棱長(zhǎng)為2，則該四面體外接球的表面積為（ ）A6B12C32D48【答案】B 10已知在三棱錐中，平面平面，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】D 11已知三棱錐的體積為6，在中，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點(diǎn)，則球的表面積等于（ ）ABCD【答案】C12已知一圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為（）ABCD【答案】B13已知三棱錐P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】C 14（2019·全國(guó)高考模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A 15如圖，直角三角形，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為（ ）ABCD【答案】B 19中，將沿上的高折成直二