第八章——平面電磁波

1、第八章 平面電磁波8-1 導出非均勻的各向同性線性媒質(zhì)中，正弦電磁場應該滿足的波動方程及亥姆霍茲方程。解 非均勻的各向同性線性媒質(zhì)中，正弦電磁場應該滿足的麥克斯韋方程如下：，分別對上面兩式的兩邊再取旋度，利用矢量公式，得則相應的亥姆霍茲方程為8-2 設真空中平面上分布的表面電流，試求空間電場強度、磁場強度及能流密度。解 平面上分布的表面電流將產(chǎn)生向和方向傳播的兩個平面波，設z > 0區(qū)域中的電場和磁場分別為，傳播方向為；而z < 0區(qū)域中的場強為和，傳播方向為。顯然，各個場分量均與邊界平行。由于表面電流的存在導致磁場強度在邊界上不連續(xù)，但是電場強度仍然連續(xù)。由此求得下列方程：式中。

2、考慮到；求得，獲知因此，那么，z > 0同理可得，z < 0因此，兩邊的電場強度分別為， z > 0， z < 0能流密度分別為,z > 0，z < 08-3 已知理想介質(zhì)中均勻平面波的電場強度瞬時值為 (V/m)試求磁場強度瞬時值、平面波的頻率、波長、相速及能流密度。解 已知電場強度瞬時值為(V/m)可見這是向+x方向傳播的平面波。因此，磁場強度的瞬時值為(A/m)式中為媒質(zhì)的波阻抗。根據(jù)題意，獲知平面波的角頻率，波數(shù)。由此求出頻率：；波長：相速：(m/s)能流密度：8-4 設真空中平面波的磁場強度瞬時值為(A/m)試求該平面波的頻率、波長、相位常數(shù)、相速

3、、電場強度復矢量及能流密度。解 根據(jù)題意，獲知平面波的角頻率，相位常數(shù)。由此求出頻率：；波長：相速：(m/s)已知磁場強度瞬時值為(A/m)可見這是向-y方向傳播的平面波。因此，電場強度的瞬時值為(V/m)式中為真空的波阻抗。那么，電場強度的復矢量為(V/m)能流密度矢量：8-5 當頻率分別為10kHz與10GHz的平面波在海水中傳播時，求此平面波在海水中的波長、傳播常數(shù)、相速及特性阻抗。解 當時，故可視為良導體。那么相位常數(shù)：；衰減常數(shù)：波長：；相速波阻抗：當時，故可視為非理想的電介質(zhì)，則相位常數(shù)：衰減常數(shù)：波長：；相速：波阻抗：8-6 推導式（8-3-9）。解 若媒質(zhì)的電導率為，則無源區(qū)中

4、的麥克斯韋方程為令，代入下述齊次亥姆霍茲方程再令，顯然為復數(shù)。設，將代入得該方程兩端對應的實部和虛部應該相等，即求解上述聯(lián)立方程即可求得式（8-3-9），即8-7 試證一個線極化平面波可以分解為兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。證明令一個x方向的線極化平面波為那么可將上式改寫為顯然上式右端兩項均為圓極化平面波，而且旋轉(zhuǎn)方向恰好相反。這就證實一個線極化平面波可以分解為兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。8-8 試證一個橢圓極化平面波可以分解為兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化平面波。證明 由教材8-4節(jié)可見，通過坐標軸旋轉(zhuǎn)，任一橢圓極化平面波均可表示為令，即，那么前式可展開為此式又可改寫為顯然，上式代表兩個旋轉(zhuǎn)方向相反

5、的圓極化波。8-9 試證圓極化平面波的能流密度瞬時值與時間及空間無關。證明 設圓極化波電場強度的瞬時值為上式可改寫為相應的磁場強度為那么，能流密度瞬時值為可見，圓極化波的能流密度瞬時值與時間及空間無關。8-10 設真空中圓極化平面波的電場強度為(V/m)試求該平面波的頻率、波長、極化旋轉(zhuǎn)方向、磁場強度以及能流密度。解 由電場強度的表示式可見，那么波長：；頻率：因傳播方向為+x方向，z分量又導前y分量，因此該圓極化平面波是左旋的。磁場強度為（A/m）能流密度為（W/m2）8-11 當平面波自第一種理想介質(zhì)向第二種理想介質(zhì)垂直投射時，若媒質(zhì)波阻抗，證明邊界處為電場駐波最大點；若，則邊界處為電場駐波

6、最小點。證明 設入射波的傳播方向為+z方向，z <0一側(cè)媒質(zhì)波阻抗為Z1，z >0一側(cè)媒質(zhì)波阻抗為Z2，那么，入射波和反射波可以分別表示為入射波：；反射波：邊界上的反射系數(shù)為由于兩種介質(zhì)均為理想介質(zhì)，和為實數(shù)，且。媒質(zhì)中合成電場可表示為媒質(zhì)中合成電場的振幅為顯然，絕對值的最大值為，而最小值為。當時，那么在z = 0的邊界上可見邊界上為電場駐波最大點。當時，那么在z = 0的邊界上可見邊界上為電場駐波最小點。實際上，當時，由于邊界上反射波和入射波的相位相同，因而形成電場駐波的最大點。當時，邊界上反射波和入射波的相位相反，因而形成電場駐波的最小點。8-12 當均勻平面波自真空向理想介質(zhì)

7、平面邊界垂直投射時，測得駐波比為2.7，試求該理想介質(zhì)的介電常數(shù)。解 由題可知，求得。若取，則由及，求出。顯然，此結果不合理。因此，應取，則求得。8-13 當右旋圓極化平面波自真空沿正Z方向向位于z = 0平面的理想導電體平面垂直投射時，若其電場強度的振幅為E0，試求：電場強度的瞬時形式及復數(shù)形式；反射波電場強度的表示式；理想導電體表面的電流密度。解 由題意知，可設該右旋圓極化平面波的電場強度的復數(shù)形式為其瞬時值為反射波為，因，則。令真空中的合成磁場為因為；那么合成磁場為已知表面電流密度為式中，為理想導電體表面的合成磁場。因此，求得表面電流為。8-14 若在電磁參數(shù)，的玻璃表面鍍上一層透明的介

8、質(zhì)以消除紅外線的反射，紅外線的波長為0.75mm，試求：該介質(zhì)膜的介電常數(shù)及厚度；當波長為0.42mm的紫外線照射該鍍膜玻璃時，反射功率與入射功率之比。解 為了消除紅外線反射，介質(zhì)膜的介電常數(shù)應使其波阻抗Z2滿足下述關系式式中Z0為真空波阻抗，Z1為玻璃的波阻抗。已知，那么，介質(zhì)膜的介電常數(shù)應滿足下式介質(zhì)膜的厚度應等于該紅外線在其內(nèi)傳播時的波長的四分之一。已知紅外線的波長，那么介質(zhì)膜的厚度應為已知紫外線的波長，則其在介質(zhì)膜中的波長為，相位常數(shù)為，那么對于波長的紫外線，邊界上的輸入波阻抗為那么，邊界上的總反射系數(shù)為 功率之比等于場強振幅的平方比，故反射功率與入射功率之比為。8-15 設某種多層媒

9、質(zhì)由三種媒質(zhì)組成，當平面波自第一種媒質(zhì)沿正Z方向向多層媒質(zhì)邊界正投射時，如習題圖8-15所示。若R12為媒質(zhì)與媒質(zhì)形成的邊界反射系數(shù)，R23為媒質(zhì)與媒質(zhì)形成的邊界反射系數(shù)，試以反射系數(shù)R12及R23表示z = 0處的總反射系數(shù)。e1 m1 Xde2 m2 e3 m3 0Z習題圖8-15解 依題意知，其中、分別為三種媒質(zhì)的波阻抗；則可得，；那么，在處的輸入波阻抗為已知總反射系數(shù)為，將與代入，求得。e1 m1 Xde2 m2 e3 m3 0ZHES習題圖8-168-16 已知平面波的電場強度為向三層介質(zhì)邊界正投射，如習題圖8-16所示。已知三種介質(zhì)的參數(shù)為，中間介質(zhì)夾層厚度，試求各區(qū)域中電場強度及

10、磁場強度。解 由題意知，波數(shù)，波長。在媒質(zhì)中的波長為，可見。那么，處的輸入波阻抗為故處總的反射系數(shù)為，透射系數(shù)為；已知入射波電場強度為，那么在的區(qū)域中，反射波電場強度為。相應的磁場強度為，在的區(qū)域中，可令入射波和反射波的電場強度和磁場強度分別為，在z > d的區(qū)域中，可令入射波的強度和磁場強度分別為，根據(jù)z = 0和z = d的邊界上電場強度和磁場強度的切向分量必須連續(xù)的邊界條件，可得下列方程：即式中。代入上述方程組，求得那么，各區(qū)域中的電場強度和磁場強度分別如下：，8-17 試證式（8-7-14）。證明 已知均勻平面波表示式為，式中代入無源區(qū)中的麥克斯韋方程考慮到式中顯然，上式可改寫為

11、因此求得同理可證第二方程。對于散度方程，考慮到可見，求得。同理可證第四方程。8-18 已知平面波的電場強度為試求： 傳播常數(shù)k； 極化特性； 是否是TEM波？解 已知平面波的表示式為，由題獲知可見，即傳播常數(shù)為yxzEy+EzExk習題圖8-18傳播方向位于yz平面，如習題圖8-18所示。Ey分量與Ez分量構成線極化波，它和相位不同振幅不等的Ex分量合成后,構成橢圓極化波。由于Ex分量相位導前，因此形成右旋橢圓極化波。因，故為TEM波。8-19 當以及e 和m 均不等時，試求垂直極化平面波斜投射時的布魯斯特角和臨界角。解 已知， 當時，要使，發(fā)生無反射，則應滿足可見，布魯斯特角。當時，發(fā)生全反

12、射。那么，由求得臨界角。顯然，只有時才會發(fā)生全發(fā)射。當e 和m 均不等時，要使，發(fā)生無反射，則由 求得布魯斯特角。當時，發(fā)生全反射。那么，由求得臨界角。8-20 當平面波向理想介質(zhì)邊界斜投射時，試證布魯斯特角與相應的折射角之和為。證明 考慮到大多數(shù)介質(zhì)的磁導率相同，此時只有平行極化波才可能發(fā)生全反射和無反射。已知平行極化波的反射系數(shù)為又由折射定律，對平行極化波而言要使，則，即，解得，因，可見8-21 當平面波自空氣向無限大的介質(zhì)平面斜投射時，若平面波的電場強度振幅為1(V/m)，入射角為60°，介質(zhì)的電磁參數(shù)為，試求對于水平和垂直兩種極化平面波形成的反射波及折射波的電場振幅。解 對于

13、平行極化波，因，可見，故此時發(fā)生無反射，即折射波的電場振幅為1(V/m)。對于垂直極化波故反射波和折射波的電場振幅均為0.5(V/m)。8-22 已知天線罩的相對介電常數(shù)，為消除頻率為3GHz的平面波的反射，試求：介質(zhì)層的厚度；若頻率提高10%時產(chǎn)生的最大駐波比。（天線罩兩側(cè)的媒質(zhì)可以當作空氣）解 由于，則在天線罩中該平面波的波長為m又由于天線罩兩側(cè)媒質(zhì)的波阻抗相等，故其厚度應取半波長的整數(shù)倍，即厚度為式中。若頻率提高10%，對應的波長為m，則在天線罩中該平面波的波長為m。那么，天線罩表面的輸入波阻抗為式中。求得反射系數(shù)為最大駐波比為。8-23 當均勻平面波由空氣向位于平面的理想導電體表面斜投

14、射時，已知入射波電場強度 (V/m)試求：平面波的頻率；入射角；反射波的電場強度和磁場強度；空氣中的合成場及能流密度矢量。解 由入射波的電場強度表示式可知因此波數(shù)：；波長：頻率：；入射角：入射波的磁場強度為由于入射方向位于xz平面，電場方向垂直于入射面，因此，入射波為垂直極化波。已知垂直極化波在理想導電體表面上的反射系數(shù)，則反射波的電場強度和磁場強度分別為合成波的電場強度和磁場強度分別為 能流密度矢量。8-24 已知區(qū)域為理想導電體，區(qū)域為空氣，若入射波的磁場強度為 (A/m)試求：平面波的頻率；入射角；離開導體表面1m處的合成波電場強度及能流密度。解 由入射波的磁場強度表示式獲知，可見，則頻

15、率：根據(jù)傳播方向與分界面的關系，得入射角 。入射波的磁場強度可分解為兩個分量，即式中對應的電場強度為已知傳播方向位于xy平面，因此為平行極化波，它在理想導電體邊界上的反射系數(shù)，故反射波的電場強度和磁場強度分別為因為為垂直極化波，它在理想導電體邊界上的反射系數(shù)，故反射波的電場強度和磁場強度分別為那么，合成波的電場強度和磁場強度分別為離開導體表面1m處的合成波電場強度磁場強度分別為能流密度為d習題圖8-25q ¢q tq i8-25 當平面波向位于空氣中厚度為d的無限大介質(zhì)層斜投射時，若介質(zhì)層的介電常數(shù)為e，入射角為，試求介質(zhì)中以及空氣中的折射角。解 平面波在邊界上滿足相位匹配條件，即而

16、由于第一種介質(zhì)和第三種介質(zhì)均為空氣，相位常數(shù)，可見空氣中的折射角，如圖8-25所示。由，求得介質(zhì)層中折射角為e r習題圖8-261328-26 當平面波向等腰直角玻璃棱鏡的底邊垂直投射時，如習題圖8-26所示。若玻璃的相對介電常數(shù)，試求反射功率與入射功率之比。解 當該平面波進入玻璃棱鏡后，在邊界2上的入射角為但是在此邊界上發(fā)生全反射的臨界角為可見，因此在邊界2上發(fā)生全反射。同樣在邊界3上也將發(fā)生全反射，所以到達穩(wěn)態(tài)后，沒有能量越過邊界2和3。因此，可以認為反射功率等于入射功率。e r1 m0 de r2 m0 e r3 m0 W rW iW t習題圖8-278-27 已知均勻平面波的頻率，向多

17、層媒質(zhì)垂直投射，如習題圖8-27所示。該多層媒質(zhì)的參數(shù)為；，中間夾層厚度。試求： 第一媒質(zhì)中反射功率與入射功率之比， 第三媒質(zhì)中透射功率與入射功率之比。解 已知頻率，則在媒質(zhì)2中的波長為可見，媒質(zhì)2的厚度恰為半波長。那么，在媒質(zhì)1與媒質(zhì)2的邊界處的輸入波阻抗為在此邊界上的總反射系數(shù)為反射功率與入射功率之比為由于媒質(zhì)2是無耗的，因此根據(jù)能量守恒定律，可以推知到達媒質(zhì)3的透射功率應等于入射功率與反射功率之差，即。zxyEixEiyErxEryd習題圖8-288-28 若在無限大的理想導電體表面涂復一層厚度的理想介質(zhì)。已知左旋圓極化波的電場振幅為2(V/m)，頻率，介質(zhì)層的，當該圓極化波自空氣向該多

18、層媒質(zhì)表面正投射時，試求離介質(zhì)表面50cm處的合成波電場強度振幅、磁場強度振幅及能流密度矢量。解 根據(jù)題意，建立的坐標如習題圖8-28所示。因頻率，則波長，相位常數(shù)所以，左旋圓極化波的電場強度可表示為磁場強度為該平面波在介質(zhì)中的波長為?？梢娊橘|(zhì)厚度。又知媒質(zhì)3為理想導電體，其波阻抗為零。因此介質(zhì)表面處(z = -d)的輸入波阻抗為總反射系數(shù)為反射波：，合成場為能流密度為將代入以上各式，得電場強度的振幅為零，磁場強度的振幅為，能流密度矢量為零。qiqrqte1 m1e2 m2 ZXE tE rE i習題圖8-298-29 當右旋圓極化平面波以入射角自媒質(zhì)向媒質(zhì)斜投射時，如習題圖8-29所示。若兩種媒質(zhì)的電